五年级立体几何拓展三视图专属奥数讲义文档格式.docx
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四.判断图形折叠后能否围成长方体或正方体的方法.
判断一个图形折叠后能否围成正方体或长方体,首先,要依据它们各自展开图的特点判
断;
其次,可以运用空间想象或实际操作进一步判断.
三点剖析
重难点:
展开图、三视图及三视图求个数和表面积.
题模精选
2/17
题模一:
展开图与对立面
例1.1.1一个正方体的六个面上分别写着A,B,C,D,E,F六个字母.请你根据图中的三
种摆放情况,判断每个字母的对面是______________,______________,______________
ACD
BFEBFE
【答案】B与D相对,E与A相对,C与F相对
【解析】由于正方体的6个面上写了6个不同的字母,那么每个字母在正方体的面上只能出现1次,如果2个字母在相邻的面上出现,那么它们一定不能相对.
第一步,先看前2种摆放情况:
在这
2种摆放情况中,只有字母
B出现了
2次,那么由第
一种摆放可知,B不与A相对,也不与F相对;
由第二种摆放可知,
B不与C相对,也不
与E相对.那么在所有的字母中,
B只能与D相对.
第二步,再看后2种摆放情况:
E出现了
二种摆放可知,E不与B相对,也不与C相对;
由第三种摆放可知,
E不与D相对,也不
与F相对.那么在所有的字母中,
E只能与A相对.
正方体有三个对面,因
B与D相对,E与A相对,那么第三组对面上一定是
C与F相对.
例1.1.2图中的四个正方体标字母的方式是完全相同的,
请你利用图中已知的信息,判断A、
、
C
的对面分别标的是哪个字母?
B
E
F
AD
D
BCCCEA
【答案】
A的对面标有D,B的对面标有F,C的对面标有E
【解析】
由已知条件,标有C,D的两个面不能相对,那么或
A的对面标有D,或B的
对面标有D.
如果标有D,A的两个面相对,那么“标有C,D的两个面不能相对
”,“标有E,A的两个面
也不能相对”这两个条件都可以满足.注意到当
D在朝右的面,E在朝上的面时,F在朝前
的面上,那么只能是标有
E,C的两个面相对,而标有
F,B的两个面相对.经检验,这种
情况满足题目要求.
如果标有D,B的两个面相对,那么由于标有
E,A的两个面也不能相对,于是标有
A的对
面就是标有F的面,而标有C的对面就是标有
E的面.此时D在朝后的面上,E在朝左的
面上,F在朝下的面上.我们把六面体旋转,把
D转到朝右的面,并把E转到朝上的面,
3/17
此时朝前的面上标的是A,而朝后的面上标的是F,与题意不符.
综上所述,满足题意的答案只有一个:
A的对面标有D,B的对面标有F,C的对面标有E.
例1.1.3如图,第1个方格内放着一个正方体木块,木块六个面上分别写着ABCDEF六个字
母.其中A与D相对,B与E相对,C与F相对.现在将木块标有字母A的那个面朝上,标
有字母D的那个面朝下放在第1个方格内,然后让木块按照箭头指向,沿着图中方格滚动,当木块滚到21格时,木块向上的面上写的是哪个字母?
5
9
212019
字母A
发现木块向左滚
4格后,各个面上标的字母与初始时的情况完全一致.
那么木块
朝其它方向滚时也有类似的情况,即木块向任意方向连滚
4格,它的各个面上标的字母不变.
所以木块向左滚4格到第5格时,各个面上标的字母与在第
1格时的情况完全一致.再向下
滚4格到第9格,再向右滚
4格到第13格,再向下滚4格到第17格,最后向左滚4格到第
21格,每次都是朝同一方向滚
4格,因此在第5格,第9格,第13格,第17格,第21格
木块向上的面上总是写的字母
A.
例1.1.4
如图,在一个正方体的表面上写着
1~6这6个自然数,并且1对着4,2对着5,3
对着6.现在将正方体的一些棱剪开,使它的表面展开图如图所示.如果只知道
1和2所在
的面,那么
6应该在哪个面上(写出字母代号)?
3
1A
1
2
BC
A
对于立方体展开图,我们可以把任一个面当作底面,把它还原成立方体的表面.
1A1A
BC2BC2
DD
1与C相对,
C面上写的是4
图1图2
如图1,观察虚线圈住的部分,可以发现写有1,A,B的三个面两两相邻;
再观察图2的虚
线圈住的部分,发现写有A,B,C的三个面也两两相邻.此时,写有1的面与A面,B面
都相邻,C面也与A面,B面都相邻,因此写有1的面与C面相对,即C面上写的是4.
4/17
B42
2与B相对,
B面上写的是5
42
图3
图4
观察图3中的虚线圈住的部分,
容易看出写有2的面与B面相对,因此B面上写的是5.则
立方体展开图就如图4所示.
还剩下A面与D面上的数字没有确定,这两个面上分别写有
3和6.由于写有1的面,写
有5的面与A面两两相邻,把这三个面还原到立方体中.在图
2所示的立方体中,5与2相
对,在立方体朝左的侧面上;
1在朝前的侧面上.在展开图中以写有
1的面为朝前的侧面,
A面为下底面,则写有5的面恰好在朝左的侧面上.此时写有1的面,写有5的面都对齐了,
而原立方体中下底面写有数字
6,因此A面上就是6.
例1.1.5下图是正方体,四边形APQC是表示用平面截正方体的截面,截面的线表现在展开图的哪里呢?
把大致的图形在右面展开图里画出来.
DC
ADCGH
BB
ABFE
H
G
Q
EPF
【答案】见解析
【解析】截线在展开图中如图所示:
例1.1.6右图是一个立体图形的平面展开图,图中的每个小方格都是边长为1的正方形.现
在将其沿实线折叠,还原成原来的立体图形,那么立体图形的体积等于_________.
...
5/17
A.3B.4C.5D.6
【答案】B
【解析】根据实线还原,体积为4.
题模二:
三视图求表面积
例1.2.1
下图是由
5个相同的正方体木块搭成的,从上面看到的图形是(
).
A.
B.
C.
D.
A.A图B.B图C.C图D.D图
【答案】C
【解析】5个在原图均已看到,易知C符合要求.
例1.2.2右图是由18个棱长为1cm的小正方形拼成的立体图形,它的表面积是()
平方厘米.
A.44
B.46
C.48
50
从正面、左面、上面分别可看见
8、7、9块,故表面积为1
87
9248cm2.
例1.2.3右图中的一些积木是由16块棱长为2cm的正方体堆成的,它的表面积是________
cm2.
【答案】200
6/17
从前到后的
3面依次有
2块、5块、7块,因此还剩162
7
2块,为可看
见的1块与其下方的
1块.由此易知正视图、俯视图、左视图分别能看到
7块、9块、8块,
此外离我们最近的
2块有两个面从
6个方向均无法看到,综上共可看到
82250
个面,表面积为
22
200cm2.
例1.2.4图中的立体是由大小相同的若干单位正方体积木搭成的.这样的积木一共有多少块?
画出它的三视图,表面积是多少?
【答案】37;
三视图如下图所示;
102
正视图俯视图左视图
【解析】将此图分为从左到右的5层,分别有16、9、5、6、1块,故共有16956137
块.三视图见答案,分别可看见17、15、16块,其中左视图有3块“被遮挡”,因此表面积
为17151632102.
例1.2.5图中的立体图形由11个棱长为1的立方块搭成,这个立体图形的表面积为_______.
34
【解析】按一定的顺序,从不同的角度来看这个立体图形的表面的面积.
题模三:
已知三视图反推个数
例1.3.1这个图形最少是由()个正方体整齐堆放而成的.
7/17
A.12
B.13
14
D.15
从上面看下去,最少需要:
122
41
2113.
21
22
141
例1.3.2此图是某几何体从正面和左面看到的图形.若该几何体是由若干个棱长为1的正
方体垒成的,则这个几何体的体积最小是________.
从正面看从左面看
【答案】6
【解析】根据正视图,理论上最少需要6块.而6块可以构造出来,例如,其俯视图如下
图所示.因此,体积最小为1366.
例1.3.3一个立体图形,从前面,上面,右边三个方向看到的图形都如图所示,是一个样的,那么该立体图形最多由__________块小立方体组成.
【答案】23
【解析】按由上到下逐层分析,各层的小立方体数目分别不超过1个、4个、8个、10个,
所以该立体图形最多由23个小立方体组成.
例1.3.4有一些大小相同的正方形木块堆成一堆,从上往下看是图3-1,从前往后看是图
3-2,从左往右看是图3-3,那么这堆木块最多有多少块?
最少有多少块?
8/17
16,13
块.这堆木块最多有16块,最少有13块.
4
块,
13
16
例1.3.5
地上有一堆小立方体,从上面看时如图
1所示,从前面看时如图
2所示,从左边
看时如图
3所示.这一堆立方体一共有几个?
如果每个小立方体的棱长为
1厘米,那么这堆
立方体所堆成的立体图形表面积为多少平方厘米?
图1图2图3
【答案】10个;
42平方厘米
【解析】采用在俯视图上标数的方法来求解,只要知道俯视图上的每格有几块小立方体,就可以很轻松的得到这堆立方体所形成的立体图形的样子.
首先从俯视图很容易看出,有3个格子里是没有小立方体的,而其他6个格子里至少有一个
小立方体.如下图,将所得信息填入俯视图中.
结合俯视图和主视图,不难看出,有两格只有1块小立方体.将所得信息填入俯视图中.
10
01
从前面看
同样的,结合俯视图和左视图,又可以知道有一格只有1块小立方体.将所得信息填入俯视
图中.
9/17
从
左
边
看
我们来继续考虑,左视图中最左边一排有
2块小立方体,所以俯视图左上角处有
2块小立方
体.将所得信息填入俯视图中.
同理,主视图最右边一排有2块小立方体,所以俯视图最右边中间处有2块小立方体.将所
得信息填入俯视图中.
210
02
011
不难看出,俯视图中最后剩下的那块有3个小立方体,所以俯视图中每格的小立方体数如下:
302
于是这一堆立方体一共有
10个.
接着很容易得到这个立体图形的样子,如下图.
上下各能看到6个面,前后各能看到6个面,左右各能看到6个面,同时注意到立体图形的
中间共有6个会互相遮挡的面,所以表面积是2666642平方厘米.
10/17
随堂练习
随练1.1将一正方体纸盒沿右图所示的粗实线剪开,展开成平面图,其展开图的形状为().
【解析】竖向只剪了1刀,故前、后、左、右四个面应在一条线上,排除A、D.易知上、
下两面不在一条线上,排除C,故选B.
随练1.2水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表
示.如下图,是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面,“锦”表示
右面,“程”表示下面.则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的________________________.
【答案】后面、上面、左面
【解析】易知你、程相对,前、锦相对,祝、似相对,因此“祝”、“你”、“前”分别表示正
方体的后面、上面、左面.
随练1.3小明把五颗完全相同的骰子拼摆成一排(如图),那么这五颗骰子底面上的点数之
和是__________.
16
根据已知推出
(4,5)(1,3)(2,6)互为对立面,所以这五颗骰子底面上的点数之和是
6
16.
随练1.4
右图是由八个相同的小正方体组成而成的几何体,则从正面观察,得到的平面图
11/17
形是__________.序号)
①②③④
【答案】②
【解析】从正面看到图②,从上面看到图①,从右面看到图③.所以正确答案是图②.
随练1.5由棱长为1的正方体搭成如图所示的图形,共有__________个正方体,它的表面
积是__________.
10;
34
第一层有
8个,第二层有
2个,共10个.其三视图分别能看到
4、5、8个,故
表面积为1
8
34.
随练1.6如图,有9个边长为1米的正方体,如图所示堆成一个立体图形.该立体图形的表面积等于__________平方米.
38
利用三视图.从前面、右面、上面看依次如图所示.所以该立体图形的表面积是
38平方米.
随练1.7如图6,用若干个棱长为1的小正方体堆成一个大的几何体,这个几何体的表面积(含底面积)是__________.
12/17
图6
90
根据三视图,大的几何体的表面积等于正视图面积
+俯视图面积+右视图面积的2
倍,所以是
15
12
90.
随练1.8用棱长是1厘米的小立方体拼成如图所示的立体图形,这个图形的表面积是
__________平方厘米.
【答案】46平方厘米
【解析】如图1,从立体图形上方和下方看去,看到的都是9块小正方形.面积是9平方
厘米.
图1
图2
从四个侧面看去,看到的是图
2形式的7块小正方形,面积是7平方厘米.
所以立体图形的表面积为
46平方厘米.
随练1.9把若干个棱长为
1厘米的小正方体木块搭成一个图形,从上面和前面看到的都是
如图所示的情形,这个图形最多需要
__________个这样的小正方体,最少需要
__________
个这样的小正方体.
【答案】9;
7
【解析】由从上方看到的结果可知第一层必有5个,且第二层至多5个;
由从前面看到的
结果可知共有2层,且第二层至少2个.再结合两个视图可知第二层至多4个.综上,最多
13/17
9个,最少7个.
自我总结
课后作业
作业1一个数学玩具的包装盒是正方体,其表面展开图如下.现在每方格内都填上相应的
数字.已知将这个表面展开图沿虚线折成正方体后,相对面的两数之和为“3”,则填在A、
B、C内的三个数字依次是_____________.
C2
B0
A1
3,1,2
正方体的平面展开图中,相对面之间一定隔着一个正方形,
所以在此正方体上与
“A”相对的面上的数是“0”.与“B”相对的面上的数是“2”.与“C”相对的面上的数
是“1”.所以A、B、C内的三个数字依次是3,1,2.
作业2
把1至6各一个分别写在正方形的六个面上,每个面只写一个数字,且1与4相对,
2与5相对,3与6相对,从某个角度看到的三个面上的数字如图(
a)所示,从另一个角度
看到的三个面如图(
)所示,那么图(
b
)中的“?
”代表的数字是
___________.
A.2B.3C.4D.5
【答案】A
【解析】如图,4对面是1,所以在图a中把4翻到底面,顶部变成了1,如图b,而5
14/17
对面是2,所以当6转到正面时,5在左侧,右侧自然是2了,故答案是2.
.
作业3下图由一个正五边形,五个长方形,五个等边三角形组成,它是一个立体图形的平面展开图,那么这个立体图形有__________条棱.
【答案】20
【解析】此立体图形,示意图如上:
共20条棱.
作业4用若干个棱长为1cm的小正方体码放成如图所示的立体,则这个立体的表面积(含
下底面面积)等于___________cm2.
【答案】60
【解析】根据三视图,我们可知,此立体图形的前面与后面,左面与右面,上面与下面的
表面积分别相等.所以我们只要知道前面有11个正方形,右面有8个正方形,上面有11个
面,就可求出它露在外面的面共计11811260个正方形,所以它的表面积是
601260cm2.
15/17
作业5如图,把19个边长
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