人教A版高中数学必修4刷题练习三角函数线Word文件下载.docx
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tan1B.sin1>
tan1>
cos1
C.tan1>
sin1>
cos1D.tan1>
sin1
答案 C
解析 设1rad角的终边与单位圆的交点为P(x,y),
∵<
1<
,∴0<
x<
y<
1,从而cos1<
sin1<
tan1.
4.设a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),则有( )
A.a<
b<
cB.b<
a<
c
C.c<
bD.a<
c<
b
解析 作α=-1的正弦线、余弦线、正切线,可知:
b=OM>
0,
a=MP<
0,c=AT<
且MP>
AT.
∴c<
b.
5.若α为第二象限角,则下列各式恒小于零的是( )
A.sinα+cosαB.tanα+sinα
C.cosα-tanαD.sinα-tanα
解析
如图,作出sinα,cosα,tanα的三角函数线.
显然△OPM∽△OTA,且|MP|<
|AT|.
∵MP>
0,AT<
0,∴MP<
-AT.
∴MP+AT<
0,即sinα+tanα<
0.
6.已知MP,OM,AT分别是75°
角的正弦线、余弦线、正切线,则这三条线从小到大的排列顺序是________.
答案 OM<
MP<
AT
解析 如图,在单位圆中,∠POA=75°
>
45°
,由图可以看出OM<
7.利用三角函数线比较下列各组数的大小.
(1)tan与tan;
(2)cos与cos.
解
(1)如图1所示,设点A为单位圆与x轴正半轴的交点,角和角的终边与单位圆的交点分别为P,P′,PO,P′O的延长线与单位圆的过点A的切线的交点分别为T,T′,则tan=AT,tan=AT′.
由图可知AT>
AT′>
0,所以tan>
tan.
(2)如图2所示,设角和角的终边与单位圆的交点分别为P,P′,过P,P′分别作x轴的垂线,分别交x轴于点M,M′,则cos=OM′,cos=OM.
由图可知0<
OM<
OM′,所以cos<
cos.
知识点三
解三角不等式
8.若0≤θ<
2π,则使tanθ≤1成立的角θ的取值范围是________.
答案 0,∪,∪,2π
解析 由0≤θ<
2π且tanθ≤1,利用三角函数线可得θ的取值范围是0,∪,∪,2π.
9.在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合.
(1)sinα≥;
(2)cosα≤-;
(3)tanα≥-1.
解
(1)作直线y=交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围成的区域即为角α的终边的范围,故满足条件的角α的集合为α2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z.
(2)作直线x=-交单位圆于C,D两点,连接OC,OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为
.
(3)在单位圆过点A(1,0)的切线上取AT=-1,连接OT,OT所在直线与单位圆交于P1,P2两点,则图中阴影部分即为角α终边的范围,所以α的取值集合是
,如图.
对应学生用书P8
一、选择题
1.已知α(0<
α<
2π)的正弦线与余弦线的长度相等,且方向相同,那么α的值为( )
A.或B.或
C.或D.或
解析 因为角α的正弦线与余弦线长度相等,方向相同,所以角α的终边在第一或第三象限,且角α的终边是象限的角平分线,又0<
2π,所以α=或,选C.
2.若α是三角形的内角,且sinα+cosα=,则这个三角形是( )
A.等边三角形B.直角三角形
C.锐角三角形D.钝角三角形
解析 当0<
α≤时,由单位圆中的三角函数线知,sinα+cosα≥1,而sinα+cosα=,∴α必为钝角.
3.如果π<
θ<
,那么下列各式中正确的是( )
A.cosθ<
tanθ<
sinθB.sinθ<
cosθ<
tanθ
C.tanθ<
sinθ<
cosθD.cosθ<
解析 本题主要考查利用三角函数线比较三角函数值的大小.由于π<
,如图所示,正弦线MP、余弦线OM、正切线AT,由此容易得到cosθ<
0<
tanθ,故选D.
4.若0<
2π,且sinα<
,cosα>
,则角α的取值范围是( )
A.B.
C.D.∪
解析 由图1知当sinα<
时,
α∈∪.
由图2知当cosα>
时,α∈∪,
∴α∈∪.
5.已知sinα>
sinβ,那么下列命题正确的是( )
A.若α,β是第一象限的角,则cosα>
cosβ
B.若α,β是第二象限的角,则tanα>
tanβ
C.若α,β是第三象限的角,则cosα>
D.若α,β是第四象限的角,则tanα>
解析 解法一:
(特殊值法)取α=60°
,β=30°
,满足sinα>
sinβ,此时cosα<
cosβ,所以A不正确;
取α=120°
,β=150°
sinβ,这时tanα<
tanβ,所以B不正确;
取α=210°
,β=240°
sinβ,这时cosα<
cosβ,所以C不正确.
解法二:
如图,P1,P2为单位圆上的两点,
设P1(x1,y1),P2(x2,y2),且y1>
y2.
若α,β是第一象限角,又sinα>
sinβ,
则sinα=y1,sinβ=y2,cosα=x1,cosβ=x2.
∵y1>
y2,∴α>
β.
∴cosα<
cosβ.∴A不正确.
若α,β是第二象限角,由图知P1′(x1′,y1′),P2′(x2′,y2′),其中sinα=y1′,sinβ=y2′,
则tanα-tanβ=-=.
而y1′>
y2′>
0,x2′<
x1′<
∴-x2′>
-x1′>
∴x1′x2′>
0,x2′y1′-x1′y2′<
即tanα<
tanβ.∴B不正确.同理,C不正确.故选D.
二、填空题
6.若α是第一象限角,则sin2α,cos,tan中一定为正值的个数为________.
答案 2
解析 由α是第一象限角,得2kπ<
+2kπ,k∈Z,所以kπ<
<
+kπ,k∈Z,所以是第一或第三象限角,则tan>
0,cos的正负不确定;
4kπ<
2α<
π+4kπ,k∈Z,2α的终边在x轴上方,则sin2α>
0.故一定为正值的个数为2.
7.若0≤θ<
2π,且不等式cosθ<
sinθ和tanθ<
sinθ成立,则角θ的取值范围是________.
答案 ,π
解析 由三角函数线知,在[0,2π)内使cosθ<
sinθ的角θ∈,,使tanθ<
sinθ的角θ∈,π∪,2π,故θ的取值范围是,π.
8.若函数f(x)的定义域是(-1,0),则函数f(sinx)的定义域是________.
答案 -π+2kπ,-+2kπ∪-+2kπ,2kπ(k∈Z)
解析 f(x)的定义域为(-1,0),则f(sinx)若有意义,需-1<
sinx<
0,利用三角函数线可知-π+2kπ<
2kπ,且x≠-+2kπ(k∈Z).
三、解答题
9.比较下列各组数的大小:
(1)sin1和sin;
(2)cos和cos;
(3)tan和tan;
(4)sin和tan.
解
(1)sin1<
sin.如图1所示,
sin1=MP<
M′P′=sin.
(2)cos>
cos.如图2所示,cos=OM>
OM′=cos.
(3)tan<
tan.如图3所示,tan=AT<
AT′=tan.
(4)sin<
tan.如图4所示,sin=MP<
AT=tan.
10.设θ是第二象限角,试比较sin,cos,tan的大小.
解 ∵θ是第二象限角,∴2kπ+<
2kπ+π(k∈Z),故kπ+<
kπ+(k∈Z).
作出所在范围如图所示.
当2kπ+<
2kπ+(k∈Z)时,
cos<
sin<
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