导数中的构造函数最全精编1Word文件下载.docx
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0时,有
xf'
(x)-f(x)>
0恒成立,则不等式f(x)>
❀❀❀思路点拨:
出现“”形式,优先构造F(x)=f(x)然后利用函数的单调
x
性、奇偶性和数形结合求解即可.
f(x)f'
(x)⋅x-f(x)
【解析】构造F(x)=,则F'
(x)=x2,当x<
0时,
0,可以推出x<
(x)>
0,F(x)在(-∞,0)上单调递增.∵f(x)为偶函数,x为奇函数,所以F(x)为奇函数,∴F(x)在(0,+∞)上也单调递减.根据f
(1)=0可得F
(1)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像,根据图像可知f(x)>
0的解集为(-∞,-1)⋃(1,+∞).
xf(x),f(x)是比较简单常见的f(x)与x之间的函数关系式,如果碰见复杂的,
不易想的我们该如何处理,由此我们可以思考形如此类函数的一般形式.
F(x)=xnf(x),F'
(x)=nxn-1f(x)+xnf(x)=xn-1[nf(x)+f'
(x)];
'
nn-1'
F(x)=f(x),F'
(x)=f(x)⋅x-nxf(x)=xf(x)-nf(x);
xnx2nxn+1
结论:
出现nf(x)+xf'
(x)形式,构造函数F(x)=xnf
出现xf'
(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=f(x).
xn
我们根据得出的结论去解决例3题
【例3】已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f'
(x),且满足f(-1)=0,当x>
0
时,2f(x)>
xf'
(x),则使得f(x)>
0成立的x的取值范围是
满足“xf'
(x)-nf(x)”形式,优先构造F(x)=f(x)然后利用
函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.
f(x)f'
(x)⋅x-2f(x)
【解析】构造F(x)=x2,则F'
(x)x3,当x>
(x)-2f(x)<
0,可以推出x>
0,F'
0,F(x)在(0,+∞)上单调递减.∵f(x)为偶函数,x2为偶函数,所以F(x)为偶函数,∴F(x)在(-∞,0)上单调递增.根据f(-1)=0可得F(-1)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图像,根据图像可知
f(x)>
0的解集为(-1,0)⋃(0,1).
【变式提升】设函数f(x)满足x3f'
(x)+3x2f(x)=1+lnx,且f(
则x>
0时,f(x)()
A、有极大值,无极小值B、有极小值,无极大值
C、既有极大值又有极小值D、既无极大值也无极小值
e)=1,
2e
(x)+nf(x)”形式,为n=3时情况,优先构造F(x)=f(x),
然后利用积分、函数的性质求解即可.
【例4】设f(x)是定义在R上的奇函数,在(-∞,0)上有2xf'
(2x)+f(2x)<
0,且f(-2)=0,则不等式xf(2x)<
0的解集为.
(2)利用f(x)与ex构造;
f(x)与ex构造,一方面是对u⋅v,u函数形式的考察,另外一方面是对
(ex)=ex的考察.所以对于f(x)±
f'
(x)类型,我们可以等同xf(x),f(x)的类型处
理,“+”法优先考虑构造F(x)=f(x)⋅ex,“”法优先考虑构造F(x)=f(x)
ex.
【例5】已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,导函数f'
(x)满足f'
f(x)
对于x∈R恒成立,则()
A、f
(2)>
e2f(0),f(2014)>
e2014f(0)B、f
(2)<
e2014f(0)
C、f
(2)>
e2f(0),f(2014)<
e2014f(0)D、f
(2)<
满足“f'
(x)-f(x)<
0”形式,优先构造F(x)=f(x),然后利用
ex
函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.
f(x)'
ef(x)-ef(x)=f(x)-f(x)
x'
x'
【解析】构造F(x)=ex形式,则F(x)e2xex,导
函数f'
f(x),则F'
0,F(x)在R上单调递减,根据单调性可知
同样exf(x),f(x)是比较简单常见的f(x)与ex之间的函数关系式,如果碰
ex
见复杂的,我们是否也能找出此类函数的一般形式呢?
【解析】构造F(x)=
e2x形式,则F(x)=
e4x
e2x,
导函数f'
(x)-2f(x)>
0,则F'
0,F(x)在R上单调递增.又
f(0)=1,则F(0)=1,f(x)>
e2x⇔f(x)>
1⇔F(x)>
F(0),根据单调性得x>
0.
2
【变式提升】若定义在R上的函数f(x)满足f'
(x)-2f(x)-4>
0,f(0)=-1,则不等式f(x)>
e2x-2的解集为
e2xe2x
利用通式构造函数时考虑-4如何转化.构造函数F(x)=f(x)-2
【例7】已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f'
(x),若f(x)满足:
(x-1)[f'
(x)-f(x)]>
0,f(2-x)=f(x)e2-2x,则下列判断一定正确的是()
(A)f
(1)<
f(0)(B)f
(2)>
e2f(0)
(C)f(3)>
e3f(0)(D)f(4)<
e4f(0)
(x)-f(x)”形式,优先构造F(x)=f(x),然后利用函数
的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.
f(x)
exf'
(x)-exf(x)=
f'
(x)-f(x)
ex形式,则F(x)
e2x
ex,导
(x)满足(x-1)[f'
(x)-f(x)]>
0,则x≥1时F'
(x)≥0,F(x)在[1,+∞)上单调递增.当x<
1时F'
0,F(x)在(-∞,1]上单调递减.又由
f(2-x)=f(x)e2-2x⇔F(2-x)=F(x)⇒F(x)关于x=1对称,根据单调性和图像,
可知选C.
5
(3)利用f(x)与sinx,cosx构造.
sinx,cosx因为导函数存在一定的特殊性,所以也是重点考察的范畴,我们一起看看常考的几种形式.
F(x)=f(x)sinx,F'
(x)=f'
(x)sinx+f(x)cosx;
(x)sinx-f(x)cos
F(x),F'
(x)=x;
sinx
F(x)=f(x)cosx,F'
(x)cosx-f(x)sinx;
(x)cosx+f(x)sin
(x)=x.
cosx
根据得出的关系式,我们来看一下例8
)
【例8】已知函数y=f(x)对于任意的x∈(-ππ满足
22
(x)cosx+f(x)sinx>
0(其中f'
(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式
不成立的是()
()()
A、2fπ<
fπ
B、2f(-π<
)f(-π)
34
C、f(0)<
2fπ
D、f(0)<
π
()2f()
43
【变式提升】定义在(0,π
)上的函数,函数f
(x)是它的导函数,且恒有
f(x)<
(x)tanx成立,则()
πππ
A、f()>
4
f()3
B、f
(1)<
2f()sin1
6
ππππ
C、2f()>
f()4
D、f()<
(x)sinx-f(x)cosx”形式,优先构造F(x)=f(x),然后
利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.
(二)构造具体函数关系式构造
这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式,通过具体的关系式去解决不等式及求值问题.
【例9】α,β∈[-ππ]αsinα-βsinβ>
0,则下列结论正确的是()
,且
A、α>
βB、α2>
β2C、α<
βD、α+β>
构造函数f(x)=xsinx,然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.
【解析】构造f(x)=xsinx形式,则f'
(x)=sinx+xcosx,x∈[0,π]时导函数
(x)≥0,f(x)单调递增;
x∈[-π)时导函数f'
0,f(x)单调递减.有∵f(x)
0
为偶函数,根据单调性和图像可知选B.
【变式提升】定义在R上的函数f(x)满足f
(1)=1且对∀x∈R,f'
1则
,2
不等式f(logx)>
log2x+1的解集为.
构造函数F(x)=f(x)-1x2,令t=logx,然后原不等式等价于
t+12
f(t)>
,利用单调性求解集,然后解对数不等式即可.
则f'
(0)=()
A、26B、29C、212D、215
构造函数f(x)=xg(x),然后利用整体代换思想和数列的性质求解即可.
【解析】令g(x)=(x-a1)(x-a2)...(x-a8)形式,则f(x)=xg(x),
(x)=g(x)+xg'
(x),∴f'
(0)=g(0)=a⋅a⋅...⋅a=(2⨯4)4=212,故选C.
128
【例11】已知实数a,b,c满
a-2ea
b
=1-c=
d-1
1,其中e是自然对数的底数,
那么(a-c)2+(b-d)2的最小值为()
A、8B、10C、12D、18
把(a-c)2+(b-d)2看成两点距离的平方,然后利用数形结合以及点到直线的距离即可.
a-2eaa
【解析】由=1⇒b=a-2e进而⇒f(x)=x-2ex;
又由
1-c=1⇒d=2-c⇒g(x)=2-x;
由f'
(x)=1-2ex=-1,得x=0,所以切点坐标
⎛|0-2-2⎫2
为(0,-2),所以(a-c)2+(b-d)2的最小值为⎪=8
ç
1+1⎭
【变式提升】已知实数a,b满足2a2-5lna-b=0,c∈R,则(a-c)2+(b+c)2
的最小值为
构造函数f(x)=2x2-5lnx,g(x)=-x,然后利用两点之间的距离公式和数形结合思想求解即可.
【课后作业】设函数f(x)在R上的导函数f'
(x),在(0,+∞)上
sin2x,且∀x∈R,有f(-x)+f(x)=2sin2x,则以下大小关系一定
正确的是()
f
5π4ππ
(
A、)<
f()63
)
B、f()<
f(π)
C、f(-5π
f(-4π
D、f(-π>
f(-π)
)<
634
构造函数,作为一种做题技巧的体现,考察了学生的思考能力和动手能力,是一种非常实用的做题技巧,希望我的总结分享能够给大家带来帮助。
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- 导数 中的 构造 函数 精编