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一、古典线性回归模型的基本形式(注意随机误差项的构成)
二、古典线性回归模型的基本假定
假定1回归模型是参数线性的,并且是正确设定的。
假定2解释变量与随机扰动项u不相关(解释变量是确定性变量时自然成立);
假定3零均值假定:
E(u)=0
假定4同方差假定:
Var(ui)=常数
假定5无自相关假定:
Cov(u,u)=0i≠j
假定6假定随机项误差u服从均值为零,(同)方差
为常数的正态分布:
假定7解释变量之间不存在线性相关关系;
注意:
线性回归模型中线性的含义:
一般的线性指的是解释变量线性和参数线性。
我们这里的线性强调的是参数线性。
三、古典线性回归模型的参数估计
1.参数估计的方法:
普通最小二乘法(OLS)
2.最小二乘原理:
就是选择合适参数使得全部观察值的残差平方和(RSS)最小,数学形式为:
利用极值原理可得到正规方程组,求解可得:
估计量的性质:
高斯-马尔柯夫定理:
若满足古典线性回归模型的基本假定,则在所有线性无偏估计量中,OLS估计量具有最小方差性,即:
OLS估计量是最优线性无偏估计量(BLUE)。
估计量的分布:
因为随机扰动项的正态分布假定,所以Y服从正态分布,而OLS估计量b1和b2又是正态变量Y的线性函数,所以b1和b2也服从正态分布。
即有:
5.回归标准差的估计
回归方差:
其中k为解释变量(包括截距)的个数(或者说是待估参数的个数)。
四、古典线性回归模型的检验
1.模型检验主要可以分为四类检验:
⑴经济意义检验:
根据经济理论对模型参数的符号、大小、关系进行检验;
⑵统计检验:
由数理统计理论决定,主要包括拟合优度检验(R2检验)、变量显着性检验(t检验)、总体显着性检验(F检验)等;
⑶计量经济学检验:
由计量经济学理论决定,主要包括异方差性检验、序列相关性检验、共线性检验等;
⑷模型预测检验:
由模型的应用要求决定,包括稳定性检验:
扩大样本重新估计、预测性能检验:
对样本外一点进行实际预测。
2.参数的假设检验(变量显着性检验、t检验)
(1)零假设和备择假设:
常用的零假设和备择假设:
双边检验:
单边检验:
或更一般的情形:
(2)检验统计量及其分布
其中k为包括截矩项在内的解释变量的个数。
(3)检验方法
a.置信区间法:
主要适用于双边检验,B2的置信区间为:
如果零假设值落入该区域(接受域),则接受零假设,否则拒绝零假设。
b.显着性检验法:
方法一:
计算t值,根据给定显着性水平查t分布表得临界值(注意双边检验和单边检验的临界值不同),确定接受域和拒绝域,若计算得到的t值落入接受域,则接受零假设。
方法二:
计算t值,查t分布表得t值对应的P值(注意双边检验和单边检验的P值不同),若P值较小,比如小于,则在5%的显着性水平下接受零假设,否则拒绝零假设。
例:
对下面模型输出结果进行参数的显着性检验(仅对斜率系数,α=5%)
(n=10)
解:
如果是双边假设检验,置信区间法的检验过程如下:
置信区间为:
即为:
,
因为该接受域不包括0,所以拒绝零假设。
若是用显着性检验法,过程如下:
计算得到的t值为:
自由度为10-2=8,在5%的显着性水平下,双边检验的临界值为±
。
因为计算得到的t值大于,落入拒绝域,所以拒绝零假设。
3.拟合优度检验
考察估计得到的样本回归直线对真实Y值拟合的优劣程度,也即多个解释变量一起对应变量Y变动的解释程度。
(1).平方和分解式:
即:
总离差平方和=回归平方和+残差平方和
对应自由度分别为:
n-1=(k-1)+(n-k)
(2).判定系数及其性质:
(3).校正的判定系数:
a.若k>
1,则
b.虽然非校正的判定系数R2总为正,但校正的判定系数
可能为负。
4.联合假设的检验(方程的显着性检验、F检验)
(1)联合假设:
H0:
B2=B3=0等同于零假设H0:
R2=0
这个假设表明两个解释变量一起对应变量Y无影响,这是对估计的总体回归直线的显着性检验。
如果分子比分母大,也即Y被回归解释的部分比未被回归解释的部分大,F值越大,说明解释变量对应变量Y的变动的解释的比例逐渐增大,就越有理由拒绝零假设。
(3)检验过程
a.联合假设:
B2=B3=0
b.计算F统计量的值
c.根据给定显着性水平查表得临界值
d.进行判断。
如果计算得到的F值大于临界值,拒绝零假设。
或者:
如果计算得到的F值对应的P值较小,则拒绝零假设。
(4)方差分析表
(5)F与R2之间的重要关系:
当R2=0,F=0,当R2=1,F值为无穷大。
5.正态性检验(正态直方图、正态概率图、雅克—贝拉检验JB检验)
五、古典线性回归模型的结果分析
1.回归结果的表现形式
(1)常见表现形式:
se对应参数的标准差,t对应参数在零假设(真实值为0)下计算得到的t值,p对应计算得到的t值的P值(双尾)。
(2)软件回归结果:
DependentVariable:
YI
Method:
LeastSquares
Sample:
110
Includedobservations:
10
Variable
Coefficient
Std.Error
t-Statistic
Prob.
C
XI
R-squared
Meandependentvar
29
AdjustedR-squared
.dependentvar
Akaikeinfocriterion
Sumsquaredresid
Schwarzcriterion
Loglikelihood
F-statistic
Durbin-Watsonstat
Prob(F-statistic)
R2、调整的R2、回归标准差、残差平方和、对数似然函数值、DW统计量、应变量的均值、应变量的标准差、AIC值、SIC值、F统计量及对应P值。
2.对回归模型的解释
对回归系数(或偏回归系数)的解释:
B2度量了在其他解释变量保持不变的情况下,X2每变动一单位,Y的均值的改变量。
3.对回归模型的分析
(1)回归模型中参数的符号(大小、关系)与经济理论是否相符
(2)拟合优度检验结果及其分析
(3)参数显着性检验的结果及其分析
(4)模型总体显着性检验的结果及其分析
(5)模型的经济意义
(6)模型的其他检验结果及其分析(正态性检验、多重共线性检验、异方差检验、自相关检验等)
六、古典线性回归模型的预测
1.预测对象:
给定自变量X的值,可以利用已经得到的样本回归方程对相应应变量Y的均值(E(Y|X))进行点预测和区间预测。
2.点预测:
样本回归方程:
已知X2=100,对相应应变量的均值进行点预测:
3.区间预测:
其中:
4.在整个回归直线的置信区间中,当
时,置信区间的宽度最小。
第二次辅导课内容:
回归模型的其他形式及模型选择
标准与检验
一、回归方程的函数形式
1.双对数模型(不变弹性模型)
2.半对数模型(对数-线性模型和线性-对数模型)
3.倒数模型
4.多项式回归模型
5.零截矩模型
模型
名称
形式
经济解释(回归系数B2度量了…)
斜率
弹性
备注
线性
在其他解释变量保持不变的情况下,X每变动一单位,Y的均值的改变量。
B2
双对数模型
Y对X的弹性,即X变动1%所引起Y变动的百分比。
(B2%)
B2
不变弹性模型
对数—线性
给定解释变量的绝对变化所引起的Y的比例变动或相对变动。
(100*B2%)
B2Y
B2X
增长模型
线性—对数
解释变量每变动1%,相应应变量的绝对变化量*B2)
倒数
-B2
多项式回归
要比较两个模型的r2,应变量的形式必须是相同的。
二、虚拟变量回归模型
1.虚拟变量的性质
(1)虚拟变量的引入规则是:
模型中有截矩项时,如果一个定性的变量有m类,则要引入(m-1)个虚拟变量。
否则就会陷入虚拟变量陷阱,就会出现完全多重共线性。
(2)虚拟变量的赋值是任意的。
(3)赋值为0的一类常称为基准类。
基准类的选择也是根据研究的目的而定的。
虚拟变量的系数的解释与基准类有关。
2.常见虚拟变量模型(模型中有一个虚拟变量的情形):
为两条不同截矩的平行于X轴的直线;
B2:
差别截矩
为两条同斜率不同截矩的平行直线;
为两条不同截矩、不同斜率的直线,B2:
差别截矩;
B4:
差别斜率;
根据参数的显着性,有四种可能情形:
一致回归、平行回归、并发回归、相异回归。
注意
(1)对模型的解释
(2)参数显着性的判断和分析。
3.虚拟变量模型的推广
(1)定量变量不止一个的情形
(2)一个定性变量有多个分类的情形:
若有m个分类,引入m-1个虚拟变量(有截矩项时)
(3)多个定性变量(k个)、每个定性变量有两个分类:
引入k个虚拟变量
(4)更复杂的情形(多个定性变量、每个定性变量有多个分类)
(5)被解释变量是虚拟变量的情形:
线性概率模型(LPM)——斜率系数B2可以解释为X单位变动引起的Y=1的概率的变化。
(1)在建立虚拟变量模型时应避免产生模型设定偏差;
(2)对模型的解释;
(3)参数显着性的判断和分析。
Yi=B1+B2Di+B3Xi+ui其中,Y—食品支出 X—税后收入 D=1(女性)
需要注意:
(1)是否应将性别变量同时以乘法方式引入,即是否应考虑差别斜率问题。
(2)对模型的解释:
男性平均食品支出为:
E(Yi|Xi,Di=0)=B1+B3Xi
女性平均食品支出为:
E(Yi|Xi,Di=1)=(B1+B2)+B3Xi
(3)该模型可以反映性别这一定性变量对食品支出的影响。
如果差别截矩B2是统计显着的(需进行参数的显着性检验),则说明在同一收入水平下,男性的平均食品支出与女性的平均食品支出有显着差异。
如果B2<
0,同时是统计显着的,说明在同一收入水平下,男性的平均食品支出显着高于女性的平均食品支出。
三、模型选择:
1.“好的”模型具有的性质:
(1)简约性(节省性)----模型应尽可能的简单
(2)可识别性----每个参数只有一个估计值
(3)拟合优度高----拟合优度越大越好
(4)理论一致性----与理论相符合而非相背离
(5)预测能力好----理论预测能被实际经验所验证
2.设定误差的类型:
(1)遗漏相关变量:
“过低拟合”模型
(2)包括不相关变量:
“过度拟合”模型
(3)不正确的函数形式
(4)度量误差
3.模型设定误差的后果:
(1)如果模型遗漏重要变量,则此模型所估系数通常有偏且不一致,t检验和F检验失效
(2)使用错误的函数形式,会有类似结果
(3)如何模型中包含非相关变量,估计的标准差会相对变大,也即参数估计值不很精确,从而导致置信区间变宽
(4)应变量中的度量误差将导致估计量的估计方差变大;
解释变量中存在度量误差将导致OLS估计量有偏和不一致。
4.模型设定误差的检验:
残差图形检验、MWD检验、RESET检验、借助于t检验、F检验和DW检验进行判断。
5.模型的选择:
(1)依据经济理论进行选择;
(2)依据“好的”模型应具有的性质进行选择;
(3)依据模型的评价指标进行选择:
R2和校正后的R2、估计的t值及其显着性、杜宾-瓦尔森d统计量、F统计量及其显着性、AIC或SC值等
(4)其他模型检验结果
第三次辅导课内容:
实践中的回归分析
违背基本假定的情形
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