普通高等学校招生全国统一考试文科全国卷三含答案Word格式.docx
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b
8.执行下面的程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=( )
A.3B.4C.5D.6
9.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sinA=( )
A.B.C.D.
10.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )
A.18+36B.54+18C.90D.81
11.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,
AA1=3,则V的最大值是( )
A.4πB.C.6πD.
12.已知O为坐标原点,F是椭圆C:
+=1(a>
b>
0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22~24题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分.
13.设x,y满足约束条件则z=2x+3y-5的最小值为 .
14.函数y=sinx-cosx的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移 个单位长度得到.
15.已知直线l:
x-y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.则|CD|= .
16.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 .
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,-(2an+1-1)an-2an+1=0.
(Ⅰ)求a2,a3;
(Ⅱ)求{an}的通项公式.
18.(本小题满分12分)
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:
亿吨)的折线图.
(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;
(Ⅱ)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注:
参考数据:
yi=9.32,tiyi=40.17,=0.55,≈2.646.
参考公式:
相关系数r=,
回归方程=+t中斜率和截距最小二乘估计公式分别为:
=,=-.
19.(本小题满分12分)
如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(Ⅰ)证明MN∥平面PAB;
(Ⅱ)求四面体N-BCM的体积.
20.(本小题满分12分)
已知抛物线C:
y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(Ⅰ)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;
(Ⅱ)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
21.(本小题满分12分)
设函数f(x)=lnx-x+1.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)证明当x∈(1,+∞)时,1<
<
x;
(Ⅲ)设c>
1,证明当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>
cx.
请考生在第22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)选修4—1:
几何证明选讲
如图,☉O中的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.
(Ⅰ)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小;
(Ⅱ)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD.
23.(本小题满分10分)选修4—4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.
(Ⅰ)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(Ⅱ)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
24.(本小题满分10分)选修4—5:
不等式选讲
已知函数f(x)=|2x-a|+a.
(Ⅰ)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(Ⅱ)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
2016年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅲ)
一、选择题
1.C 由补集定义知∁AB={0,2,6,10},故选C.
2.D 由z=4+3i得|z|==5,=4-3i,则=-i,故选D.
3.A cos∠ABC==,所以∠ABC=30°
故选A.
4.D 由雷达图易知A、C正确.七月份平均最高气温超过20℃,平均最低气温约为13℃;
一月份平均最高气温约为6℃,平均最低气温约为2℃,所以七月的平均温差比一月平均温差大,故B正确.由题图知平均最高气温超过20℃的月份为六、七、八月,有3个.故选D.
疑难突破 本题需认真审题,采用估算的方法来求解.
5.C 小敏输入密码的所有可能情况如下:
(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),
(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),
(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15种.
而能开机的密码只有一种,所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为.
6.D 解法一:
cos2θ=cos2θ-sin2θ=
==.故选D.
解法二:
由tanθ=-,可得sinθ=±
因而cos2θ=1-2sin2θ=.
7.A a==,c=2=,而函数y=在(0,+∞)上单调递增,所以<
即b<
c,故选A.
方法总结 比较大小的问题往往利用函数的性质及图象来解决,其中单调性是主线.
8.B a=2,b=4,a=6,s=6,n=1;
a=-2,b=6,a=4,s=10,n=2;
a=2,b=4,a=6,s=16,n=3;
a=-2,b=6,a=4,s=20,n=4.
此时20>
16,则输出n的值为4,故选B.
9.D 解法一:
过A作AD⊥BC于D,设BC=a,由已知得AD=,∵B=,∴AD=BD,∠BAD=,
∴BD=,DC=a,tan∠DAC==2.
∴tan∠BAC=tan===-3.
cos2∠BAC==,sin∠BAC==.故选D.
过A作AD⊥BC于D,设BC=a,由已知得AD=,∵B=,∴AD=BD,∴BD=AD=,DC=a,∴AC==a,在△ABC中,由正弦定理得=,∴sin∠BAC=.故选D.
10.B 由三视图可知,该几何体是底面为正方形(边长为3),高为6,侧棱长为3的斜四棱柱.其表面积S=2×
32+2×
3×
3+2×
6=54+18.故选B.
易错警示 学生易因空间想象能力较差而误认为侧棱长为6,或漏算了两底面的面积而致错.
11.B 易得AC=10.设底面△ABC的内切圆的半径为r,则×
6×
8=×
(6+8+10)·
r,所以r=2,因为2r=4>
3,所以最大球的直径2R=3,即R=.此时球的体积V=πR3=π.故选B.
12.A 解法一:
设点M(-c,y0),OE的中点为N,则直线AM的斜率k=,从而直线AM的方程为y=(x+a),令x=0,得点E的纵坐标yE=.
同理,OE的中点N的纵坐标yN=.
因为2yN=yE,所以=,即2a-2c=a+c,所以e==.故选A.
如图,设OE的中点为N,
由题意知|AF|=a-c,|BF|=a+c,|OF|=c,|OA|=|OB|=a,
∵PF∥y轴,∴==,
==,
又∵=,即=,
∴a=3c,故e==.
方法总结 利用点M的坐标为参变量,通过中点坐标公式建立等式,再利用方程的思想求解.
二、填空题
13.
答案 -10
解析 可行域如图所示(包括边界),直线2x-y+1=0与x-2y-1=0相交于点(-1,-1),当目标函数线过(-1,-1)时,z取最小值,zmin=-10.
14.
答案
解析 函数y=sinx-cosx=2sin的图象可由函数y=2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到.
方法总结 本题首先要将函数化为y=Asin(ωx+φ)(其中A>
0,ω>
0)的形式再求解,另外要注意图象平移的方向.
15.
答案 4
解析 圆心(0,0)到直线x-y+6=0的距离d==3,|AB|=2=2,过C作CE⊥BD于E,因为直线l的倾斜角为30°
所以|CD|====4.
解后反思 本题涉及直线和圆的位置关系,要充分利用圆的性质及数形结合的思想方法求解.
16.
答案 y=2x
解析 当x>
0时,-x<
0,f(-x)=ex-1+x,而f(-x)=f(x),所以f(x)=ex-1+x(x>
0),点(1,2)在曲线y=f(x)上,易知f'
(1)=2,故曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是y-2=f'
(1)·
(x-1),即y=2x.
易错警示 注意f'
(1)的求解方法,易因忽略x的取值范围而直接求f(x)=e-x-1-x的导数致错.
三、解答题
17.
解析 (Ⅰ)由题意得a2=,a3=.(5分)
(Ⅱ)由-(2an+1-1)an-2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).
因为{an}的各项都为正数,所以=.
故{an}是首项为1,公比为的等比数列,因此an=.(12分)
18.
解析 (Ⅰ)由折线图中数据和附注中参考数据得
=4,(ti-)2=28,=0.55,
(ti-)(yi-)=tiyi-yi=40.17-4×
9.32=2.89,
r≈≈0.99.(4分)
因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.(6分)
(Ⅱ)由=≈1.331及(Ⅰ)得==≈0.10,
=-=1.331-0.10×
4≈0.93.
所以y关于t的回归方程为=0.93+0.10t.(10分)
将2016年对应的t=9代入回归方程得:
=0.93+0.10×
9=1.83.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.83亿吨.(12分)
思路分析 先根据折线图及参考数据求解相关系数r,再对相关系数r的意义进行阐述,然后根据最小二乘法得出线性回归系数,注意运算的准确性.
19.
解析 (Ⅰ)证明:
由已知得AM=AD=2,
取BP的中点T,连结AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2.(3分)
又AD∥BC,故TN
AM,故四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.
因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.(6分)
(Ⅱ)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为PA.(9分)
取BC的中点E,连结AE.
由AB=AC=3得AE⊥BC,AE==.
由AM∥BC得M到BC的距离为,
故S△BCM=×
4×
=2.
所以四面体N-BCM的体积VN-BCM=·
S△BCM·
=.(12分)
20.
解析 由题设知F.设l1:
y=a,l2:
y=b,易知ab≠0,
且A,B,P,Q,R.
记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)
(Ⅰ)由于F在线段AB上,故1+ab=0.
记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则
k1=====-b=k2.
所以AR∥FQ.(5分)
(Ⅱ)设l与x轴的交点为D(x1,0),则S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=.
由题设可得2×
|b-a|=,所以x1=0(舍去)或x1=1.
设满足条件的AB的中点为E(x,y).
当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得=(x≠1).
而=y,所以y2=x-1(x≠1).
当AB与x轴垂直时,E与D重合.
所以,所求轨迹方程为y2=x-1.(12分)
易错警示 容易漏掉直线AB与x轴垂直的情形而失分.
21.
解析 (Ⅰ)由题设知,f(x)的定义域为(0,+∞),f'
(x)=-1,令f'
(x)=0,解得x=1.
当0<
x<
1时,f'
(x)>
0,f(x)单调递增;
当x>
(x)<
0,f(x)单调递减.(4分)
(Ⅱ)证明:
由(Ⅰ)知f(x)在x=1处取得最大值,最大值为f
(1)=0.
所以当x≠1时,lnx<
x-1.
故当x∈(1,+∞)时,lnx<
x-1,ln<
-1,即1<
x.(7分)
(Ⅲ)证明:
由题设c>
1,设g(x)=1+(c-1)x-cx,
则g'
(x)=c-1-cxlnc,令g'
(x)=0,
解得x0=.
当x<
x0时,g'
0,g(x)单调递增;
0,g(x)单调递减.(9分)
由(Ⅱ)知1<
c,故0<
x0<
1.
又g(0)=g
(1)=0,故当0<
1时,g(x)>
0.
所以当x∈(0,1)时,1+(c-1)x>
cx.(12分)
疑难突破 在(Ⅲ)中,首先要解方程g'
(x)=0,为了判定g(x)的单调性,必须比较极值点x0与区间(0,1)的关系,注意到g(0)=g
(1)=0是求解本题的突破点.
22.
解析 (Ⅰ)连结PB,BC,则∠BFD=∠PBA+∠BPD,∠PCD=∠PCB+∠BCD.
因为=,所以∠PBA=∠PCB,
又∠BPD=∠BCD,所以∠BFD=∠PCD.
又∠PFB+∠BFD=180°
∠PFB=2∠PCD,
所以3∠PCD=180°
因此∠PCD=60°
.(5分)
(Ⅱ)因为∠PCD=∠BFD,所以∠EFD+∠PCD=180°
由此知C,D,F,E四点共圆,其圆心既在CE的垂直平分线上,又在DF的垂直平分线上,故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心,所以G在CD的垂直平分线上.又O也在CD的垂直平分线上,因此OG⊥CD.(10分)
方法总结 三角形和四边形的外接圆的圆心是各边中垂线的交点.因此中点、垂直、圆心是紧紧相连、相互转化、相互作用的.
23.
解析 (Ⅰ)C1的普通方程为+y2=1.
C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分)
(Ⅱ)由题意,可设点P的直角坐标为(cosα,sinα).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)==.(8分)
当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.(10分)
思路分析 求圆上一动点到直线上点的距离的最小值时,利用圆的参数方程化为三角函数的最值问题,能极大提高解题效率.
24.
解析 (Ⅰ)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.
解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.(5分)
(Ⅱ)当x∈R时,
f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|
≥|2x-a+1-2x|+a
=|1-a|+a,
当x=时等号成立,
所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.①(7分)
当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.
当a>
1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.
所以a的取值范围是[2,+∞).(10分)
方法总结 含有绝对值的不等式恒成立问题主要有两种解决方法:
一是利用|a±
b|≤|a|+|b|;
二是利用数形结合的思想方法.
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