教学大纲数学分析IWord下载.docx
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课堂上加强与学生的互动,引导学生探索讨论,激发学生的学习兴趣,调动学生的学习主动性,提高课堂学习效率。
(三)实践教学环节
本课程的实践教学环节以习题评析、实例讨论和应用研究为主,使学生能够理论联系实际,学以致用,从而逐步提高学生的知识运用能力和应用创新能力。
(四)学习要求
学生需要做好课前预习、课堂学习、课后复习、做作业等学习环节,以掌握本课程所学内容。
(五)考核方式
本课程采用闭卷考试的方式进行考核。
考核成绩包括平时成绩与期末考试成绩。
平时成绩(包括作业、考勤、课堂表现及期中考试)占40%,期末考试成绩占60%。
三、各教学环节学时分配
以表格方式表现各章节的学时分配,表格如下:
教学课时分配(单位:
课时)
序号
章节内容
讲课
实验
其它
合计
1
第一章实数集与函数第一节实数第二节数集、确界原理
第三节函数概念
第四节具有某些特性的函数
6
0
2
第二章数列极限
第一节数列极限概念
第二节收敛数列的性质
第三节数列极限存在的条件
8
3
第三章函数极限
第一节函数极限概念
第二节函数极限的性质
第三节函数极限存在的条件
第四节两个重要的极限
第五节无穷小量与无穷大量
12
14
4
第四章函数的连续性
第一节连续性概念
第二节连续函数的性质
第三节初等函数的连续性
5
第五章导数与微分
第一节导数的概念
第二节求导法则
第三节参变量函数的导数
第四节高阶导数
第五节微分
10
第六章微分中值定理及其应用第一节拉格朗日定理和函数的单调性
第二节柯西中值定理和不定式极限
第三节泰勒公式
第四节函数的极值与最值
第五节函数的凸性与拐点
第六节函数图像的讨论
第七章实数的完备性
第一节基本定理
第二节闭区间上连续函数性质的证明
第八章不定积分第一节不定积分概念与基本积分公式
第二节换元积分法与分部积分法
第三节有理函数和可化为有理函数的不定积分
第八章习题课
9
第九章定积分第一节定积分概念
第二节可积条件
第三节定积分的性质
第四节微积分学基本定理、
牛顿-莱布尼茨公式
第五节定积分计算
第十章定积分的应用
第一节平面图形的面积
第二节由平行截面面积求体积
第三节平面曲线的弧长与曲率
第四节旋转曲面的面积
第五节定积分在物理中的某些应用
第六节定积分的近似计算
11
第十一章反常积分
第一节反常积分概念
第二节无穷积分的性质与收敛判别
第三节瑕积分的性质与收敛判别
总复习
96
112
四、教学内容
第一章实数集与函数
第一节实数
1、实数的概念
2、实数的性质
3、绝对值与不等式
第二节数集确界理论
1、区间与邻域
2、有界集与无界集
3、上确界与下确界
4、确界原理
第三节函数概念
1、函数的定义
2、函数的表示法
3、分段函数
4、函数的四则运算
5、复合函数
6、反函数
7、初等函数
1、有界函数
2、单调函数
3、奇函数与偶函数
4、周期函数
教学重点、难点:
确界概念、确界原理和函数概念
课程的考核要求:
了解数学的发展史与实数的概念,理解绝对值不等式的性质,会解绝对值不等式;
弄清区间和邻域的概念,理解确界概念、确界原理,会利用定义证明一些简单数集的确界;
掌握函数的定义及函数的表示法,了解函数的运算;
理解和掌握一些特殊类型的函数。
复习思考题:
1.如何证明函数在某集合上无界?
2.如何用定义验证某数集的上确界和下确界?
并举例说明。
3.常见的非初等函数有哪些?
第二章数列极限
第一节数列极限的概念
1、数列的定义
2、数列极限的概念
3、无穷小数列
1、唯一性
2、有界性
3、保号性
4、单调性
5、四则运算法则
6、数列收敛与子列收敛的关系
1、单调有界准则
2、迫敛性法则
3、柯西收敛准则
数列极限概念与性质,单调有界定理、柯西收敛准则
逐步透彻理解和掌握数列极限的概念;
掌握并能运用-N语言处理极限问题;
掌握收敛数列的基本性质和数列极限的存在条件(单调有界函数和迫敛性定理),并能灵活运用;
理解数列极限的柯西收敛准则,理解子列的概念及其与数列极限的关系;
理解无穷小数列的概念及其与数列极限的关系;
掌握数列极限的求解方法。
1.在数列极限的
定义中,
和
的作用是什么?
二者有什么关系?
用该定义验证数列极限的方法是什么?
2.若两个数列的收敛性不确定,讨论二者的和、差、积、商的收敛性。
3.用柯西收敛准则叙述数列发散的充要条件,并举例说明。
第三章函数极限
第一节函数极限概念
1、函数极限的概念
2、单侧极限的概念
2、局部有界性
3、局部保号性
4、不等式性
5、迫敛性
1、归结原则(Heine定理)
2、柯西准则
第四节两个重要的极限
1、无穷小量
2、无穷小量阶的比较
3、无穷大量
函数极限概念及其性质,两个重要极限,等价无穷小量,归结原则
理解和掌握函数极限的概念;
掌握并能应用-,-X语言处理函数极限问题;
理解函数的单侧极限,函数极限的柯西准则;
掌握函数极限的性质和归结原则;
熟练掌握两个重要极限和等价无穷小量来处理极限问题。
1.在函数极限的
用该定义验证函数极限的方法是什么?
2.根据函数极限的柯西收敛准则,叙述函数极限不存在的充要条件,并举例说明。
3.讨论无穷大量与无界变量的关系。
第四章函数的连续性
第一节连续性概念
1、一点连续的定义
2、区间连续的定义
3、单侧连续的定义
4、间断点及其分类;
第二节连续函数的性质
1、局部性质及运算性质
2、闭区间上连续函数的性质
3、反函数的连续性
4、一致连续性
第三节初等函数的连续性
连续性的定义,间断点的分类,闭区间上连续函数的性质,一致连续性
理解与掌握一元函数连续性、一致连续性的定义及其证明,理解与掌握函数间断点及其分类,连续函数的局部性质;
理解单侧连续的概念;
能正确叙述和简单应用闭区间上连续函数的性质;
了解反函数的连续性,理解复合函数的连续性,初等函数的连续性。
1.在定义区间上每一点处均不连续的函数存在吗?
2.连续与一致连续的区别与关系是什么?
第五章导数和微分
第一节导数的概念
1、导数的定义
2、单侧导数
3、导函数
4、导数的几何意义;
1、导数的四则运算
2、求导法则(反函数的求导法则,复合函数的求导法则,隐函数的求导法则)
3、导数公式
1、微分的定义
2、微分的运算法则
3、高阶微分
4、微分的应用
导数定义,复合函数的导数,高阶导数,微分的定义
理解和掌握导数与微分概念,了解它们的几何意义;
能熟练地运用导数的运算性质和求导法则求函数的导数;
理解单侧导数、可导性与连续性的关系,高阶导数的求法;
了解导数的几何应用,微分在近似计算中的应用。
1.导数的实质是什么?
如何用定义判断分段函数在分段点的可导性?
2.微分的实质是什么?
微分与导数的关系是什么?
3.一阶微分形式的不变性是什么?
高阶微分为什么不具有形式不变性?
第六章微分中值定理及其应用
第一节拉格朗日中值定理和函数的单调性
1、罗尔定理
2、拉格朗日中值定理
3、拉格朗日中值定理
第二节柯西中值定理和不定式极限
1、柯西中值定理
2、不定式极限
第三节泰勒公式
第四节函数的极值与最值
1、函数的极值
2、函数的最值
第五节函数的凸性与拐点
第六节函数图像的讨论
中值定理,洛必达法则,函数极值与凸性,泰勒公式
掌握中值定理的内容、证明及其应用;
了解泰勒公式及在近似计算中的应用,能够把某些函数按泰勒公式展开;
能熟练地运用洛必达法则求不定式的极限;
了解和掌握函数的某些特性(单调性、极值与最值、凹凸性、拐点)及其判断方法,能利用函数的特性解决相关的实际问题。
1.罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理四个中值定理的条件和结论是什么?
如何证明?
主要应用是什么?
2.七种未定式极限用洛必达法则来求解的方法一般有哪些?
3.如何应用泰勒公式求极限和近似计算?
第一节关于实数完备性的基本定理
第二节闭区间上连续函数整体性质的证明
实数完备性的六个基本定理及应用
了解实数连续性的几个定理和闭区间上连续函数的性质的证明
1.实数完备性的六个定理的内容是什么?
如何证明其相互等价性?
2.如何应用实数完备性的基本定理证明闭区间上连续函数的性质?
第八章不定积分
第一节不定积分概念与基本积分公式
第二节换元积分法与分部积分法
原函数与不定积分概念,换元积分法与分部积分法,有理函数积分法
理解原函数和不定积分概念;
熟练掌握换元积分法、分部积分法、有理式积分法、简单无理式和三角有理式积分法。
1.不定积分的实质是什么?
2.换元积分法和分部积分法的基本类型有哪些?
3.有理函数积分的主要步骤是什么?
第九章定积分
第一节定积分概念
1、概念的引入
2、黎曼积分定义
3、定积分的几何意义
第二节可积条件
1、可积的必要条件和充要条件
2、达布上和与达布下和
3、可积函数类
1、定积分的基本性质
2、积分中值定理
第四节微积分学基本定理
1、变限积分
2、原函数存在定理(微积分学基本定理)
3、牛顿-莱布尼兹公式
4、积分第二中值定理
第五节定积分的计算
1、换元积分法
2、分部积分法
定积分的定义,变限积分,牛顿—莱布尼茨公式,微积分学基本定理,定积分的计算
理解定积分概念及函数可积的条件;
熟悉一些可积分函数类,会一些较简单的可积性证明;
掌握定积分与可变上限积分的性质;
能较好地运用牛顿-莱布尼兹公式,换元积分法,分部积分法计算一些定积分。
1.定积分的概念是什么?
2.可积的条件是什么?
常见的可积函数类有哪些?
3.微积分基本定理是什么?
变限积分的导数如何求?
4.比较定积分和不定积分的换元积分法和分部积分法的异同。
第十章定积分的应用
第二节由平面截面面积求体积
定积分的几何应用,微元法
重点掌握定积分的几何应用;
理解定积分在物理上的应用;
理解并掌握"
微元法"
。
1.微元法的思想和应用步骤是什么?
2.举例说明定积分的几何应用。
第十一章反常积分
第一节反常积分的概念
第二节无穷积分的性质和收敛判别
第三节瑕积分的性质和收敛判别
无穷积分与瑕积分敛散性的判别
掌握广义积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念;
能用收敛性判别法判断某些广义积分的收敛性。
1.反常积分的定义是什么?
2.无穷积分与瑕积分敛散性的主要判别方法。
五、其它
由于课时很紧并且课程衔接紧密,为保证教学质量,本教学大纲将根据学生的学习水平和教学实际课时稍作调整。
六、主要参考书(黑体,小四号字)
教材
华东师范大学数学系编著.数学分析(第四版)上册.北京:
高等教育出版社.2010年。
教学参考书
[1]WalterRudin著,赵慈庚,蒋铎译.《数学分析原理》(原书第三版).北京:
机械工业出版社.2005年1月.
[2]Γ.Μ.菲赫金哥尔茨著.《微积分学教程》(共三卷第八版).北京:
高等教育出版社.2006年1月.
[3]裴礼文.《数学分析中的典型问题与方法》(第二版).北京:
高等教育出版社.2006年4月.
[4]吉米多维奇(著),费定晖、周学圣(译).《数学分析习题集题解》(共六册第三版).济南:
山东科学技术出版社.2005年1月.
执笔人:
陶桂平教研室主任:
系教学主任审核签名:
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- 教学大纲 数学分析