高考数学复习讲义一遍过01第一章 集合与常用逻Word文档格式.docx
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真子集
如果集合A是集合B的子集,并且集合B中至少有一个元素不属于A
AB(或BA)
集合相等
如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素,反过来,集合B的每一个元素也都是集合A的元素
A=B
3.集合的基本运算
运算
交集
由属于集合A又属于集合B的所有元素构成的集合
A∩B={x|x∈A且x∈B}
并集
对于给定的两个集合A,B,由两个集合的所有元素构成的集合
A∪B={x|x∈A或x∈B}
补集
如果给定集合A是全集U的一个子集,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合
∁UA={x|x∈U且x∉A}
概念方法微思考
1.若一个集合A有n个元素,则集合A有几个子集,几个真子集.
提示 2n,2n-1.
2.从A∩B=A,A∪B=A可以得到集合A,B有什么关系?
提示 A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.( ×
)
(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( ×
(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( ×
(4){x|x≤1}={t|t≤1}.( √ )
(5)若A∩B=A∩C,则B=C.( ×
题组二 教材改编
2.若集合A={x∈N|x≤
},a=2
,则下列结论正确的是( )
A.{a}⊆AB.a⊆A
C.{a}∈AD.a∉A
答案 D
3.已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为________.
答案 2
解析 集合A表示以(0,0)为圆心,1为半径的单位圆上的点,集合B表示直线y=x上的点,圆x2+y2=1与直线y=x相交于两点
,
,则A∩B中有两个元素.
题组三 易错自纠
4.(2018·
湖南长郡中学月考)已知集合A={x∈N|0≤x≤4},则下列说法正确的是( )
A.0∉AB.1⊆A
C.
⊆AD.3∈A
解析 集合A={x∈N|0≤x≤4},∴0∈A,1∈A,
∉A,3∈A,故选D.
5.已知集合A={x|x2-4x+3<
0},B={x|2<
x<
4},则(∁RA)∪B=______________.
答案 {x|x≤1或x>
2}
解析 由已知可得集合A={x|1<
3},
又因为B={x|2<
4},∁RA={x|x≤1或x≥3},
所以(∁RA)∪B={x|x≤1或x>
2}.
6.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是________.
答案 0或1或-1
解析 易得M={a}.∵M∩N=N,∴N⊆M,
∴N=∅或N=M,∴a=0或a=±
1.
题型一 集合的含义
1.已知集合A={0,1,2},则集合B={(x,y)|x≥y,x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1B.3C.6D.9
答案 C
解析 当x=0时,y=0;
当x=1时,y=0或y=1;
当x=2时,y=0,1,2.
故集合B={(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2)},即集合B中有6个元素.
2.已知集合A=
,则集合A中的元素个数为( )
A.2B.3C.4D.5
解析 因为
∈Z,所以2-x的取值有-3,-1,1,3,又因为x∈Z,所以x的值分别为5,3,1,-1,故集合A中的元素个数为4.
3.已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.
答案 -
解析 由题意得m+2=3或2m2+m=3,
则m=1或m=-
当m=1时,m+2=3且2m2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意;
当m=-
时,m+2=
,而2m2+m=3,故m=-
.
思维升华
(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合.
(2)如果是根据已知列方程求参数值,一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性.
题型二 集合间的基本关系
例1
(1)集合M=
,N=
,则两集合M,N的关系为( )
A.M∩N=∅B.M=N
C.M⊆ND.N⊆M
解析 由题意,对于集合M,当n为偶数时,设n=2k(k∈Z),则x=k+1(k∈Z),当n为奇数时,设n=2k+1(k∈Z),则x=k+1+
(k∈Z),∴N⊆M,故选D.
(2)已知集合A={x|x2-2019x+2018<
0},B={x|x<
a},若A⊆B,则实数a的取值范围是______________________.
答案 [2018,+∞)
解析 由x2-2019x+2018<
0,解得1<
2018,
故A={x|1<
2018}.
又B={x|x<
a},A⊆B,如图所示,可得a≥2018.
引申探究
本例
(2)中,若将集合B改为{x|x≥a},其他条件不变,则实数a的取值范围是____________.
答案 (-∞,1]
解析 A={x|1<
2018},B={x|x≥a},A⊆B,如图所示,可得a≤1.
思维升华
(1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解.
(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关系,常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.
跟踪训练1
(1)已知集合A={y|0≤y<
a,y∈N},B={x|x2-2x-3≤0,x∈N},若AB,则满足条件的正整数a所构成集合的子集的个数为________.
答案 8
解析 B={x|x2-2x-3≤0,x∈N}={x|-1≤x≤3,x∈N}={0,1,2,3},当a分别取1,2,3时,所得集合A分别为{0},{0,1},{0,1,2},均满足AB,当a=4时,A={0,1,2,3},不满足AB,同理,当a≥5时均不满足AB.所以满足条件的正整数a所构成的集合为{1,2,3},其子集有8个.
(2)已知集合A={x|-1<
3},B={x|-m<
m}.若B⊆A,则m的取值范围为__________.
解析 当m≤0时,B=∅,显然B⊆A.
当m>
0时,因为A={x|-1<
3},B⊆A,
所以在数轴上标出两集合,如图,
所以
所以0<
m≤1.
综上所述,m的取值范围为(-∞,1].
题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
例2
(1)(2018·
全国Ⅰ)已知集合A=
,则∁RA等于( )
A.{x|-1<
B.{x|-1≤x≤2}
C.{x|x<
-1}∪{x|x>
D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}
答案 B
解析 ∵x2-x-2>
0,∴(x-2)(x+1)>
0,∴x>
2或x<
-1,即A={x|x>
-1}.在数轴上表示出集合A,如图所示.
由图可得∁RA={x|-1≤x≤2}.
故选B.
(2)已知集合A={x|x2-2x>
0},B={x|-
<
5},则( )
A.A∩B=∅B.A⊆B
C.B⊆AD.A∪B=R
解析 ∵A={x|x>
0},∴A∪B=R.
命题点2 利用集合的运算求参数
例3
(1)(2018·
锦州模拟)已知集合A={x|x<
a},B={x|x2-3x+2<
0},若A∩B=B,则实数a的取值范围是( )
A.a<
1B.a≤1C.a>
2D.a≥2
解析 集合B={x|x2-3x+2<
0}={x|1<
2},
由A∩B=B可得B⊆A,作出数轴如图.
可知a≥2.
(2)设集合A={-1,0,1},B=
,A∩B={0},则实数a的值为________.
答案 1
解析 0∈
,由a+
≠0,则a-1=0,则实数a的值为1.经检验,当a=1时满足题意.
(3)设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}.若A∩B=B,则实数a的取值范围是______.
答案 (-∞,-1]∪{1}
解析 因为A∩B=B,所以B⊆A,
因为A={0,-4},所以B⊆A分以下三种情况:
①当B=A时,B={0,-4},由此可知,0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,
由根与系数的关系,得
解得a=1;
②当B≠∅且BA时,B={0}或B={-4},
并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,
解得a=-1,此时B={0}满足题意;
③当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<
0,
解得a<
-1.
综上所述,所求实数a的取值范围是(-∞,-1]∪{1}.
思维升华
(1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用Venn图表示;
集合中的元素若是连续的,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.
(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化.
跟踪训练2
(1)(2018·
葫芦岛检测)已知集合A={x|-2<
4},B={x|y=lg(x-2)},则A∩(∁RB)等于( )
A.(2,4)B.(-2,4)
C.(-2,2)D.(-2,2]
解析 由题意得B={x|y=lg(x-2)}=(2,+∞),
∴∁RB=(-∞,2],∴A∩(∁RB)=(-2,2].
(2)已知集合A={x|x2-x-12≤0},B={x|2m-1<
m+1},且A∩B=B,则实数m的取值范围为( )
A.[-1,2)B.[-1,3]
C.[2,+∞)D.[-1,+∞)
解析 由x2-x-12≤0,得(x+3)(x-4)≤0,
即-3≤x≤4,所以A={x|-3≤x≤4}.
又A∩B=B,所以B⊆A.
①当B=∅时,有m+1≤2m-1,解得m≥2;
②当B≠∅时,有
解得-1≤m<
2.
综上,m的取值范围为[-1,+∞).
题型四 集合的新定义问题
例4
(1)(2018·
沈阳模拟)已知集合A={x∈N|x2-2x-3≤0},B={1,3},定义集合A,B之间的运算“*”:
A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},则A*B中的所有元素数字之和为( )
A.15B.16C.20D.21
解析 由x2-2x-3≤0,得(x+1)(x-3)≤0,得A={0,1,2,3}.因为A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},所以A*B中的元素有:
0+1=1,0+3=3,1+1=2,1+3=4,2+1=3(舍去),2+3=5,3+1=4(舍去),3+3=6,所以A*B={1,2,3,4,5,6},所以A*B中的所有元素数字之和为21.
(2)设数集M=
,且M,N都是集合U={x|0≤x≤1}的子集,定义b-a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”,则集合M∩N的长度的最小值为________.
答案
解析 在数轴上表示出集合M与N(图略),
可知当m=0且n=1或n-
=0且m+
=1时,M∩N的“长度”最小.
当m=0且n=1时,M∩N=
长度为
-
=
;
当n=
且m=
时,M∩N=
综上,M∩N的长度的最小值为
思维升华解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:
(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,应用到具体的解题过程之中.
(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素.
跟踪训练3用C(A)表示非空集合A中元素的个数,定义A*B=
若A={1,2},B={x|(x2+ax)(x2+ax+2)=0},且A*B=1,设实数a的所有可能取值组成的集合是S,则C(S)=________.
答案 3
解析 因为C(A)=2,A*B=1,所以C(B)=1或C(B)=3.由x2+ax=0,得x1=0,x2=-a.关于x的方程x2+ax+2=0,当Δ=0,即a=±
2
时,易知C(B)=3,符合题意;
当Δ>
0,即a<
-2
或a>
时,易知0,-a均不是方程x2+ax+2=0的根,故C(B)=4,不符合题意;
当Δ<
0,即-2
a<
时,方程x2+ax+2=0无实数解,当a=0时,B={0},C(B)=1,符合题意,当-2
0或0<
时,C(B)=2,不符合题意.综上,S={0,-2
,2
},故C(S)=3.
1.已知集合A={y|y=|x|-1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是( )
A.-3∈AB.3∉BC.A∩B=BD.A∪B=B
解析 由题意知A={y|y≥-1},因此A∩B={x|x≥2}=B,故选C.
2.设集合M={-1,1},N=
,则下列结论中正确的是( )
A.NMB.MNC.N∩M=∅D.M∪N=R
解析 由题意得,集合N=
,所以MN.故选B.
3.设集合A={x∈Z|x2-3x-4<
0},B={x|2x≥4},则A∩B等于( )
A.[2,4)B.{2,4}C.{3}D.{2,3}
解析 由x2-3x-4<
0,得-1<
4,因为x∈Z,所以A={0,1,2,3},由2x≥4,得x≥2,即B={x|x≥2},所以A∩B={2,3}.
全国Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )
A.9B.8C.5D.4
答案 A
解析 将满足x2+y2≤3的整数x,y全部列举出来,即(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9个.
故选A.
5.设集合A={x∈Z|x2-2x-3≤0},B={0,1},则∁AB等于( )
A.{-3,-2,-1}B.{-1,2,3}
C.{-1,0,1,2,3}D.{0,1}
解析 由题意可知A={-1,0,1,2,3},则∁AB={-1,2,3}.故选B.
6.(2018·
呼和浩特联考)已知全集U={x∈N|x2-5x-6<
0},集合A={x∈N|-2<
x≤2},B={1,2,3,5},则(∁UA)∩B等于( )
A.{3,5}B.{2,3,5}
C.{2,3,4,5}D.{3,4,5}
解析 由题意知,U={0,1,2,3,4,5},A={0,1,2},则(∁UA)∩B={3,5}.故选A.
7.(2017·
全国Ⅱ)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B等于( )
A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}
解析 ∵A∩B={1},∴1∈B.
∴1-4+m=0,即m=3.
∴B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.故选C.
8.已知集合A={x|-1<
0},B={x|x≤a},若A⊆B,则a的取值范围为( )
A.(-∞,0]B.[0,+∞)
C.(-∞,0)D.(0,+∞)
解析 用数轴表示集合A,B(如图),由A⊆B,得a≥0.
9.已知集合P={x|y=
,x∈N},Q={x|lnx<
1},则P∩Q=________.
答案 {1,2}
解析 由-x2+x+2≥0,得-1≤x≤2,因为x∈N,所以P={0,1,2}.因为lnx<
1,所以0<
e,所以Q=(0,e),则P∩Q={1,2}.
10.若全集U=R,集合A={x|x2-x-2≥0},B={x|log3(2-x)≤1},则A∩(∁UB)=__________.
答案 {x|x<
-1或x≥2}
解析 集合A={x|x2-x-2≥0}={x|x≤-1或x≥2},
∵log3(2-x)≤1=log33,∴0<
2-x≤3,
∴-1≤x<
2,∴B={x|-1≤x<
∴∁UB={x|x<
-1或x≥2},
∴A∩(∁UB)={x|x<
-1或x≥2}.
11.设集合A={-1,1,2},B={a+1,a2-2},若A∩B={-1,2},则a的值为________.
答案 -2或1
解析 ∵集合A={-1,1,2},B={a+1,a2-2},A∩B={-1,2},∴
或
解得a=-2或a=1.
经检验,a=-2和a=1均满足题意.
12.已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<
0,c>
0},若A⊆B,则实数c的取值范围是________.
答案 [1,+∞)
解析 由题意知,A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>
0}=(0,1),B={x|x2-cx<
0}=(0,c).由A⊆B,画出数轴,如图所示,得c≥1.
13.已知集合A={x∈R||x+2|<
3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<
0},且A∩B=(-1,n),则m=______,n=________.
答案 -1 1
解析 A={x∈R||x+2|<
3}={x∈R|-5<
1},
由A∩B=(-1,n),可知m<
1,
则B={x|m<
2},画出数轴,可得m=-1,n=1.
14.设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A,且k+1∉A,那么称k是A的一个“孤立元”.给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个.
答案 6
解析 依题意可知,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”时,这三个元素一定是连续的三个自然数.故这样的集合共有6个.
15.已知集合A=
,B={(x,y)|y=kx+m,k∈R,m∈R},若对任意实数k,A∩B≠∅,则实数m的取值范围是____________.
答案 [-
]
解析 由已知,无论k取何值,椭圆
+
=1和直线y=kx+m均有交点,故点(0,m)在椭圆
=1上或在其内部,∴m2≤2,∴-
≤m≤
16.已知A=
,B={x|x2-2x+1-a2≤0}(a>
0),若A∪B=B,则实数a的取值范围是______.
答案 [5,+∞)
解析 由
>
0可得(x-2)(x-6)<
∴2<
6,∴A=(2,6).
又x2-2x+1-a2≤0可化为[x-(1-a)][x-(1+a)]≤0.
又a>
0,∴B=[1-a,1+a].
由A∪B=B,得A⊆B,
∴
∴a≥5.
∴实数a的取值范围是[5,+∞).
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