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一、子课题研究的一般情况

一

（一）子课题研究的背景

新课程实施以来，一方面新教材留给师生的教学空间很大，另一方面，随着新课改的深入推行，初中数学与高中数学间的差异性已经逐渐的显露出来，使得高中学生和数学教师需要面对许多新的变化与困难．

1．学生在高中数学学习活动中普遍感到学习的门槛高、压力大

调查显示，在实施新课改后许多学生不能较快地适应高中数学学习，数学成绩分化较严重，甚至有些初中数学成绩的佼佼者，进入高中后数学成绩大幅下降，心理落差较大，严重影响到学生心智的健康发展．学生在数学学习过程中普遍感到学习门槛高压力大（子课题组对华师一附中和武汉中学近两届学生进行的问卷调查显示，华中师大一附中的学生中，感到有较大压力占32．9%，有一定压力占64．5%，仅3．6%的学生没有感到压力；

武汉中学的学生中，感到有较大压力占47．3%，有一定压力占52．1%的学生，仅0．6%的学生没有感到压力）．而在高一数学教学中，普遍存在“老师教的费劲，学生学的吃力”的现象．使得许多学生学习数学的兴趣下降、困难加大，有些同学甚至产生反感情绪与恐惧心理，导致处在高一阶段的学生，就出现数学成绩明显的两极分化，不少学生家长在对照孩子初高中的数学成绩后也多有抱怨．

2．初、高中数学新课程标准与旧教学大纲变化很大，衔接内容的课堂教学效益不高

实施新课改后，使初、高中新的数学课程标准与旧的数学教学大纲有很大的变化．新课程理念倡导学生积极主动、勇于探索的数学学习方式，新教材分模块、螺旋上升的编写方式，以及对原有数学内容与时俱进的进行适度增加和删减，使得初、高中数学有些内容的衔接不尽自然、缺少必备的知识和逻辑铺垫、跳跃性较大．另一方面，相对于初中，高中数学内容难度增大、抽象性增强，应用与实践不仅更加广泛，而且与现实社会生活、现代科技发展新成果的结合更加紧密，因此，在知识与能力方面，可以说新课标对师生的要求实际上比课改前更高．加之高中教师对初中新教材的研究尚不够深入，对学生已有的知识结构及认知能力把握不准，甚至对初中教材的把握还停留在课改前的认识基础上；

高中新教材内容多，教学时数相对偏紧，高中老师与初中老师的授课方式客观上存在一定差异等，这些诸多因素，对课堂教学效益的负面影响较大．

3．对新课程初、高中数学衔接内容的有效教学模式的研究与实践尚不成熟

搞好初高中的教学衔接，对学生学业进步和身心发展非常重要．初、高中教育教学衔接问题，已引起教育管理和教研部门、学校和广大教师的高度重视．如安徽省教育厅2006年就下发了“认真做好高中课程与初中新课程教学衔接工作”的通知；

部分教育管理和教研部门、学校也进行了一些初、高中衔接教学专题研讨，出台了《部分学科初中高中教学衔接指导意见》，并设立了相应的“衔接教学”环节等．尽管教研部门、和越来越多的高中数学教师意识到做好“新课程初、高中数学衔接内容有效教学研究”的重要性，然而数学衔接内容的教学效果却并不明显．究其原因，主要是由于目前初、高中数学衔接内容的教学，基本上是以知识补习为主，认为初、高中数学学习的差异与衔接的原因，仅仅是因为新课改使初中学生掌握的数学知识减少，觉得只要把删去的内容通过“补课”补回来问题就解决了．因此，从总体上看，目前对初高中数学衔接内容课堂有效教学的研究比较零散，缺乏系统性，缺少成功的教学案例，特别是没有形成具有指导性、可操作的成果，对初高中数学衔接内容课堂有效教学的理论研究尚不成熟，评价标准、基本原则与有效模式的研究尚未取得突破性的进展，或者说还处于探索之中．

我省启动的湖北省普通高中课程改革重大研究项目“新课程学科课堂有效教学研究”，将“新课程初、高中数学衔接内容的有效教学研究”作为其中的一个子课题正当其时．

一

（二）子课题研究的目标、研究思路及原则

1．研究的主要目标

子课题研究的主要目标，是通过对新的初高中数学课程标准与旧的数学教学大纲、新旧数学教材内容的学习、研究、分析与比较，找出初、高中数学衔接内容的主要衔接点、区别点和需要“铺路搭桥”的知识点，遵循新的课程理念，以现代教育心理学认知理论的主要研究成果为指导，开展对初高中数学衔接内容课堂有效教学的研究与实践，努力探索出具有一定指导或参考意义的“初高中数学衔接内容课堂有效教学”的基本教学原则，评价的主要标准，提出有针对性的教学建议与措施，并在实践的基础上提炼出若干个可操作的“初高中数学衔接内容课堂有效教学”的经典模式．通过子课题的研究，探索出提高学生的学习水平、发展学生学习数学的能力、使课堂学习效益最大化，和提高教师的教学水平、更新教学观念、使课堂教学效益最大化的有效教学途径．

2．研究的思路及原则

子课题组主要采用调查研究法（5次问卷调查、3次座谈）、行动研究法（多次衔接教学研究课、衔接教学实践总结等）、观察分析法（对学生学习心理、状态、成绩等的观察和分析）．课题研究采用定量研究和定性研究相结合的方法，采取多变量设计，将问卷调查法、文献研究法、实践研究法、比较研究法、评价分析法等综合使用，侧重于调查研究、课堂观察、教学实践、数据分析、案例总结，同时注重文献研究，寻找理论支撑、增强理性思考，在实践中予以检验和完善．利用搜集整理范本、研究推广范本的作法，促进课题研究成果及时物化和总结推广．

一（三）子课题研究各阶段主要工作的特点

第一阶段：

调查研究、搜集资料，全面了解初、高中数学知识体系，找出衔接内容的主要衔接点、初高中数学教师课堂教学的主要特点与区别

1．深入初中学校，通过听课、师生座谈、问卷调查，进行初中教与学的调查研究，通过调查研究，了解新课程下初中的教学要求和老师的教学方式、方法．研究初中数学新、旧教材和教学目标的变化，高中数学新课程标准和数学教材，明确初中与高中数学学科从内容到要求上的差异和变化，疏理归纳高中教与学必备，而初中教学中存在缺陷、薄弱的知识点、技能、思想方法和学习方法等内容．

召集有关初高中衔接的师生座谈会，进行了五次初高中衔接学习问卷调查，了解初高中教学内容、方法等方面的差异、薄弱之处和初高中衔接教学的需求．

2010年11月下旬，召集本校第一次高一部分学生初高中衔接内容学习体会座谈会．

2010年12月中旬，召集本校第二次高一部分学生初高中衔接内容学习座谈会．

2011年3月中旬，在初中部和华一寄宿学校分另召集初三部分学生、老师座谈会．

2011年3月下旬，进行第一次初高中衔接学习问卷调查．

2011年4月下旬，进行第二次初高中衔接学习问卷调查．

2011年5月中旬，进行本校第三次初高中衔接学习问卷调查，并在武汉中学高一年级进行了初高中衔接学习问卷调查．

2011年10月中旬，进行第四次初高中衔接学习问卷调查．

2．通过对新的初、高中数学课程标准与旧的数学教学大纲、新旧数学教材内容的学习、研究、分析、比较，筛选出初、高中数学衔接内容的主要衔接点、区别点、薄弱点、“滞后点”和需要“铺路搭桥”的“脱节”知识点．

（1）主要薄弱知识点：

①立方和公式与立方差公式；

②因式分解中的十字相乘法、分组分解法；

③含有字母系数的方程；

④根式的分子分母有理化、最简根式与根式化简；

⑤一元二次不等式的解法；

⑥三角形的外心、重心、垂心和内心；

⑦平面几何中圆的有关定理：

垂经定理及逆定理、相交弦定理、切割线定理．

（2）重要的衔接知识点：

二次函数、二次不等式．

（3）脱节知识点，即初、高中知识体系中差异与跨度太大．主要有：

新课标义务教育阶段中没有二元二次方程组，这与高中直线与圆锥曲线的关系脱节；

新课标义务教育阶段中没有三角形的重心和垂心，而这与高考题中考查三角形的四心脱节．

（4）应用滞后性知识点，即有些数学模块的知识点与数学方法技能，与该模块在其它数学模块或其它学科的应用出现滞后现象，在教学进度上不能及时体现数学的工具性．主要有：

如新课标中，初中没有解一元二次不等式、分式不等式和含绝对值的不等式，这与高一数学必修Ⅰ中研究函数性质时常常需要使用不等式工具脱节；

教学进度上远远不能体现数学的工具性．又如初中数学压缩了的部分教学内容，目前高中数学教材的处理方式是把这些内容分别插入到相应的教材中间，或放在教材相关内容后面．例如，正、余弦定理这一内容就放在高一下学期平面向量后面，使得高一上学期物理教学中，力的合成与分解等受到制约；

同时由于三角函数在向量之前，解三角形的综合题不能及时教学．

第二阶段：

初高中数学衔接内容有效教学模式预设研究阶段

在分析研究第一阶段所采集到的信息资料的基础上，结合子课题研究的主要目标，广泛收集整理国内与子课题有关的理论研究及教学实践的成果与动态信息，学习、研究与子课题相关的现代教育心理学与现代认知论等理论研究的成果，深刻领会新的课程理念，选择既具有典型性、又能体现出不同类型的衔接知识点为课题，分别进行“初高中数学衔接内容课堂有效教学”的教学模式进行预设，并对教学模式预设进行讨论与论证．

第三阶段：

实验、反馈、再研究阶段

将前一阶段的教学模式预案，在选取有代表性的班级（必要时分层次）进行教学实验，在教学实践的基础上，收集反馈信息、研究反馈信息，探索具有指导意义、可操作性的“初、高中数学衔接内容课堂有效教学”的实施途径与策略．

第四阶段：

评价、反思、总结、整理和提炼阶段

按数学学科实施方案中抓住高中数学有效教学的六个核心点要求，即创设情境的生长点、设计问题串的启发点、相互交流的共鸣点、提炼概括的内化点、应用拓展的深化点、回顾小结的反思点，深入反思和总结衔接内容的有效取舍、教学设计的有效预设，教学方法的有效选择，教学过程的有效生成，教学重点的有效突出，教学难点的有效突破，教学细节的有效把握等，归纳、整理和提炼，形成初高中数学衔接内容课堂有效教学的基本原则与有效教学模式，取得了一些具有推广价值的显性和隐性成果．

二、本子课题研究的成果

二

（一）子课题研究的基本观点及其逻辑联系

1．搞好初高中数学衔接内容的有效教学，首先需要深入了解影响学生数学学习效率的主要因素有哪些？

课题组经历几年调查统计、教学实践和分析研究，认为影响初高中数学衔接内容的有效教学、学生数学学习效率主要有如下六大因素．

（1）新课程标准关于初中、高中数学学习目标发生变化的因素；

（2）初、高中数学有些衔接知识点，教材编写时存在跨度较大，脱节或滞后的因素；

（3）初、高中教师的教学方法差异较大的因素；

（4）初、高中学生的学习习惯与学习方法，在学习要求上存在差异的因素；

（5）初、高中学生的数学思维能力，在学习要求上差异较大的因素；

（6）初、高中学生心理发生变化的因素．

2．要克服上述主要因素对学生数学学习效率的的负面影响，需要重视下述六个方面的有效衔接

（1）要重视新课程标准关于初、高中数学学习目标的有效衔接

初高中数学教材中的很多知识点虽然相同，但教材对学习内容的要求加深了、更加抽象了，研究的范围扩大了、同时对所研究数学对象由整体到局部的认识也更加精细了．初、高中数学知识对学生在学习能力、数学思维层次的要求上不同，从研究直观形象的数学问题提升到抽象的数学规律，使得还没有经过较系统思维训练的学生普遍感到吃力，从而导致了学生心理、成绩等方面问题的产生．

（2）要重视初、高中数学教材中知识点的有效衔接

由于高中新课程教材的编写方式是分模块、螺旋式上升，对原有数学内容与时俱进的进行了增加和删减，因而有些数学知识点与数学方法技能存在被弱化、存在断层脱节（跨度较大）、或存在应用滞后现象，使得初、高中数学有些内容的衔接不尽自然、缺少必备的知识和逻辑铺垫、跳跃性较大．

（3）要重视初高中数学教师在教学方法上的有效衔接

由于初高中数学教师在教学方法上存在较大的差异，教学时间、课堂容量与教学节奏的差异也较大（课时与课容的差异），使得占相当比例的学生入校后，对于教师教学方法的改变感到不适应．

（4）初高中学生在学习方法上的衔接与优化是一个渐进过程．

（5）初高中学生在学习能力与思维能力要求上存在差异，逐步提升需要一个渐进过程．

高中数学新课程标准对培养学生的数学思维能力有明确的要求：

①直观感知、②观察分析、③归纳类比、④空间想象、⑤抽象概括、⑥符号表示、⑦运算求解、⑧数据处理、⑨演绎推理、⑩反思与建构．相对于初中而言，要求的层次明显提高了．

（6）初高中学生心理变化的因素．

二

（二）衔接内容有效教学标准的制定依据、运用原则

1．衔接内容有效教学标准的制定依据

初高中数学衔接内容课堂有效教学研究的主要依据是现代教育心理学认知理论．

（1）最近发展区理论．由前苏联的心理学家维果茨基提出，其理论基础和出发点就是确定学生发展的两种水平：

一是已经达到的发展水平，表现为学生具备独立解决问题的智力水平；

二是可能达到的发展水平，表现为学生需要借助引导和帮助，才能解决问题．维果茨基把这两种发展水平之间的距离定义为“最近发展区”，即只有走在发展前面的教学，才能有效地促进学生的发展．

（2）建构主义理论．建构主义理论是近现代国内外学校深化教学改革的主要理论依据．在认知发展领域，建构主义基本观点的核心可以概括为，以学生为中心，强调学生对知识的主动探索，主动发现和对所学知识意义的主动建构．建构主义的学习观认为，①学习的本质只能是每个学生按照本身已有的经验与知识主动地加以建构,不能简单地理解为由教师传授知识给学生．②在注意学生同化学习的一面时（可称为量的增加的一面），更应注重学习活动主要是顺应（可称为质的突变的一面）．建构主义的教学观认为，教师应当发挥导向与教学组织者的重要作用，努力调动学生的积极性，帮助他们发现问题，进行问题解决．教师要有能力从具体的范式中揭示隐藏在其背后的思想方法，变具体为抽象，再变抽象为可知、可学、可用．并且能给学生以主动学习的机会，培养他们的创造思维能力．

（3）教学最优化理论．巴班斯基教学教育过程最优化的理论主要包括六个方面：

①教学教育过程最优化的概念；

②教学教育过程最优化的理论基础；

③教学教育过程最优化的原则；

④实施教学教育过程最优化的程序；

⑤预防和克服学生成绩不良而采取的最优化措施；

⑥对优秀学生实施教学教育过程最优化的途径．

（4）有效教学理论．该理论源于20世纪上半叶西方的教学科学化运动，有效教学理论的核心是教学的效益．

2．衔接内容有效教学标准的特点

课题组结合调查分析研究与实践总结，认为初高中数学衔接内容课堂有效教学标准应尽可能的体现出以下特点：

（1）能准确把握与初中数学知识点、方法技能、数学思维间的关联性、衔接性和发展性．

（2）课堂教学情境设置、设问质疑能贴近学生原有认知水平与能力，能有效激活学生的学习动力，学生能主动探究、表达意见和观点，学生的学习能力能够得到发展和提高，使新的课程标准与课程理念得到充分体现．

（3）教学环节安排合理，学科知识的逻辑建构过程清晰自然；

学生能高质量完成学习任务，达到教师设定的学习目标．

3．衔接内容有效教学标准的运用原则

（1）循序渐进原则，是指教学要按照学科知识的逻辑系统和学生认识发展规律顺序进行，使学生系统地掌握基础知识、基本技能，形成严谨的逻辑思维能力和分析解决问题能力．

（2）可接受性原则，是指教学的内容、方法、容量和进度要适合学生的认知能力，是学生能够接受的，但又要有一定的难度，需要学生经过努力才能掌握，以促进学生认知能力的提升．

（3）同步渗透顺势而为、集中或分散穿插结合、循序渐进逐步深入的原则．

（4）提升学生思维层次的原则．

从思维发展特征看，初中学生处在形象思维为主，逐步向经验型的抽象思维过渡阶段，而高中学生处在以经验型为主的抽象思维向理论型抽象思维过渡，并初步形成辩证思维阶段．例如对所研究的数学对象的性质、或数学问题由直观到抽象、由描述性到逻辑性、由静态到动态的刻画等等．

二（三）解读本子课题有效教学模式（方式）

1．“创设情境、温故探新、螺旋上升”教学模式

知识建构过程的本质是通过新旧知识的相互作用来完成的，即通过类比联想、回忆复习与新知识新方法相衔接、相类似的原有知识方法，在足够积累的基础上（建构主义者称之为对知识的“同化”过程），来探究新问题、加工新信息，通过反思比较，使原有知识架构在充分吸收新信息后发生质的变化（建构主义者称之为对知识的“异化”过程），也就是通过“同化”积累知识以形成基础，通过知识的“异化”过程把原有知识提高到一个新的水平．在数学课堂上，如果教师能够把学生的学习过程，始终调控在不断经历如此“同化——异化”、循序渐进的探究与反思过程中，那么学生的学习过程、教师的教学过程将会是自然生成的，学生获取新知、提升能力的学习活动一定会是积极主动、生动活泼，而非“死记硬背、生吞活剥”的，课堂教学也会是有效的甚至是高效的．

“创设情境、温故探新、螺旋上升”教学模式可以大致可分为下面四个步骤：

（1）回忆旧知识，衔接新内容，创设新情境；

（2）利用旧知识，探究新知识，温故而探新；

（3）反思与比较，“异化”旧知识，建构新知识；

（4）螺旋上升，逐步深化，提升能力．

数学知识之间是互相联系的．特别是新课程初高中数学衔接内容是在初中知识的基础上发展而来的，它不是简单的重复，而是初中数学知识的延伸、推广和发展．相对于初中，高中数学新课标对衔接内容的学习目标和要求提高了，研究的范围拓展了，对学习者思维能力的要求提升了．对数学学习对象的认知要求，从整体上的直观、粗放式学习，提升到局部的较为理性与精细的研究；

从研究直观形象的数学问题提升到认知抽象的数学规律；

对运用数学知识解决问题的数学方法与技能的要求提升到更具综合性、一般性；

要求学生在数学学习的活动中，对数学思想方法的体验更深刻、更趋于数学的本质．

一般而言，对衔接性、关联性、延伸性和发展性较强的初高中数学衔接内容或衔接知识点，采用“创设情境、温故探新、螺旋上升”的教学模式，可以提高课堂教学的有效性．

例如，二次函数作为一种简单而基本的函数类型,是初高中数学内容中联系最密切的衔接内容之一，在初中高中阶段都是非常重要的，它应用广泛，贯穿于整个高中阶段．对二次函数的图象与性质的教学，就可以在认真分析初高中学习要求的主要“区别点”后，找准“衔接点”，尝试选择上述方式组织有效的教学预设．在高一年级的2011与2012级，课题组组织了四位教师分别对同一个课题“求二次函数在区间上的最大值与最小值”进行衔接教学模式实践研究、调查反馈、评价总结．实践证明，采用“创设情境、温故探新、螺旋上升”的教学模式教学效果十分明显，可以促进课堂教学更加有效、高效．

2．“预设与实践——反思与探究——归纳与提升”教学模式

教师精心预设递进式数学“问题串”，让学生动手充分实践、经历运用“老”方法而获得成功和运用“老”方法而产生困惑的心理碰撞，激活学生主动反思、主动探究的学习动力，教师适时引导学生自主比较、归纳、提炼问题解决的新方法新技能，提升数学能力的教学模式．

初、高中的许多数学方法与技能，不仅具有较强的衔接性、关联性，而且是初中相应数学方法、数学技能的提升和发展，相对于初中其技巧性、抽象性与综合性更强．学生在数学方法与技能的学习活动中，往往会受思维定势的影响，只习惯或满足于运用自己在初中所熟悉的方法技能去解决高中数学中的新问题，因而会影响到新的数学方法与技能的学习与掌握，也必然会阻碍数学思维能力的自我提升与发展．因此，教师在教学中要善于利用学生对原有数学方法技能“情有独钟”、“自信自满”的心理特点，预设出递进式“问题串”，设问质疑、逐层递进，让学生动手充分实践，并经历适度的“碰壁”．教师如果能精心创设出这样的教学现实情境，那么学生的充分实践，不仅能温故知新、温故探新，而且在经历适度的“碰壁”之后，能更加有效激活学生主动反思、主动探究问题解决的新方法、新技能的学习动力，促使学生自主比较、自主归纳新老数学方法技能彼此间的逻辑联系和区别、实现数学方法技能与数学思维的有效衔接、提升与发展，并在应用过程中“螺旋上升、逐步深化”．上述教学“模式”实际上也是一个“通过问题解决来自主探究学习”的过程．实践表明，这种教学模式不仅能促进数学方法技能课堂教学更加有效、高效，而且使得教师给予学生恰到好处的点拨与学生主动探究学习过程的课堂生成会更加自然流畅．

例如，教学“一元二次方程的实数根的分布范围”内容，课题组成员尹友军老师在教学中从学生的知识水平和实际能力出发，遵循由浅入深，由易到难、逐步推进原则，引导学生积极参与课堂探究过程．在探究函数的零点分布所满足的条件过程中渗透函数思想和数形结合思想．设计如下递进式“问题串”：

例：

关于

的一元二次方程

，当

为何实数时，

（1）有两不同正根；

（2）两根都大于

；

（3）两根在

之间．

先探究一元二次方程的两根与参数

的关系：

设计的第

（1）问起点比较低，让学生很容易用根与系数的关系和判别式来解决这个问题；

在

（1）的基础上给出问题

（2），将问题延伸到探究一元二次方程的实数根与实数

的大小关系；

如果学生对第（3）问仍然只用根与系数的关系和判别式解决，那么在问题解决的过程中会普遍感到困难，这样就把学生的思维“逼”向寻找新方法新技能——利用函数与数形结合思想方法来刻画和探究实根分布条件的新思路．教学实践与教学反馈表明，采用上述教学模式的效果是最为有效的，也最受学生的欢迎．

一般而言，以数学概念为焦点，由学生在初中所熟悉的相关数学概念为切入点设问质疑，引出即将学习的数学新概念；

以具体问题为中心，由学生在初中所掌握的相关数学方法技能为切入点设问质疑，引出即将学习的数学新方法或新技能等，采用“教师设问质疑——创设问题的现实情境，学生动手充分实践——自主比较反思、探究归纳新知识、新方法——应用举例深化新知识、新方法——巩固练习评价反馈——自我提升发展”的教学模式，能促进初、高中数学概念、数学方法技能教学的有效衔接，提高课堂教学效率．

3．初中被弱化、初高中脱节断层性、高中应用滞后性数学知识点的有效衔接

与新课改前相比，有些数学知识点与数学方法在初中新教材中已相对弱化或者欠缺，或学习的跨度较大，导致初高中数学教材自身存在断层或脱节，如几何部分中三角形的重心、垂心、内心的概念与性质等与高考题中考查三角形的“四心”脱节；

代数部分中的立方和与差的公式，二次根式中对分子、分母有理化