直线的交点坐标与距离公式Word文档格式.docx
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到直线
的距离为
此公式经常使用于求三角形的高、两平行间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判定等.点
的距离为直线上所有的点到已知点
的距离中最小距离.
知识点四:
两平行线间的距离
本类问题常见的有两种解法:
①转化为点到直线的距离问题,在任一条直线上任取一点,此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离;
②距离公式:
直线
与直线
(1)两条平行线间的距离,能够看做在其中一条直线上任取一点,那个点到另一条直线的距离,此点一
般可以取直线上的特殊点,也可以看作是两条直线上各取一点,这两点间的最短距离;
(2)利用两条平行直线间的距离公式
时,必然先将两直线方程化为一样形式,且两条直
线中x,y的系数要保持一致.
三、规律方式指导
应用解析思想解决问题的大体步骤:
第一步:
建立适当的坐标系,用坐标表示有关的量.坐标系的选择是否适当是影响解题过程简捷与否的重要因素,坐标系建立的不恰当会人为的扩大题目的计算量.在建立坐标系时一般以特殊的点、线作为坐标系的原点和坐标轴,建立坐标系时,对图形的特性应用的越充分,题目中出现的变量就会越少,运算过程也会越简便.
第二步:
进行有关的代数运算.通过各点的坐标、各图形方程之间的各种运算,求得所需结果的代数形式.通过运算可求得各个点、直线间的距离、角度、直线的斜率、截距、直线方程及两直线的交点等.
第三步:
把代数运算结果“翻译”成几何关系.通过计算结果说明某几何结论成立.
经典例题透析
类型一:
求交点坐标
1.判定以下各对直线的位置关系,若是相交,求出交点的坐标.
思路点拨:
判定两直线的位置关系,实质上确实是两直线方程组成的方程组是不是有解.
解析:
(1)解方程组
,得
因此直线
相交,交点是
(2)由方程组
得
(1)-2
(2)得3=0,矛盾.
方程组无解,所以两直线无公共点,
我们不光可以判断两直线的位置关系,还可以通过交点坐标求出满足一系列条件的直线.
触类旁通:
【变式1】
已知直线
知足以下两个条件:
(1)过直线y=-x+1和y=2x+4的交点;
(2)与直线x-3y+2=0垂直,求直线
的方程.
【答案】
解:
由
得交点(-1,2),
∵k=-3,
∴所求直线
的方程为:
3x+y+1=0.
【变式2】
(2020江苏如皋)通过点
,且与直线
垂直的直线方程为 .
解析:
垂直的直线斜率为
,所求直线的点斜式方程为:
,
即
类型二:
求两点间的距离
2.在直线2x-y=0上求一点P,使它到点M(5,8)的距离为5,并求直线PM的方程.
思路点拨:
求点的坐标,需要把点的坐标设出来,利用两点间的距离公式进行计算.
∵点P在直线2x-y=0上,
∴可设P(a,2a),
根据两点的距离公式得
解得
所以直线PM的方程为
即4x-3y+4=0或24x-7y-64=0.
总结升华:
此题的关键点是点P在直线2x-y=0上,可设P(a,2a),如此使后面的计算加倍简单.
触类旁通:
【变式】
已知点A(2,0),B(0,2),试在线段AB上求一点P,使得|OP|最小,并求出这个最小值.
【答案】
解:
直线AB的方程为
,点P在线段AB上,可设
当
时,|OP|最小.
使|OP|取最小值的点为P(1,1,),|OP|的最小值为
类型三:
求点到直线的距离
3.求点P(3,-2)到以下直线的距离:
求点到直线的距离,关键是利用好距离公式,把直线方程都化为一样式.
(1)把方程
写成
由点到直线距离的公式得
;
(2)因为直线
平行于
轴,
所以
(3)因为直线
当直线垂直于x轴或y轴时,也能够通过数形结合求点到直线的距离.
点
的距离()
A.1 B.3 C.5 D.4
本题选A
类型四:
求两平行直线间的距离
4.求两条平行线
间的距离.
求两平行直线间的距离能够转化为点到直线的距离,也能够利用距离公式.
方式一:
若在直线
上任取一点A(2,1),那么点A到直线
的距离确实是所求的平行线间的距离,
方法二:
设原点到直线
的距离别离为
,那么
即为所求.
方法三:
利用公式
求两平行直线间的距离能够利用距离公式,也能够依照几何意义,借助几何直观背景发挥形象思维优势,常常可取得简练优美的解法.
(2010北京海淀二模)已知直线
之间的距离为
A.1 B.
C.
D.2
【答案】B
【解析】
之间的距离
,应选B.
学习功效测评
基础达标:
1.已知A(-2,-1),B(2,5),那么|AB|等于()
B.
D.
2.已知点A(-2,-1),B(a,3)且|AB|=5,那么a的值为()
或-5 或5
3.点
的距离为4,那么
为()
或
或
4.已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0),判定△ABC的形状.
5.求与直线
平行且到
的距离为2的直线的方程.
能力提升:
6.直线
,当
变更时,所有直线都通过定点()
A.
B.
C.
D.
7.假设直线
上的点Q到点
,那么点Q的坐标为()
8.假设要点A(1,2)、B(3,1)和C(2,3)到直线
的距离平方和达到最大,那么
等于()
9.直线
过点(3,4),且与点(-3,2)的距离最远,那么直线
的方程为()
B.
C.
D.
10.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0相互平行,那么它们之间的距离是()
11.直线5x+4y-2m-1=0与直线2x+3y-m=0的交点在第四象限,求m的取值范围.
12.在直线2x-y=0上求一点P,使它到点M(5,8)的距离为5,并求直线PM的方程.
13.求与直线
平行且与直线
14.分别求经过两直线
和
的交点且知足以下条件的直线方程:
(1)平行于
(2)垂直于
综合探讨:
15.(2020河南质检4)直线
与圆
相交于两点
、
,假设
则
(
为坐标原点)等于()
B.
16.直线ax+by+6=0与x-2y=0平行,并过直线4x+3y-10=0和2x-y-10=0的交点,则a=______,b=_____.
17.过点P(1,2)引直线,使A(2,3)、B(4,-5)到它的距离相等,求这条直线的方程.
18.(2010山东烟台,模拟)已知三直线
,直线
,且
的距离是
.
(1)求a的值;
(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:
①P是第一象限的点;
②P点到
的距离是P点到
的距离的
③P点到
的距离与P点到
的距离之比是
.假设能,求P点坐标;
假设不能,
说明理由.
答案与解析:
1.【答案】D
【解析】
2.【答案】C
【解析】将点A(-2,-1),B(a,3)代入两点间的距离公式,求关于
的一元二次方程.
3.【答案】D
【解析】直接利用点到直线的距离公式即可.
4.解:
∵|AB|=
,|AC|=
,|BC|=
∴|AC|=|BC|,
即△ABC是等腰三角形.
5.解:
方法一:
设所求直线方程为5x-12y+c=0,
在直线
上取一点
,点
到直线5x-12y+c=0的距离为
由题意得
解得c=32或c=-20.
所以所求直线方程为5x-12y+32=0和5x-12y-20=0.
方法二:
由两平行线间的距离公式得
6.【答案】C
【解析】由
关于任何
都成立,那么
7.【答案】C
【解析】设
,利用两点间的距离公式.
8.【答案】B
【解析】代入求和,转化为关于
的一元二次函数.
9.【答案】A
【解析】直线
过点(3,4),且与点(-3,2)的距离最远即过点(3,4),
且与过点(3,4),(-3,2)垂直的直线.
10.【答案】D
【解析】由于直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则
,再利用平行线间的距离公式.
11.解方程组
因此两直线的交点坐标为
因为交点在第四象限,
所以
解得
故所求m的取值范围是
12.解:
∴可设P(a,2a),
根据两点的距离公式得
即
解得
所以直线PM的方程为
即4x-3y+4=0或24x-7y-64=0.
13.解:
由题意可设所求直线方程为
根据两直线平行的距离公式得
所以所求直线方程为
或
14.解:
解方程组
得
那么两直线
的交点为(0,2).
(1)由所求直线平行于
可知所求直线的斜率为
,即
(2)由所求直线垂直于
方法二:
设所求直线方程为
(1)因为所求直线平行于
所以
(2)因为所求直线垂直于
15.【答案】A
【解析】记
的夹角为
.依题意得,圆心
的距离等于
,应选A
16.【答案】
【解析】此题能够求出直线4x+3y-10=0和2x-y-10=0的交点(4,-2),
直线ax+by+6=0过交点且与x-2y=0的斜率相等;
也可以利用过直线4x+3y-10=0和2x-y-10=0的直线系与x-2y=0平行.
17.解:
方法一:
(1)所求直线与AB平行
过P(1,2)与直线AB平行的直线方程为
即
(2)所求直线过AB的中点
线段AB的中点为C(3,-1)
过点P(1,2)与线段AB的中点C(3,-1)的直线方程为
由
(1)
(2)可知所求直线方程为
方法二:
显然这条直线的斜率存在,设直线方程为
,依照题目条件得
化简得
或
解得
因此直线方程为
即
18.解:
(1)
为
∴
距离为
∵a>
0,
∴a=3.
(2)设存在点
知足②,那么P点在与
平行的直线
上
且
即
∴
若P点满足条件③,那么点到直线的距离公式有:
∵P在第一象限,
不可能.
联立方程
解得
由
即为同时知足条件的点.
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- 直线 交点 坐标 距离 公式