圆锥曲线方程椭圆知识点归纳Word文档格式.docx
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过点(-3,2)且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程是________.
因为c2=9-4=5,所以设所求椭圆的标准方程为+=1.由点(-3,2)在椭圆上知+=1,所以a2=15.所以所求椭圆的标准方程为+=1.答案:
+=1
知识点三 根据方程研究几何性质
求椭圆25x2+16y2=400的长轴、短轴、离心率、焦点坐标和顶点坐标.
解 将方程变形为+=1,得a=5,b=4,所以c=3.故椭圆的长轴和短轴的长分别为2a=10,2b=8,离心率e==,焦点坐标为(0,-3),(0,3),顶点坐标为(0,-5),(0,5),(-4,0),(4,0).
知识点四 根据几何性质求方程
(1)长轴长是6,离心率是.
(2)在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6.
解
(1)设椭圆的方程为
+=1(a>
0)或+=1(a>
由已知得2a=6,a=3.e==,∴c=2.
∴b2=a2-c2=9-4=5.
∴椭圆方程为+=1或+=1.
(2)设椭圆方程为
(a>
如图所示,△A1FA2为一等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且|OF|=c,|A1A2|=2b,
∴c=b=3,∴a2=b2+c2=18,故所求椭圆的方程为
知识点五 求椭圆的离心率
如图所示,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵坐标等于短半轴长的,求椭圆的离心率.
解 方法一 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a,b,c.则焦点为F1(
c,0),F2(c,0),M点的坐标为(c,
b),则△MF1F2为直角三角形.在Rt△MF1F2中:
|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2,
即4c2+
b2=|MF1|2.
而|MF1|+|MF2|=
整理得3c2=3a2
2ab.
又c2=a2
b2,所以3b=2a.
所以
,
所以e=
知识点六 直线与椭圆的位置关系问题
当m取何值时,直线l:
y=x+m与椭圆9x2+16y2=144相切、相交、相离.
解 由题意,得
①代入②,得9x2+16(x+m)2=144,
化简,整理,得25x2+32mx+16m2-144=0,
Δ=(32m)2-4×
25×
(16m2-144)=-576m2+14400.
当Δ=0时,得m=±
5,直线l与椭圆相切.
Δ>
0时,得-5<
5,直线l与椭圆相交.
当Δ<
0时,得m<
-5,或m>
5,直线l与椭圆相离.
知识点七 中点弦问题
已知点P(4,2)是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点,求l的方程.
解 设l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
则有
两式相减,得kAB=
=-
=-=-.
∴l的方程为:
y-2=-(x-4),即x+2y-8=0.
考题赏析
1.(江西高考)设椭圆+=1(a>
0)的离心率为e=,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)( )
A.必在圆x2+y2=2内
B.必在圆x2+y2=2上
C.必在圆x2+y2=2外
D.以上三种情形都有可能
解析 ∵x1+x2=-,x1x2=-.
∴x+x=(x1+x2)2-2x1x2=+=.
∵e==,∴c=a,
∴b2=a2-c2=a2-2=a2.
∴x+x==<
2.
∴P(x1,x2)在圆x2+y2=2内.
答案 A
2.(浙江高考)如图所示,AB是平面α的斜线段,A为斜足.若点P在平面α内运动,使得△ABP的面积为定值,则动点P的轨迹是( )
A.圆B.椭圆
C.一条直线D.两条平行直线
解析 由题意可知P点在空间中的轨迹应是以AB为旋转轴的圆柱面,又P点在平面α内,所以P点的轨迹应是该圆柱面被平面α所截出的椭圆.答案 B
1.设F1,F2是椭圆+=1的焦点,P为椭圆上一点,则△PF1F2的周长为( )
A.16B.18
C.20D.不确定
答案 B
解析 △PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c.因2a=10,c==4,周长为10+8=18.
2.a=6,c=1的椭圆的标准方程是( )
A.+=1B.+=1
C.+=1D.以上都不对
答案 D
解析 因焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,故标准方程有两种可能.故选D.
3.中心在原点,焦点在x轴上,若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程是( )
C.+=1D.+=1
解析 由题意2a=18,2c=×
2a=6
∴a=9,c=3,b2=81-9=72.
4.已知F1、F2是椭圆+=1(a>
0)的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,若△ABF2是正三角形,则这个椭圆的离心率为( )
A.B.
C.D.
解析 |AF1|=,故有tan60°
=
∴2c=×
∴(2ac)2=3(a2-c2)2解得e==.
5.设椭圆+=1的离心率为,则m的值是( )
A.3B.
C.或3D.2或
答案 C
解析 当m>
4时,此时有=,所以m=;
当0<
4时,=,所以m=3.
6.直线y=x与椭圆+=1(a>b>0)的两个交点在x轴上的射影恰为椭圆的两个焦点,则椭圆的离心率为________.
答案
解析 当x=c时,y=±
,∴=c
即=c ∴e2+e-1=0,解得e=.
7.倾斜角为的直线交椭圆+y2=1于A,B两点,则线段AB中点的轨迹方程是________.
答案 x+4y=0(-<
x<
)
解析 设中点坐标为(x,y),A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线方程为y=x+b,代入椭圆方程,
整理,得5x2+8bx+4(b2-1)=0,
则
所以x+4y=0.
由Δ=64b2-4×
5×
4(b2-1)>
0,
得-<
b<
故-<
.
8.求过点A(2,0),且与圆x2+4x+y2-32=0内切的圆的圆心的轨迹方程.
解 将圆的方程化为标准形式(x+2)2+y2=62,这时,已知圆的圆心坐标为B(-2,0),半径为6,如图所示.
设动圆圆心M的坐标为(x,y),由于动圆与已知圆相内切,设切点为C.
∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离.
∴即|BC|
|MC|=|BM|.
而|BC|=6,
∴|BM|+|CM|=6.
又|CM|=|AM|,
∴|BM|+|AM|=6.
根据椭圆的定义知点M的轨迹是以点B(
2,0)和点A(2,0)为焦点,
线段AB的中点(0,0)为中心的椭圆.
∴a=3,c=2,b=
∴所求圆心的轨迹方程为
+=1
9.求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0);
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为;
(3)经过点P(-2,1),Q(,-2)两点;
(4)与椭圆+=1有相同离心率,焦点在x轴上,且经过点(2,-).
解
(1)若椭圆的焦点在x轴上,设方程为
∵椭圆过点A(3,0),
∴=1,a=3,
∵2a=3·
2b,∴b=1,
∴方程为+y2=1.
若椭圆的焦点在y轴上,
设椭圆方程为+=1(a>
∴+=1,
∴b=3,2a=3·
2b,∴a=9,
∴方程为+=1.
综上所述,椭圆的标准方程为+y2=1或+=1.
(2)由已知
∴
从而b2=9
∴所求椭圆的标准方程为
+=1或+=1.
(3)设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>
点P(-2,1),Q(,-2)在椭圆上,
代入上述方程得,解得,
∴椭圆的标准方程为+=1.
(4)由题意,设所求椭圆的方程为+=t(t>
因为椭圆过点(2,-),所以t=+=2,
故所求椭圆标准方程为+=1.
10.已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值.
解
(1)设椭圆的半焦距为c,依题意
,∴b=1,∴所求椭圆方程为+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).
①当AB⊥x轴时,|AB|=.
②当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m.
由已知=,得m2=(k2+1).把y=kx+m代入椭圆方程,整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0,
∴x1+x2=,x1x2=.
∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2
=(1+k2)
==
=3+=3+(k≠0)
≤3+=4.
当且仅当9k2=,
即k=±
时等号成立.
当k=0时,|AB|=,
综上所述|AB|max=2.
∴当|AB|最大时,△AOB面积取最大值.
S=×
|AB|max×
=.
11.已知F1、F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上任意一点.
(1)若∠F1PF2=,求△F1PF2的面积;
(2)求PF1·
PF2的最大值.
解:
(1)设PF1=m,PF2=n(m>
0).根据椭圆的定义得m+n=20.在△F1PF2中,由余弦定理得PF+PF-2PF1·
PF2·
cos∠F1PF2=F1F,即m2+n2-2mn·
cos=122.∴m2+n2-mn=144,即(m+n)2-3mn=144.∴202-3mn=144,即mn=.又∵S△F1PF2=PF1·
sin∠F1PF2=mn·
sin,∴S△F1PF2=×
×
(2)∵a=10,∴根据椭圆的定义得PF1+PF2=20.∵PF1+PF2≥2,∴PF1·
PF2≤2=2=100,当且仅当PF1=PF2=10时,等号成立.∴PF1·
PF2的最大值是100.
讲练学部分
2.2.1 椭圆及其标准方程
(一)
对点讲练
平面内一动点M到两定点F1、F2距离之和为常数2a,则点M的轨迹为( )
A.椭圆 B.圆
C.无轨迹D.椭圆或线段或无轨迹
解析 当2a>
|F1F2|时是椭圆,当2a=|F1F2|时,是线段,当2a<
|F1F2|时无轨迹,所以选D.
【反思感悟】 并不是动点到两定点距离之和为常数的点的轨迹就一定是椭圆,只有当距离之和大于两定点之间的距离时得到的轨迹才是椭圆.
命题甲:
动点P到两定点A、B的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>
0且a为常数);
命题乙:
点P的轨迹是椭圆,且A、B是椭圆的焦点,则命题甲是命题乙的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分且必要条件D.既不充分又不必要条件
知识点二 由椭圆方程求参数的范围
若方程+=1表示椭圆,求k的取值范围.
解 由椭圆的标准方程知
解得3<
k<
5,且k≠4.
【反思感悟】 5-k≠k-3包括了焦点在x轴、y轴两种情况的椭圆.
方程+=1表示焦点在y轴的椭圆,求m的范围.
解 由题意得3-2m>
2m-1>
即 解得:
1.
知识点三 求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点,求它的标准方程.
(2)焦点在坐标轴上,且经过A(,-2)和B(-2,1)两点.
(1)解 方法一 因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为
+=1(a>
由椭圆的定义知
2a=+
=2,
所以a=.
又因为c=2,所以b2=a2-c2=10-4=6.
因此,所求椭圆的标准方程为+=1.
方法二 设椭圆的标准方程为+=1,
因点在椭圆上,代入椭圆方程得:
+=1,
解得:
a2=10.
∴所求方程为+=1.
(2)解 方法一 ①当焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为+=1(a>
0).根据题意有,解得
所以椭圆的标准方程为+=1.
②当焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为+=1(a>
根据题意有
解得
因为a<
b,所以方程无解.
综上①②知,
所求椭圆的标准方程为+=1.
0,且m≠n),
根据题意得
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
【反思感悟】 求椭圆的标准方程通常利用待定系数法,如果不能确定焦点是在x轴上还是在y轴上,要分两种情况求解,当然也可以按
(2)中的方法二设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>
0,且m≠n),这样就可避免分情况讨论了.
求焦点在x轴上,焦距等于4,并且经过点P(3,-2)的椭圆的标准方程.
解 ∵2c=4,∴c=2.
由题意可设椭圆的标准方程为+=1.
代入P(3,-2),
得+=1.
a2=1或a2=36,∵a>
c,
课堂小结:
1.椭圆的定义中只有当距离之和2a>
|F1F2|时,轨迹才是椭圆;
2a=|F1F2|时,轨迹是线段F1F2;
2a<
|F1F2|时没有轨迹.
2.判断椭圆的焦点在x、y轴上的依据是标准方程中的分母,焦点在分母大的对应轴上.3.求椭圆的标准方程常用待定系数法,要恰当地选择方程的形式,如果不能确定焦点的位置,那么有两种方法来解决问题,一是分类讨论全面考虑问题;
二是设椭圆方程一般式,也就是:
(1)如果明确焦点在x轴上,那么设所求的椭圆的方程为
(a>
0).
(2)如果明确焦点在y轴上,那么设所求的椭圆的方程为
(3)如果中心在原点,但焦点的位置不能明确是在x轴上还是在y轴上,那么方程可以设为mx2+ny2=1(m>
0,n>
0,m≠n),进而求解.
课时作业
一、选择题
1.椭圆的对称轴为坐标轴,若长、短轴之和为18,焦距为6,那么椭圆的方程为( )
C.+=1D.+=1或+=1
解析 ⇒
⇒⇒⇒.
2.已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在边BC上,则△ABC的周长为( )
A.2B.4C.6D.16
解析 由题意知,三角形的周长为B点到椭圆两焦点距离之和加上C点到椭圆两焦点距离之和,因此周长为4.
3.当直线y=kx+2的倾斜角大于45°
小于90°
时,它和曲线2x2+3y2=6的公共点的个数为( )
A.0B.1C.2D.不能确定
解析 由题意知k>
1,
(2+3k2)x2+12kx+6=0,
Δ=(12k)2-4×
(2+3k2)×
6=72k2-48>
0.
∴该直线与曲线公共点的个数为2.
4.椭圆x2+=1的一个焦点是(0,),那么k等于( )
A.-6B.6C.+1D.1-
解析 由题意a2=k,b2=1,
∴k-1=()2⇒k=6.
二、填空题
5.△ABC中,已知B、C的坐标分别为(-3,0)和(3,0),且△ABC的周长等于16,则顶点A的轨迹方程为________.
答案 +=1(y≠0)
6.“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,设其近地点距地面n千米,远地点距地面m千米,地球半径为R,那么这个椭圆的焦距为________千米.
答案 m-n
解析 设a,c分别是椭圆的长半轴长和半焦距,
则,则2c=m-n.
7.P是椭圆+=1上的点,F1和F2是该椭圆的焦点,则k=|PF1|·
|PF2|的最大值是__________;
最小值是__________.
答案 4 3
解析 设|PF1|=x,则k=x(2a-x)
因a-c≤|PF1|≤a+c,即1≤x≤3.
∴k=-x2+2ax=-x2+4x=-(x-2)2+4
∴kmax=4,kmin=3.
三、解答题
8.△ABC的三边a、b、c成等差数列,A、C两点的坐标分别是(-1,0),(1,0),求顶点B的轨迹方程.
解 由题意得2b=a+c,即a+c=4.
∴|BC|+|BA|=4>
|AC|=2.
∴B点的轨迹为椭圆
因B点是△ABC的顶点,不在x轴上,
所以所求的轨迹方程为+=1(x≠±
2).
9.已知经过椭圆+=1的右焦点F2作垂直于x轴的直线AB,交椭圆于A、B两点,F1是椭圆的左焦点.
(1)求△AF1B的周长;
(2)如果AB不垂直于x轴,△AF1B的周长有变化吗?
为什么?
解 由已知,a=5,b=4,所以c==3.
(1)△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|.
由椭圆的定义,得
|AF1|+|AF2|=2a,①
|BF1|+|BF2|=2a,②
所以,△AF1B的周长为4a=20.
(2)如果AB不垂直于x轴,△AF1B的周长不变化.
这是因为①②两式仍然成立,
△AF1B的周长为20,这是定值.
10.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点坐标分别是(-3,0),(3,0),椭圆经过点(5,0);
(2)两个焦点坐标分别为(0,5),(0,-5),椭圆上一点P到两焦点的距离和为26.
解
(1)∵椭圆的焦点在x轴上,
所以设它的标准方程为+=1(a>
∵2a=+=10,
2c=6,∴a=5,c=3,∴b2=a2-c2=52-32=16,
∴所求椭圆的方程为+=1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为
∵2a=26,2c=10,∴a=13,c=5,∴b2=a2-c2=144,
2.2.1 椭圆及其标准方程
(二)
知识点一 与椭圆有关的轨迹方程
已知点M在椭圆+=1上,MP′垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为P′,并且M为线段PP′的中点,求P点的轨迹方程.
分析 因点P与点M的坐标间存在一定关系,故可用P点坐标表示M点坐标,并代入M点坐标所满足的方程,整理即得所求轨迹方程.
解 设P点的坐标为(x,y),M点的坐标为(x0,y0).
∵点M在椭圆+=1上,∴+=1.
∵M是线段PP′的中点,
∴ 把,
代入+=1,得+=1,即x2+y2=36.
∴P点的轨迹方程为x2+y2=36.
【反思感悟】 本例中动点P与曲线上的点M称为相关点(有关系的两点),这种求轨迹方程的方法称为相关点求轨迹方程法.其基本步骤就是先求出M点与P点的坐标关系式并用P点的坐标表示M点坐标,然后代入M点坐标所满足的方程,整理后即得所求.
如图所示在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹是什么?
解 设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),
则x=x0,y=
因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上,
所以x02+4y02=4.①
把x0=x,y0=2y代入方程①,
得x2+4y2=4,即+y2=1.
所以点M的轨迹是一个椭圆.
知识点二 应用椭圆定义求轨迹方程
已知圆B:
(x+1)2+y2=16及点A(1,0),C为圆B上任意一点,求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程.
分析 由图可知点P到B点和A点的距离的和为定值,可借助椭圆定义来求.
解
如图所示,连结AP,
∵l垂直平分AC,
∴|AP|=|CP|,
∴|PB|+|PA|=|BP|+|PC|=4,
∴P点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆.
∵2a=4,2c=|AB|=2,
∴a=2,c=1,b2=a2-c2=3.
∴点P的轨迹方程为+=1.
【反思感悟】 求动点的轨迹方程时,应首先充分挖掘图形的几何性质,看能否确定轨迹的类型,而不要起步就代入坐标,以致陷入繁琐的化简运算之中.
已知两定点A、B,且|AB|=8,M是平面上一动点,且|AM|=10,线段BM的垂直平分线交AM于P点,P点的轨迹是什么图形?
解 如右图所示
|PB|=|PM|,|PA|+|PB|
=|PA|+|PM|=10,|AB|=8,
所以|PA|+|PB|>
|AB|,
所以P点轨迹是椭圆.
知识点三 椭圆定义的综合应用
设M是椭圆+=1上一点,F1、F2为焦点,∠F1MF2=,求△MF1F2的面积.
分析 在△MF1F2中,已知|F1F2|和∠F1MF2=,况且|MF1|+|MF2|=2a=10,可根据余弦定理求得|MF1|和|MF2|的长,再利用面积公式可求.
解 椭圆+=1中,a2=25,b2=16,
∴c2=a2-b2=9.∴a=5,b=4,c=3.
∴|F1F2|=2c=6,2a=10.
设|MF1|=r1,|MF2|=r2.
在△MF1F2中,由余弦定理,得:
r+r-|F1F2|2=2r1r2·
cos.
即(r1+r2)2-2r1r2-36=r1r2.
根据椭圆的定义,有r1+r2=10.
∴r1r2==64(2-),
∴S△MF1F2=r1r2·
sin=32-16.
【反思感悟】 椭圆中,△MF1F2往往称为焦点三角形.在△MF1F2中,|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,求解有关问题时,注意正、余弦定理的运用.
如图△ABC中底边BC=12,其它两边AB和AC上中线的和为30,求此三角形重心G的轨迹方程,并求顶点A的轨迹方程.
解 以BC所
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