《利用轴对称设计图案》教案 公开课Word格式文档下载.docx
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[生]对应点的连线被对称轴垂直平分.
对应线段相等,对应角相等.
[师]很好.由于轴对称图形和轴对称的两个图形是具有特殊形状和位置关系的,所以就有上述特殊的性质.下面同学们来仔细观察一个图案〔出示投影片§
图7-22
图7-22给出了一个图案的一半,其中的虚线是这个图案的对称轴.
〔1〕你能猜出整个图案的形状吗?
〔2〕你能画出这个图案的另一半吗?
[生甲]这个图案的左右两边应该完全相同,画出的整个图案的形状大致是个五边形.
[师]你能画出来吗?
……
[师]我们利用方格纸来试着画一画〔教师给每人发一张方格纸,且纸上画有图7-22〕
[师]画好了吧?
我们今天就来作简单平面图形经过轴对称后的图形及利用轴对称设计图案.
Ⅱ.讲授新课
[师]如何作一个图形经过轴对称后的图形呢?
我们知道:
任何一个图形都是由点组成的.因此我们先来作一个点关于一条直线的对称点.由上节课的内容知道:
对应点的连线被对称轴垂直平分.所以,对称轴l和一个点A,要画出点A关于l的对应点A′,可采用如下方法:
图7-23
〔1〕过点A作对称轴l的垂线,垂足为B;
〔2〕延长AB至A′,使得BA′=AB.
那么:
点A′就是点A关于直线l的对应点.
好,大家来动手画一点A关于直线l对称的对应点.老师口述,大家来画图,要注意作图的准确性.
[师]画好了没有呢?
[生]好了.
[师]好,现在我们会画一个点关于直线的对应点,那么一个图形呢?
即:
如何画一个图形关于一条直线的对称图形呢?
大家讨论讨论.
[生甲]可以在图形上找一些点,然后作这些点关于这条直线的对应点,再按图要求的顺序连接这些点.这样就可以作出一个图形关于一条直线的对称图形.
[生乙]老师,能不能少找几个点呢?
[师]可以呀,说说看,找几个什么样的点就能行呢?
[生丙]找几个能表示这个图形的点.
[师]丙同学说得很好,那图7-23不用方格纸时要画它的另一半,观察观察图形特点,该找几个点呢?
[生戊]在这个图形上找4个点就可以.如图7-24中的A、B、C、D.
图7-24
[师]好,下面同学们来分别做这四个点关于直线l的对称点.
[师]由作图可知:
点A与点A′都在对称轴上,点D与它的对应点D′也在对称轴上.
点的对称点作出后,按图中的连接顺序连接即可.这样整个图案就画出来了.
[师]很好,你画的图案漂亮吗?
[生齐声]漂亮.
[师]在生活中,我们经常能见到一些漂亮的图形,你会欣赏吗?
下面大家来做一做.〔出示投影片§
观察下面的图案:
图7-25
〔1〕它们是轴对称图形吗?
如果是,找出它们的对称轴.
〔2〕生活中这些图案可以代表什么含义?
与同伴进行交流.
[生甲]这四个图案都是轴对称图形,它们的对称轴分别有2条、1条、1条、1条.
[生乙]第一个图案可以代表针织品,第二个图案可以代表法律、公正.
[生丙]第一个图案还可以代表联通,第三个图案可以代表航海,第四个图案可以代表邮政.
[生丁]第三个图案还可代表稳固;
第四个图案还可以代表友谊.
[师]很好.同学们的想象很好.你能设计一个轴对称图案吗?
〔出示投影片§
自己设计一个轴对称图形,并说明你的设计意图.
〔学生设计图案,有扎眼、折叠、画图、剪纸等,最后展示作品,鼓励他们〕
[师]同学们设计得很好,能大胆创新.下课后还可创设其他的图案.
下面我们来做练习以掌握轴对称图形的作法.
图7-26
Ⅲ.课堂7练习
〔一〕课本P201随堂练习1
1.如图7-26,直线l是一个轴对称图形的对称轴,画出这个轴对称图形的另一半.
答:
图形如下:
图7-27
〔二〕读一读
课本P201“艺术作品中的对称〞
〔三〕看书P200~201,然后小结.
Ⅳ.课时小结
本节课我们主要研究了如何作出简单平面图形经过轴对称后的图形.在按要求作图形时要注意准确性.
求作一个几何图形关于某条直线对称的图形.可以转化为求作这个图形上的点关于这条直线对称的点.
Ⅴ.课后作业
〔一〕课本P202习题7.51、2、3.
〔二〕1.预习内容:
P203~204
2.预习提纲:
了解并欣赏物体的镜面对称.
Ⅵ.活动与探究
1.画一个正方形,再任意画一条直线,以这条直线为对称轴,画出与正方形成轴对称的图形.先猜一猜,再画一画.
[过程]让学生在活动过程中,进一步掌握轴对称的图形的作法.
[结果]不管直线的位置如何,正方形关于这条直线的轴对称图形仍然是正方形.
如图7-28:
图7-28
●板书设计
§
7.4利用轴对称设计图案
一、对称轴l和一个点A,要画出点A关于l的对称点A′,方法如下:
〔1〕过点A作对称轴l的垂线,垂足为B.
〔2〕延长AB到A′,使得BA′=AB.
那么点A′就是点A关于直线l的对应点.
二、
三、课堂练习
四、课时小结
五、课后作业
1.7平方差公式
(二)
(一)教学知识点
1.了解平方差公式的几何背景.
2.会用面积法推导平方差公式,并能运用公式进行简单的运算.
3.体会符号运算对证明猜想的作用.
(二)能力训练要求
1.用符号运算证明猜想,提高解决问题的能力.
2.培养学生观察、归纳、概括等能力.
(三)情感与价值观要求
1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释,体验学习数学的乐趣.
2.体验符号运算对猜想的作用,享受数学符号表示运算规律的简捷美.
平方差公式的几何解释和广泛的应用.
准确地运用平方差公式进行简单运算,培养根本的运算技能.
启发——探究相结合
一块大正方形纸板,剪刀.
投影片四张
想一想,记作(§
1.7.2A)
例3,记作(§
1.7.2B)
例4,记作(§
1.7.2C)
第四张:
补充练习,记作(§
1.7.2D)
Ⅰ.创设问题情景,引入新课
[师]同学们,请把自己准备好的正方形纸板拿出来,设它的边长为a.
这个正方形的面积是多少?
[生]a2.
[师]请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上,剪下一个边长为b的小正方形(如图1-23).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影局部),你能表示出阴影局部的面积吗?
图1-23
[生]剪去一个边长为b的小正方形,余以以下列图形的面积,即阴影局部的面积为(a2-b2).
[师]你能用阴影局部的图形拼成一个长方形吗?
同学们可在小组内交流讨论.
(教师可巡视同学们拼图的情况,了解同学们拼图的想法)
[生]老师,我们拼出来啦.
[师]讲给大伙听一听.
[生]我是把剩下的图形(即上图阴影局部)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开),我们可以注意到,上面的大长方形宽是(a-b),长是a;
下面的小长方形长是(a-b),宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形,是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a-b),我们可以将这两个边重合,这样就拼成了一个如图1-24所示的图形(阴影局部),它的长和宽分别为(a+b),(a-b),面积为(a+b)(a-b).
图1-24
[师]比较上面两个图形中阴影局部的面积,你发现了什么?
[生]这两局部面积应该是相等的,即(a+b)(a-b)=a2-b2.
[生]这恰好是我们上节课学过的平方差公式.
[生]我明白了.上一节课,我们用多项式与多项式相乘的法那么验证了平方差公式.今天,我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释,太妙了.
[生]用拼图来验证平方差公式很直观,一剪一拼,利用面积相等就可推证.
[师]由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式,也许你会发现它更“神奇〞的作用.
[师]出示投影片(§
想一想:
(1)计算以下各组算式,并观察它们的特点
(2)从以上的过程中,你发现了什么规律?
(3)请你用字母表示这一规律,你能说明它的正确性吗?
[生]
(1)中算式算出来的结果如下
[生]从上面的算式可以发现,一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.
[师]是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢?
[生]我猜想是.我又找了几个例子如:
[师]你能用字母表示这一规律吗?
[生]设这个自然数为a,与它相邻的两个自然数为a-1,a+1,那么有(a+1)(a-1)=a2-1.
[生]这个结论是正确的,用平方差公式即可说明.
[生]可是,我有一个疑问,a必须是一个自然数,还必须大于2吗?
(同学们惊讶,然后讨论)
[生]a可以代表任意一个数.
[师]很好!
同学们能大胆提出问题,又勇于解决问题,值得提倡.
[生]老师,我还有个问题,这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么用途呢?
(陷入沉思)
[生]例如:
计算29×
31很麻烦,我们就可以转化为(30-1)(30+1)=302-1=900-1=899.
[师]确实如此.我们在做一些数的运算时,如果能一直有这样“巧夺天工〞的方法,太好了.
我们不妨再做几个类似的练习.
出示投影片(§
[例3]用平方差公式计算:
(1)103×
97
(2)118×
122
[师]我们可以发现,直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的微妙.
[生]我发现了,103=100+3,97=100-3,因此103×
97=(100+3)(100-3)=10000-9=9991.太简便了!
[生]我观察也发现了第
(2)题的“微妙〞.
118=120-2,122=120+2
118×
122=(120-2)(120+2)=1202-4=14400-4=14396.
[生]遇到类似这样的题,我们就不用笔算,口算就能得出.
[师]我们再来看一个例题(出示投影片§
1.7.2C).
[例4]计算:
(1)a2(a+b)(a-b)+a2b2;
(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3).
分析:
上面两个小题,是整式的混合运算,平方差公式的应用,能使运算简便;
还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.
解:
(1)a2(a+b)(a-b)+a2b2
=a2(a2-b2)+a2b2
=a4-a2b2+a2b2
=a4
(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
=(2x)2-52-(4x2-6x)
=4x2-25-4x2+6x
=6x-25
注意:
在
(2)小题中,2x与2x-3的积算出来后,要放到括号里,因为它们是一个整体.
[例5]公式的逆用
(1)(x+y)2-(x-y)2
(2)252-242
逆用平方差公式可以使运算简便.
(1)(x+y)2-(x-y)2
=[(x+y)+(x-y)][(x+y)-(x-y)]
=2x·
2y
=4xy
(2)252-242
=(25+24)(25-24)
=49
Ⅲ.随堂练习
1.(课本P32)计算
(1)704×
696
(2)(x+2y)(x-2y)+(x+1)(x-1)
(3)x(x-1)-(x-
)(x+
)
(可让学生先在练习本上完成,教师巡视作业中的错误,或同桌互查互纠)
696=(700+4)(700-4)
=490000-16=489984
=(x2-4y2)+(x2-1)
=x2-4y2+x2-1
=2x2-4y2-1
=(x2-x)-[x2-(
)2]
=x2-x-x2+
=
-x
2.(补充练习)
解方程:
(2x+1)(2x-1)+3(x+2)(x-2)=(7x+1)(x-1)
(先由学生试着完成)
(2x+1)(2x-1)+3(x+2)(x-2)
=(7x+1)(x-1)
(2x)2-1+3(x2-4)=7x2-6x-1
4x2-1+3x2-12=7x2-6x-1
6x=12x=2
[师]同学们这节课一定有不少体会和收获.
[生]我能用拼图对平方差公式进行几何解释.也就是说对平方差公式的理解又多了一个层面.
[生]平方差公式不仅在计算整式时,可以使运算简便,而且数的运算如果也能恰当地用了平方差公式,也非常神奇.
[生]我觉得这节课我印象最深的是犯错误的地方.例如a(a+1)-(a+b)(a-b)一定要先算乘法,同时减号后面的积(a+b)(a-b),算出来一定先放在括号里,然后再去括号.就不容易犯错误了.
课本习题1.12.
计算:
19902-19892+19882-19872+…+22-1.
[过程]先做乘方运算,再做减法,那么计算繁琐,观察算式特点,考虑逆用平方差公式.
[结果]原式=(19902-19892)+(19882-19872)+…+(22-1)
=(1990+1989)(1990-1989)+(1988+1987)(1988-1987)+…+(2+1)(2-1)
=1990+1989+1988+1987+…+2+1
=1981045
1.7.2平方差公式
(二)
一、平方差公式的几何解释:
二、想一想
特例——归纳——建立猜想——用符号表示——给出证明
即(a+1)(a-1)=a2-1
三、例题讲解:
例3例4
四、练习
●备课资料
参考练习
1.选择题
(1)在以下多项式的乘法中,不能用平方差公式计算的是()
A.(-a-b)(a-b)B.(c2-d2)(d2+c2)
C.(x3-y3)(x3+y3)D.(m-n)(-m+n)
(2)用平方差公式计算(x-1)(x+1)(x2+1)结果正确的选项是()
A.x4-1B.x4+1
C.(x-1)4D.(x+1)4
(3)以下各式中,结果是a2-36b2的是()
A.(-6b+a)(-6b-a)B.(-6b+a)(6b-a)
C.(a+4b)(a-4b)D.(-6b-a)(6b-a)
2.填空题
(4)(5x+3y)·
()=25x2-9y2
(5)(-0.2x-0.4y)()=0.16y2-0.04x2
(6)(-
x-11y)()=-
x2+121y2
(7)假设(-7m+A)(4n+B)=16n2-49m2,那么A=,B=.
3.计算
(8)(2x2+3y)(3y-2x2).
(9)(p-5)(p-2)(p+2)(p+5).
(10)(x2y+4)(x2y-4)-(x2y+2)·
(x2y-3).
4.求值
(11)(上海市中考题)x2-2x=2,将下式先化简,再求值
(x-1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)
5.探索规律
(12)(北京市中考)观察以下顺序排列的等式:
9×
0+1=1
1+2=11
2+3=21
3+4=31
4+5=41
猜想:
第n个等式(n为正整数)应为.
答案:
1.
(1)D
(2)A(3)D
2.(4)(5x-3y)(5)(0.2x-0.4y)
(6)(
x-11y)(7)A=4n,B=7m
3.(8)9y2-4x4(9)p4-29p2+100
(10)x2y-10
4.(11)原式=3(x2-2x)-5=3×
2-5=1
5.(12)9×
(n-1)+n=(n-1)×
10+1(n为正整数).
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