第二章第二节 第2课时 系统题型函数的性质及其应用.docx
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第二章第二节第2课时系统题型函数的性质及其应用
第2课时 系统题型——函数的性质及其应用
一、学前明考情——考什么、怎么考
1.(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)=则满足f(x+1) A.(-∞,-1] B.(0,+∞) C.(-1,0)D.(-∞,0) 解析: 选D 法一: ①当 即x≤-1时,f(x+1) 即-(x+1)<-2x,解得x<1. 因此不等式的解集为(-∞,-1]. ②当时,不等式组无解. ③当即-1 f(x+1) 因此不等式的解集为(-1,0). ④当即x>0时,f(x+1)=1,f(2x)=1,不合题意. 综上,不等式f(x+1) 法二: ∵f(x)= ∴函数f(x)的图象如图所示. 结合图象知,要使f(x+1) 则需或 ∴x<0,故选D. 2.(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f (1)=2,则f (1)+f (2)+f(3)+…+f(50)=( ) A.-50B.0 C.2D.50 解析: 选C ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴f(1-x)=-f(x-1). 由f(1-x)=f(1+x),得-f(x-1)=f(x+1), ∴f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x), ∴函数f(x)是周期为4的周期函数. 由f(x)为奇函数得f(0)=0. 又∵f(1-x)=f(1+x), ∴f(x)的图象关于直线x=1对称, ∴f (2)=f(0)=0,∴f(-2)=0. 又f (1)=2,∴f(-1)=-2, ∴f (1)+f (2)+f(3)+f(4)=f (1)+f (2)+f(-1)+f(0)=2+0-2+0=0, ∴f (1)+f (2)+f(3)+f(4)+…+f(49)+f(50) =0×12+f(49)+f(50) =f (1)+f (2)=2+0=2. 3.(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=ln(-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=________. 解析: ∵f(x)+f(-x)=ln(-x)+1+ln(+x)+1=ln(1+x2-x2)+2=2,∴f(a)+f(-a)=2.∵f(a)=4,∴f(-a)=-2. 答案: -2 常规角度 1.函数单调性的判断及应用: 主要考查判断函数的单调性、求单调区间;利用单调性求参数的取值范围、比较大小、求最值等; 2.函数奇偶性的判断及应用: 主要考查判断函数的奇偶性,利用奇偶性求值等; 3.函数周期性的判断及应用: 主要考查函数周期性的判断,利用周期性求函数值等. 主要以选择、填空题为主,难度中档或中偏高档 创新角度 函数的性质常与解不等式、函数的零点、命题的真假性、导数等交汇命题 二、课堂研题型——怎么办、提知能 函数单调性的判断及应用 函数的单调性是高考的一个重要考点.常在选择、填空题中考查,有时也与导数结合出现在解答题第一问中,难度中等. 常见的考法有: (1)判断函数的单调性、求单调区间. (2)利用函数的单调性比较大小.(3)解函数不等式.(4)求参数的取值范围. 考法一 确定函数的单调性及求单调区间 [例1] (2019·新乡一中月考)函数y=log (x2-3x+2)的单调递增区间是( ) A.(-∞,1) B. C.(2,+∞)D. [解析] 函数的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞).令t=x2-3x+2,则y=log t.∵t=x2-3x+2在(-∞,1)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,y=log t为减函数,∴根据“同增异减”可知,函数y=log (x2-3x+2)的单调递增区间是(-∞,1).故选A. [答案] A [例2] (2019·广东佛山联考)讨论函数f(x)=(a>0)在(-1,1)上的单调性. [解] 法一(定义法): 设-1 则f(x1)-f(x2)=- = =. ∵-1 ∴x2-x1>0,x1x2+1>0,(x-1)·(x-1)>0. 又a>0,∴f(x1)-f(x2)>0, 故函数f(x)在(-1,1)上为减函数. 法二(导数法): f′(x)= ===-. ∵a>0,x∈(-1,1),∴f′(x)<0. ∴f(x)在(-1,1)上是减函数. [方法技巧] 确定函数单调性的常用方法 定义法 先确定定义域,再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论 图象法 若函数是以图象形式给出的,或者函数的图象可作出,可由图象的升、降写出它的单调性 导数法 先求导,再确定导数值的正负,由导数的正负得函数的单调性 考法二 比较大小 [例3] (2019·齐齐哈尔检测)定义在R上的偶函数f(x)满足对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有<0,则( ) A.f(3) (1) B.f (1) C.f(-2) (1) D.f(3) (1) [解析] 由于函数f(x)对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有<0,所以函数f(x)在(-∞,0]上是减函数.又函数f(x)是偶函数,所以函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,且f(-2)=f (2),所以有f (1) (2) (1) [答案] B [方法技巧] 比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决. 考法三 解函数不等式 [例4] (2019·会宁联考)已知函数f(x)的定义域为R,且在[0,+∞)上是增函数,g(x)=-f(|x|),若g(lgx)>g (1),则x的取值范围是( ) A.(0,10)B.(10,+∞) C.D.∪(10,+∞) [解析] ∵g(-x)=-f(|-x|)=g(x),∴g(x)是偶函数,又f(x)在[0,+∞)上是增函数,∴g(x)在[0,+∞)上是减函数.∵g(lgx)>g (1),∴g(|lgx|)>g (1),∴|lgx|<1,∴ [答案] C [方法技巧] 在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. 考法四 利用单调性求参数的取值范围 [例5] (2019·济宁模拟)函数f(x)=满足对任意的实数x1≠x2都有>0成立,则实数a的取值范围为____________. [解析] 由题意,函数f(x)在(-∞,1]和(1,+∞)上都是增函数,且f(x)在(-∞,1]上的最高点不高于其在(1,+∞)上的最低点,即解得a∈[4,8). [答案] [4,8) [方法技巧] 利用函数单调性求参数的策略 (1)视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数. (2)需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的. 1.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是( ) A.f(x)=-x2B.f(x)=3-x C.f(x)=ln|x|D.f(x)=x+sinx 解析: 选C 选项A中的函数是偶函数,在(0,+∞)上单调递减,故不正确;选项B中的函数是非奇非偶函数,在(0,+∞)上单调递减,故不正确;选项C中的函数是偶函数,在(0,+∞)上单调递增,故正确;选项D中的函数是奇函数,在R上单调递增,故不正确.故选C. 2.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),且在[-1,0]上单调递减,设a=f(),b=f (2),c=f(3),则a,b,c的大小关系是( ) A.b C.b 解析: 选C 因为偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为2,则a=f()=f(-2),b=f
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- 第二章 第二节 第2课时 系统题型函数的性质及其应用 第二 课时 系统 题型 函数 性质 及其 应用