四年级奥数巧箱格点与面积.docx
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四年级奥数巧箱格点与面积
巧解格点与面积
巧点晴——方法和技巧
通过寻找面积之间的关系,培养学生探索问题、解决问题、发现规律的能力。
巧指导——例题精讲
A级冲刺名校·基础点晴
【例1】下图是用橡皮盘钉在钉板上围成的几个图形,每相邻两点之间的距离都是1厘米,计算这些图形的面积各是多少平方厘米。
做一做1计算下图各格点多边形的面积,每格面积为1。
【例2】下图每相邻两点之间的距离都是1厘米,求各个图形的面积,再填好下表,最后总结出一般规律。
图形
边上点数
内部点数
面积
①
②
③
④
⑤
分析与解按照例1的分析方法,进行分割。
图①的面积是2平方厘米,图②的面积是4.5平方厘米,图③的面积是5.5平方厘米,图④的面积是7平方厘米,图⑤的面积是2平方厘米。
填表:
图形
边上点数
内部点数
面积
①
4
1
2
②
9
1
4.5
③
9
2
5.5
④
10
3
7
⑤
6
0
2
寻找规律:
图①:
4÷2+1-1=2
图②:
9÷2+1-1=4.5
图③:
9÷2+1-1=5.5
图④:
10÷2+3-1=7
图⑤:
6÷2+0-1=2
于是,图形的面积与格点数有如下关系:
图形的面积=边上点数÷2+内部点数-1
做一做2下图是一个8×8的正方形,求正方形内四边形ABCD的面积。
(先用分割法,再用整点法)
【例3】右图中每一小格的面积都是1平方厘米,那么粗线围成的图形面积是多少平方厘米?
做一做3设每相邻两点间的距离为1,利用格点面积公式计算下图中阴影部分的面积。
B级更上层楼
【例4】如下图,计算下列各格点多边形的面积,统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数。
分析与解列表如下:
图形
周界上的格点数
图形内的格点数
面积
A
4
1
2
B
5
2
3.5
C
6
3
5
D
7
4
6.5
E
8
5
8
我们对表内的数据分析发现:
任何一个格点多边形的面积等于周界上的格点数除以2减1再加上图形内包含的格点数。
如果用S表示面积,用N表示图形内的格点数,用L表示周界上的格点数,再列成下表,它们之间的关系就更清楚了。
图形
S
N
L
S-N
L/2
L/2(S-N)
A
2
1
4
1
2
1
B
3.5
2
5
1.5
2.5
1
C
5
3
6
2
3
1
D
6.5
4
7
2.5
3.5
1
E
8
5
8
3
4
1
做一做4求下列格点多边形的面积(每相邻三点“∵”“∴”构成面积为1的等百年三角形)。
【例5】右图中每相邻三点连接后组成的等边三角形的面积为1平方厘米。
问三角形ABC的面积是多少?
分析与解边上点数为4,内部点数为4,可以
利用公式求出面积。
(4÷2+4-1)×2=10(平方厘米)
答:
三角形ABC的面积是10平方厘米。
做一做5下图中有18个点,其中相邻三点“∵”或“∴”所形成的三角形都是面积为1平方厘米的等边三角形。
试计算五边形ABCDE的面积。
【例6】如果下图每相邻的三点构成的三角形的面积都是2平方厘米,那么三角形ABC的面积是多少平方厘米?
分析与解图中每相邻三点构成的三角形的面积都是2平方厘米,利用三角形格点多边形面积公式求出的面积也应该扩大2倍。
三角形ABC边上点数是6,内部点数是13。
(6÷2+13-1)×2×2=60(平方厘米)
答:
三角形ABC的面积是60平方厘米。
小结本讲主要是利用格点面积公式求格点多边形的面积。
做一做6求下图中格点多边形的面积(每相邻四点围成的小方格的面积为2平方厘米)。
C级(选学)决胜总决赛·勇夺冠军
【例7】右图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有16个顶点(共同的顶点算一下),以其中不在一条直线上的3个点为顶点,可以构成三角形。
在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个?
分析与解设每个小正方形的边长为1个长度单位,则阴影三角形的面积为:
2×3÷2=3(面积单位)。
分类统计如下:
③
底为2,高为3
4×2=8(个)
②
底为2,高为3
4×2=8(个)
①
底为2,高为3
4×2=8(个)
⑥
底为3,高为2
2×2×2=8(个)
⑤
底为2,高为3
2×2×2=8(个)
④
底为 ,高为
4×2=8(个)
与阴影三角形面积相同的三角形有:
8+8+8+8+8+8=48(个)
D
做一做7如图,正六边形ABCDEF的面积是6平方方厘米,M是AB中点,N是CD中点,P是EF中点,问三角形MNP的面积是多少平方厘米?
巧练习——温故知新(十五)
A级冲刺名校·基础点睛
1.下图中每个小方格的面积为2平方厘米,求阴影部分的面积是多少平方厘米。
(金坛市“华杯”赛集训题)
2.下图中每个小正方形的面积都是1平方厘米,求阴影部分三角形的面积。
(乌鲁木齐市小学数学竞赛五年级组试题)
3.下图是用皮筋在钉板上围成的一个三角形,计算它的面积是多少。
(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位)
4.下图是用一根皮筋在钉板上围成的一个四边形,计算它的面积是多少。
(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位)
5.下图中每个小方格的面积为1平方厘米,求阴影部分的面积是多少平方厘米。
(福建省第三届“小火炬杯”小学数学邀请赛初赛试题)
B级培优竞赛·更上层楼
6.下图中的每个正方形的面积都是1,问图中这只狗所占的图形的面积是多少?
(1990年小学数学奥林匹克邀请赛决赛试题)
7.在下图的5×10的方格内作出4个面积为7(单位面积),形状各不同的格点多边形。
(每个小方格的单位面积为1)
8.图中阴影部分的面积是正方形面积的(几分之几)。
9.下图中每个小正方形的面积都是1平方厘米,那么图中五角星的面积是多少平方厘米?
(1994年上海市第七届小学五年级数学竞赛复赛试题)
10.如下图,如果小三角形的面积是1平方厘米,那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米?
C级(选学)决胜总决赛·勇夺冠军
11.把等边三角形ABC每边六等分,组成如下图的三角形网,若图中每个小三角形的面积均为1平方厘米,试求图中三角形DEF的面积。
12.把大正三角形每边八等分,组成下图所示的三角形网。
如果每个小三角形的面积都是1,求图中粗线所围成的三角形的面积。
13.如下图的21点,其中每相邻三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是等边三角形,面积是1平方厘米。
试计算三角形ABC的面积。
14.如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米,那么,三角形ABC的面积是平方厘米。
15.如下图,正六边形ABCDEF的面积为1,延长AB到A′,延长BC到B′…延长FA到F′,使之伸长1倍,得到一个新的正六边形A′B′C′D′E′F′。
求正六边形A′B′C′D′E′F′的面积。
巧总结
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