二次函数与幂函数.docx
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二次函数与幂函数.docx
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二次函数与幂函数
二次函数与幂函数
适用学科
高中数学
适用年级
高中三年级
适用区域
通用
课时时长(分钟)
60
知识点
二次函数的解析式;二次函数的值域或最值;一元二次方程、一元二次不等式;幂函数的图像、性质
教学目标
1.求二次函数的解析式;2.求二次函数的值域或最值,考查和一元二次方程、一元二次不等式的综合应用;
3.利用幂函数的图像、性质解决有关问题.
教学重点
1.理解二次函数三种解析式的特征及应用;
2.分析二次函数要抓住几个关键环节:
开口方向、对称轴、顶点、函数的定义域;
3.充分应用数形结合思想把握二次函数、幂函数的性质.
教学难点
1.理解二次函数三种解析式的特征及应用;
2.分析二次函数要抓住几个关键环节:
开口方向、对称轴、顶点、函数的定义域;
3.充分应用数形结合思想把握二次函数、幂函数的性质.
教学过程
1、课程导入
1.对于函数y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足a≠0,当题目条件中未说明a≠0时,就要讨论a=0和a≠0两种情况.
2.幂函数的图像一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图像与坐标轴相交,则交点一定是原点.
二、复习预习
1.二次函数的三种形式
(1)已知三个点的坐标时,宜用一般式.
(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式.
(3)已知二次函数与x轴有两个交点,且横坐标已知时,选用零点式求f(x)更方便.
2.幂函数的图像
(1)在(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图像越靠近x轴,在(1,+∞)上幂函数中指数越大,函数图像越远离x轴.
(2)函数y=x,y=x2,y=x3,y=
,y=x-1可作为研究和学习幂函数图像和性质的代表.
三、知识讲解
考点1.二次函数的定义与解析式
(1)二次函数的定义形如:
f(x)=ax2+bx+c_(a≠0)的函数叫作二次函数.
(2)二次函数解析式的三种形式
①一般式:
f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
②顶点式:
f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).
③零点式:
f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
考点2.二次函数的图像和性质
解析式
f(x)=ax2+bx+c(a>0)
f(x)=ax2+bx+c(a<0)
图像
定义域
(-∞,+∞)
(-∞,+∞)
值域
单调性
在x∈
上单调递减;
在x∈
上单调递增
在x∈
上单调递增;
在x∈
上单调递减
奇偶性
当b=0时为偶函数,b≠0时为非奇非偶函数
顶点
对称性
图像关于直线x=-
成轴对称图形
考点3.幂函数
形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
考点4.幂函数的图像及性质
(1)幂函数的图像比较
(2)幂函数的性质比较
y=x
y=x2
y=x3
y=
y=x-1
定义域
R
R
R
[0,+∞)
{x|x∈R且x≠0}
值域
R
[0,+∞)
R
[0,+∞)
{y|y∈R且y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
增
x∈[0,+∞)时,增;x∈(-∞,0]时,减
增
增
x∈(0,+∞)时,减x∈(-∞,0)时,减
四、例题精析
题型一 求二次函数的解析式
例1 已知二次函数f(x)满足f
(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数.
【规范解答】 方法一 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),依题意有
解之,得
∴所求二次函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
方法二 设f(x)=a(x-m)2+n,a≠0.∵f
(2)=f(-1),∴抛物线对称轴为x=
=
.∴m=
.
又根据题意函数有最大值为n=8,∴y=f(x)=a
2+8.
∵f
(2)=-1,∴a
2+8=-1,解之,得a=-4.∴f(x)=-4
2+8=-4x2+4x+7.
方法三 依题意知,f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),a≠0.
即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值ymax=8,即
=8,
解之,得a=-4或a=0(舍去).∴函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
【总结与反思】 二次函数有三种形式的解析式,要根据具体情况选用:
如和对称性、最值有关,可选用顶点式;和二次函数的零点有关,可选用零点式;一般式可作为二次函数的最终结果.
【举一反三】
已知二次函数f(x)同时满足条件:
(1)f(1+x)=f(1-x);
(2)f(x)的最大值为15;
(3)f(x)=0的两根平方和等于17.求f(x)的解析式.
【解析】 依条件,设f(x)=a(x-1)2+15(a<0),
即f(x)=ax2-2ax+a+15.
令f(x)=0,即ax2-2ax+a+15=0,
∴x1+x2=2,x1x2=1+
.
x
+x
=(x1+x2)2-2x1x2=4-2
=2-
=17,
∴a=-2,∴f(x)=-2x2+4x+13.
题型二 二次函数的图像与性质
例2 已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].
(1)当a=-2时,求f(x)的最值;
(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数;
(3)当a=1时,求f(|x|)的单调区间.
【规范解答】
(1)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于x∈[-4,6],
∴f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增,
∴f(x)的最小值是f
(2)=-1,又f(-4)=35,f(6)=15,故f(x)的最大值是35.
(2)由于函数f(x)的图像开口向上,对称轴是x=-a,所以要使f(x)在[-4,6]上是单调函数,应有-a≤-4或-a≥6,即a≤-6或a≥4.
(3)当a=1时,f(x)=x2+2x+3,∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为x∈[-6,6],
且f(x)=
,∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6],单调递减区间是[-6,0].
【总结与反思】
(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:
轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论;
(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解.
【举一反三】若函数f(x)=2x2+mx-1在区间[-1,+∞)上递增,则f(-1)的取值范围是____________.
【答案】 (-∞,-3]
【解析】 ∵抛物线开口向上,对称轴为x=-
,
∴-
≤-1,∴m≥4.
又f(-1)=1-m≤-3,∴f(-1)∈(-∞,-3].
题型三 二次函数的综合应用
例3 若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>2x+m恒成立,求实数m的取值范围.
【规范解答】
(1)由f(0)=1,得c=1.∴f(x)=ax2+bx+1.
又f(x+1)-f(x)=2x,
∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,
即2ax+a+b=2x,∴
∴
因此,f(x)=x2-x+1.
(2)f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m,即x2-3x+1-m>0,要使此不等式在[-1,1]上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.
∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减,∴g(x)min=g
(1)=-m-1,由-m-1>0得,m<-1.
因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).
【总结与反思】 二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,它们常结合在一起,而二次函数又是“三个二次”的核心,通过二次函数的图像贯穿为一体.因此,有关二次函数的问题,数形结合,密切联系图像是探求解题思路的有效方法.用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点.
【举一反三】已知函数f(x)=x2+mx+n的图像过点(1,3),且f(-1+x)=f(-1-x)对任意实数都成立,函数y=g(x)与y=f(x)的图像关于原点对称.
(1)求f(x)与g(x)的解析式;
(2)若F(x)=g(x)-λf(x)在(-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围.
【解析】
(1)∵f(x)=x2+mx+n,
∴f(-1+x)=(-1+x)2+m(-1+x)+n=x2-2x+1+mx+n-m=x2+(m-2)x+n-m+1,
f(-1-x)=(-1-x)2+m(-1-x)+n=x2+2x+1-mx-m+n=x2+(2-m)x+n-m+1.
又f(-1+x)=f(-1-x),∴m-2=2-m,即m=2.
又f(x)的图像过点(1,3),∴3=12+m+n,即m+n=2,
∴n=0,∴f(x)=x2+2x,
又y=g(x)与y=f(x)的图像关于原点对称,
∴-g(x)=(-x)2+2×(-x),∴g(x)=-x2+2x.
(2)∵F(x)=g(x)-λf(x)=-(1+λ)x2+(2-2λ)x,
当λ+1≠0时,F(x)的对称轴为x=
=
,
又∵F(x)在(-1,1]上是增函数.
∴
或
.
∴λ<-1或-1<λ≤0.
当λ+1=0,即λ=-1时,F(x)=4x显然在(-1,1]上是增函数.
综上所述,λ的取值范围为(-∞,0].
题型四 幂函数的图像和性质
例4 已知幂函数f(x)=
(m∈N*)的图像关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,求满足
的a的取值范围.
【规范解答】 ∵函数在(0,+∞)上递减,∴m2-2m-3<0,解得-1 ∵m∈N*,∴m=1,2. 又函数的图像关于y轴对称,∴m2-2m-3是偶数, 而22-2×2-3=-3为奇数,12-2×1-3=-4为偶数, ∴m=1.而f(x)= 在(-∞,0),(0,+∞)上均为减函数, ∴ 等价于a+1>3-2a>0或0>a+1>3-2a或a+1<0<3-2a. 解得a<-1或
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- 关 键 词:
- 二次 函数