高考理科数学及答案解析全国Ⅲ卷.docx
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高考理科数学及答案解析全国Ⅲ卷
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(含答案解析)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题U的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={-1,0,1,2},B={xIx2<1),则Af]B=
A.{-10,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}
【答案】A
【难度】容易
【点评】本题考查集合之间的运算关系,即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1,第一章《集合》中有详细讲解,其中第02节中有完全相同类型题口的计算.在高考精品班数学
(理)强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解.
2.若z(l+i)=2i,则冇
A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i
【答案】D
【难度】容易
【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学(理)强化提高班下学期,第四章《复数》中有详细讲解,其中第02节中有完全相同类型题目的讣算。
在高考精品班数学(理)强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著•某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
【答案】C
【难度】容易
【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座第十四章《概率》中有详细讲解,在寒假特训班、ti日冲刺班中均有涉及。
4.(l+2x2)(1+x)4的展开式中“的系数为
A.12B.16C.20D.24
【答案】A
【难度】容易
【点评】本题考查判断函数的相关知识。
在高一•数学(理)强化提高班下学期,第一章《函
数》有详细讲解,在高考精品班数学(理)强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。
5.已知各项均为正数的等比数列{6}的前4项和为15,且a5=3a3+4cn,则<73=
A.16B.8C.4D.2
【答案】C
【难度】容易
【点评】本题考查等比数列的性质。
在高一数学强化提高班下学期课程讲座2,第二章《数列》有详细讲解,在高考精品班数学(理)强化提高班中有对数列相关知识的总结讲解。
6.已知曲线y=acx+x\nx在点(2,ae)处的切线方程为y=2x+b,则
A.d=e,b=—\B.a=e,b=lC.a=e-1,Z?
=1D.«=e-1,b=—\
【答案】D
【难度】容易
【点评】本题考查判断函数的相关知识。
在高一•数学(理)强化提高班下学期,第一章《函
数》有详细讲解,在高考精品班数学(理)强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。
7.函数尸〒订在[Y6]的图像大致为
乙I厶
【答案】B
【难度】容易
【点评】本题考查线性规划问题。
在高考数学(理)提高班讲座第四章《函数的值域、最值求法及应用》中有详细讲解,在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
8.如图,点/V为正方形ABCD的中心,AECD为正三角形,平面ECD丄平面ABCD,M是线段ED的中点,贝IJ
中有详细讲解,在寒假特训班、白日冲刺班中均有涉及。
9.执行下边的程序框图,如果输入的£为0・01,则输岀$的值等于
10.
开始
*
"1丄・0F
【答案】c
【难度】容易
【点评】本题考查程序运行。
在高二数学(理)强化提高班上学期,第一章《算法初步》有详细讲解,其中第02讲有完全相似的题口。
在高考精品班数学(理)强化提高班中有对程序框
图题I」相关的总结讲解。
11.双曲线C:
^-y=l的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若\PO\=\PF\,
则APFO的面积为
A.B.C.2^2D.
42
【答案】A
【难度】容易
【点评】本题考查抛物线的综合知识。
在高一数学强化提高班下学期课程讲座2,第三章《圆锥曲线与方程》有详细讲解,在高考精品班数学(理)强化提高班、白日冲刺班中均有对圆、椭圆、双曲线、抛物线相关知识的总结讲解,同时高清课程《平面解析儿何专题》也有对圆的专题讲解。
11.设/W是定义域为R的偶函数,且在(0,+oc)单调递减,则
A・f(logs!
)>f(<2)>f(2=)
4ZZ
B.f(Iog31)>f(2~3)>f(2气)
C.f(2弓)>/(2三)>/(Iog3扌)
D.f(2~|)>f(2岭)>J(bg3丄)
【答案】C
【难度】容易
【点评】本题考查线性规划问题。
在高考数学(理)提高班讲座第四章《函数的值域、最值求法及应用》中有详细讲解,在寒假特训班、白日冲刺班中均有涉及。
12.设函数f(x)=sin(血+£)2>0),已知/(X)在[0,2兀]有且仅有5个零点,下述四个结论:
1/(X)在(0,2冗)有且仅有3个极大值点
2门兀)在(0,2tt)有且仅有2个极小值点
3/⑴在(0,扫)单调递增
1?
29
4©的取值范围是[云,币)
其中所有正确结论的编号是
A.①④B.②③C.①②③D.®®@
【答案】D
【难度】中等
【点评】本题考查线性规划问题。
在高考数学(理)提高班讲座第四章《函数的值域、最值求法及应用》中有详细讲解,在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知a,b为单位向量,且a•b=0,若。
=加一血,则cos〈“,c〉=.
2
【答案】
【难度】容易
【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座中有详细讲解,在寒假特训班、白日冲刺班中均有涉及。
14.记S”为等差数列伽}的前n项和,5=3®,则售严.
【答案】4
【难度】容易
【点评】本题考查等差数列的性质。
在高一数学强化提高班下学期课程讲座2,第二章《数列》有详细讲解,在高考精品班数学(理)强化提高班中有对数列相关知识的总结讲解。
15.设好,竹为椭圆C:
—+21=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MFf?
为等腰
3620
三角形,则M的坐标为.
【答案】(玄皿)
【难度】容易
【点评】本题考查抛物线的综合知识。
在高一数学强化提高班下学期课程讲座2,第三章《圆锥曲线与方程》有详细讲解,在高考精品班数学(理)强化提高班、白日冲刺班中均有对圆、椭圆、双曲线、抛物线相关知识的总结讲解,同时高清课程《平面解析儿何专题》也有对圆的专题讲解。
16.学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-ABCU
挖去四棱锥O—FFGH后所得的儿何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6cm,AA,=4cm,3D打印所用原料密度为0.9g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g.
【答案】118.8
【难度】中等
【点评】本题考查立体儿何的相关知识。
在高考数学(理)提高班讲座第十一章《立体儿何》中有详细讲解,在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)
为了解中、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:
将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液,每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算岀残留在小
鼠体内离子的口分比.根据试验数据分别得到如下直方图:
记C为事件:
“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.
(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值;
(2)分别估计甲、乙离子残留白分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)•
【答案】
(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.
0.05-0.15—0.70=0.10.
(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2x0.15+3x0.20+4x0.30+5x0.20+6x0.10+7x0.05=4.05・
乙离子残留口分比的平均值的佔讣值为
3x0.05+4x0.10+5x0.15+6x0.35+7x0.20+8x0.15=6.00・
【难度】容易
【点评】本题在高考数学(理)提高班讲座第十四章《概率》中有详细讲解,在寒假特训班、白日冲刺班中均有涉及。
18.(12分)
4+「/\ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin—=bsinA.
2
(1)求B;
(2)若△ABC为锐角三角形,且c=l,求AABC面积的取值范围.
【答案】
(1)山题设及正弦定理得sinAsin-一=sinBsinA.
2
A+
因为sinAH0,所以sin———=sinB.
2
由A+3+C=180°,可得sin+=cos—
22
故cos旦2si点謳.
222
rni
因为cos-^0,故si巧=丁因此460。
.
(2)由题设及
(1)知AABC的面积Smbc=牛.
由正弦定理得“皿少冋-叭互*丄.
sinCsinC2tanC2
由于ZiABC为锐角三角形,故0°<^<90°,0° (1)知4+C=120°,所以30° 【难度】中等 【点评】本题考查三角函数的计算。 在高一数学强化提高班上学期课程讲座2,第六章《三角函数》中有详细讲解,在高考精品班数学(理)强化提高班中有对三角函数相关知识的总结讲解。 19.(12分) 图1是由矩形ADEB,RtAABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,ZF8C=60°,将其沿AB,BC折起使得BF与BF重合,连结DG,如图2. (1)证明: 图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC丄平面BCGE; (2)求图2中的二面角B—CG—A的大小. 【答案】 (1)由已知得AD"BE,CG//BE,所以AD//CG.故AD,CG确定一个平面,从而儿C, G,D四点共面. 曲已知得AB丄BE,AB1BC,故AB丄平面BCGE. 乂因为ABU平面A3C,所以平面ABC丄平面BCGE. (2)作EH丄BG垂足为H・因为EHU平面BCGE,平面BCGE丄平面&BC,所以EH丄平面ABC. 由已知,菱形BCGE的边长为2,ZEBC=60°,可求得BH=1,EH=*. 以H为坐标原点,貳的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系H-矽z, 则A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,>/3),CG=(1,0,石),AC=(2,-1, 0). 设平面ACGD的法向量为"(x,y,z),则 CGw=0,x+辰=0, ACn=0,2x-y=0・ _73 2 所以可取”(3,6,-血)• 乂平面BCGE的法向量可取为m二(0,1,0),所以cos〈w〉= InIImI 因此二ffi角B-CG-A的大小为30。 . 【难度】难 【点评】本题考查立体儿何的相关知识。 在高考数学(理)提高班讲座第十一章《立体儿何》中有详细讲解,在寒假特训班、白日冲刺班中均有涉及。 20.(12分) 已知函数f(x)=2x3-ax2+h. (1)讨论/(x)的单调性; (2)是否存在使得/(x)在区间[0,1]的最小值为_1且最大值为1? 若存在,求出"上 的所有值;若不存在,说明理山. 【答案】 (1)f\x)=6x2一2ax=2x(3x一a). 令广U)=0, (-8,0)爬,+s]单调递增,在(o,纠单调递减: 若go,/(羽在(Y>,+8)单调递增; 若a<0,则U(0,+°°)时,/3>0;当xefy,0时,f'(x)<0.故/(x)在 (yo,彳,(0,+s)单调递增,在(討]单调递减. (2)满足题设条件的a,b存在. (i)当aWO时,知,/⑴在[0,1]单调递增,所以/(x)在区间[0,1]的最小值为f(O)=b,最大值为/ (1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当b=_l,2-a+b=i,即a=0,b=-\. (ii)当a$3时,由 (1)知,/(x)在[0,1]单调递减,所以/(x)在区间[0,1]的最大值为f(O)=b,最小值为f(Y)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当2-a+b=-\,b=l,即a=4»b=l. (iii)当0 最大值为b或 I3丿27 2—a+b•
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