湖南省普通高中学业水平考试模拟试数学理试题Word版含答案.docx
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湖南省普通高中学业水平考试模拟试数学理试题Word版含答案
2019年湖南省普通高中学业水平考试模拟试
数学(理)试题
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共4页.时量120分钟,满分100分.
一、选择题:
本大题共15小题,每小题3分,共45分.
1.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A=,B=,则A∩∁UB等于
A.B.C.D.
2.函数f(x)=sin的一个单调增区间为
A.B.
C.D.
3.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为
A.9π+42
B.36π+18
C.π+12
D.π+18
4.已知直线l1:
x-y+2=0,直线l2:
3x+my-1=0,且l1⊥l2,则m等于
A.-1B.6或-1C.-6D.-6或1
5.已知是等比数列,前n项和为Sn,a2=2,a5=,则S5=
A.B.C.D.
6.已知向量a=(1,k),b=(2,1),若a与b的夹角大小为90°,则实数k的值为
A.-B.C.-2D.2
7.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=2x+3y+1的最大值为
A.11B.10
C.9D.8.5
8.根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为
x
-1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x+2
1
2
3
4
5
A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)
9.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上的解析式为f(x)=x+1,下列大小关系正确的是
A.f
(1)>f
(2)B.f
(1)>f(-2)
C.f(-1)>f(-2)D.f(-1) (2) 10.sin75°cos30°-cos75°sin150°的值为 A.1B.C.D. 11.执行如图所示的程序框图,若输出的S为4,则输入的x应为 A.-2 B.16 C.-2或8 D.-2或16 12.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜想的数字记为b,其中a,b∈,若|a-b|≤1,则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为 A.B.C.D. 13.一个单位有职工800人,其中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是 A.12,24,15,9B.9,12,12,7 C.8,15,12,5D.8,16,10,6 14.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表: 收入x(万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y(万元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程=x+,其中=0.76,=y-x.据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为 A.11.4万元B.11.8万元 C.12.0万元D.12.2万元 15.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,线段AD,BD的中点分别为E,F.现将△ABD沿对角线BD翻折,则异面直线BE与CF所成角的取值范围是 A.B.C.D. 二、填空题: 本大题共5小题,每小题3分,共15分. 16.在数列{an}(n∈N*)中,设a1=a2=1,a3=2,若数列是等差数列,则a6=________. 17.若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处有最小值,则a=________. 18.已知α,β∈,cosα=,cos(α+β)=-,则β=________. 19.已知钝角△ABC的面积为2,AB=2,BC=4,则该三角形的外接圆半径为________. 20.已知f(x)=,则f{f[f(5)]}=________. 三、解答题: 本大题共5小题,共40分. 21.(本小题满分6分) 已知函数f(x)=log2,x∈(-1,1). (Ⅰ)判断f(x)的奇偶性,并证明; (Ⅱ)判断f(x)在(-1,1)上的单调性,并证明. 22.(本小题满分8分) 一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字,现随机投掷两次,正四面体面朝下的数字分别为b,c. (Ⅰ)若直线l: x+y-5=0,求点P(b,c)恰好在直线l上的概率; (Ⅱ)若方程x2-bx-c=0至少有一个根属于集合{1,2,3,4},就称该方程为“漂亮方程”,求方程为“漂亮方程”的概率. 23.(本小题满分8分) 如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是菱形,SA⊥底面ABCD,M为SA的中点,N为CD的中点. (Ⅰ)证明: 平面SBD⊥平面SAC. (Ⅱ)证明: 直线MN∥平面SBC. 24.(本小题满分8分) 已知数列{an}满足a1=2,an+1=an+2,其中n∈N*. (Ⅰ)写出a2,a3及an; (Ⅱ)记数列{an}的前n项和为Sn,设Tn=++…+,试判断Tn与1的关系; (Ⅲ)对于(Ⅱ)中Sn,不等式Sn·Sn-1+4Sn-λ(n+1)Sn-1≥0对任意的大于1的整数n恒成立,求实数λ的取值范围. 25.(本小题满分10分) 已知直线x+y-2=0被圆C: x2+y2=r2所截得的弦长为8. (Ⅰ)求圆C的方程; (Ⅱ)若直线l与圆C切于点P,当直线l与x轴正半轴、y轴正半轴围成的三角形面积最小时,求点P的坐标. 附加题: (附加题不记入总分) 1.(本小题满分12分) 已知定点A(0,1),B(0,-1),C(1,0).动点P满足: ·=k||2. (Ⅰ)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型; (Ⅱ)当k=2时,求|2+|的最大、最小值. 2.(本小题满分12分) 已知数列,都是单调递增数列,若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列(相同的项视为一项),则得到一个新数列. (Ⅰ)设数列、分别为等差、等比数列,若a1=b1=1,a2=b3,a6=b5,求c20; (Ⅱ)设的首项为1,各项为正整数,bn=3n,若新数列是等差数列,求数列的前n项和Sn; (Ⅲ)设bn=qn-1(q是不小于2的正整数),c1=b1,是否存在等差数列,使得对任意的n∈N*,在bn与bn+1之间数列的项数总是bn? 若存在,请给出一个满足题意的等差数列;若不存在,请说明理由. 2019年湖南省普通高中学业水平考试模拟试 数学(理)试题参考答案 一、选择题: 本大题共15小题,每小题3分,共45分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 A A D B B C B C D C D D D B C 13.D 【解析】因为=,故各层中依次抽取的人数分别是=8,=16,=10,=6. 14.B 【解析】由题意知,x==10, y==8,∴=8-0.76×10=0.4, ∴当x=15时,=0.76×15+0.4=11.8(万元). 二、填空题: 本大题共5小题,每小题3分,共15分. 16.120 17.3 18. 【解析】由已知,sinα=,sin(α+β)=,可求cosβ=cos[(α+β)-α]=,所以β=. 19. 20.-5 三、解答题: 本大题共5小题,共40分. 21.【解析】(Ⅰ)证明: f(-x)=log2=log2 =log2=-log2=-f(x), 又x∈(-1,1),所以函数f(x)是奇函数.(3分) (Ⅱ)设-1<x1<x2<1, f(x2)-f(x1)=log2-log2=log2 因为1-x1>1-x2>0;1+x2>1+x1>0 所以>1,所以log2>0 所以函数f(x)=log2在(-1,1)上是增函数.(6分) 22.【解析】(Ⅰ)因为是投掷两次,因此基本事件(b,c)为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个,(1分) 当b+c=5时,(b,c)的所有取值为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(2分) 所以所求概率为P1==.(3分) (Ⅱ)①若方程一根为x=1,则1-b-c=0,即b+c=1,不成立. ②若方程一根为x=2,则4-2b-c=0,即2b+c=4,所以 ③若方程一根为x=3,则9-3b-c=0,即3b+c=9,所以 ④若方程一根为x=4,则16-4b-c=0,即4b+c=16,所以 由①②③④知,(b,c)的所有可能取值为(1,2),(2,3),(3,4), 所以方程为“漂亮方程”的概率为P2=.(8分) 23.【解析】证明: (Ⅰ)∵底面ABCD是菱形, ∴BD⊥AC,∵SA⊥底面ABCD,∴BD⊥SA, ∵SA与AC交于A,∴BD⊥平面SAC, ∵BD平面SBD,∴平面SBD⊥平面SAC.(4分) (Ⅱ)取SB中点E,连接ME,CE, ∵M为SA中点,∴ME∥AB且ME=AB, 又∵ABCD是菱形,N为CD的中点,∴CN∥AB且CN=CD=AB,∴CN∥EM,且CN=EM, ∴四边形CNME是平行四边形,∴MN∥CE, 又MN平面SBC,CE平面SBC,∴直线MN∥平面SBC.(8分) 24.【解析】(Ⅰ)依题可得a2=a1+2=4,a3=a2+2=6, 依题可得{an}是公差为2的等差数列,∴an=2n.(2分) (Ⅱ)∵Sn=n(n+1),∴==-, ∴Tn=++…+=1-<1.(5分) (Ⅲ)依题可得n(n+1)·(n-1)n+4n(n+1)-λ(n+1)(n-1)n≥0,即(n-1)n+4-λ(n-1)≥0, 即λ≤n+对大于1的整数n恒成立,又n+=n-1++1≥5, 当且仅当n=3时,n+取最小值5,所以λ的取值范围是(-∞,5].(8分) 25.【解析】(Ⅰ)因为圆C的圆心到直线x+y-2=0的距离为d==,(1分) 所以r2=d2+()2=()2+42=18.(2分) 所以圆C的方程为x2+y2=18.(3分) (Ⅱ)设直线l与圆C切于点P(x0,y0)(x0>0,y0>0), 则x+y=18.(4分) 因为kOP=,所以圆的切线的斜率为-. 则切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=18.(5分) 则直线l与x轴正半轴的交点坐标为,与y轴正半轴的交点坐标为. 所以围成的三角形面积为S=××=. 因为18=x+y≥2x0y0,所以x0y0≤9. 当且仅当x0=y0=3时,等号成立.(8分) 因为x0>0,y0>0,所以≥, 所以S=≥=18. 所以当x0=y0=3时,S取得最小值18.所以所求切点P的坐标为(3,3).(10分) 附加题: (附加题不记入总分) 1.【解析】(Ⅰ)设动点坐标为P(x,y),则=(x,y-1),=(x,y+1),=(1-x,-y).因为·=k||2, 所以x2+y2-1=k[(x-1)2+y2],(1-k)x2+(1-k)y2+2kx-k-1=0. 若k=1,则方程为x=1,表示过点(1,0)且平行于y轴的直线. 若k≠1,则方程化为+y2=,表示以为圆心,以为半径的圆. (Ⅱ)当k=2时,方程化为(x-2)2+y2=1, 因为2+=(3x,3y-1), 所以|2+|=. 又x2+y2=4x-3,所以|2+|=. 因为(x-2)2+y2=1,所以令x=2+cosθ,y=sinθ, 则36x-6y-26=6cos(θ+φ)+46∈[46-6,46+6]. 所以|2+|的最大值为=3+, 最小值为=-3. 2.【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q, 由题意得,,解得d=0或3,因数列,单调递增, 所以d>0,q>1,所以d=3,q=2,所以an=3n-2,bn=2n-1. 因为b1=a1,b3=a2,b5=a6,b7>a20,所以c20=a17=49. (Ⅱ)设等差数列的公差为d,又a1=1,且bn=3n, 所以c1=1,所以cn=dn+1-d.因为b1=3是中的项, 所以设b1=cn,即d(n-1)=2. 当n≥4时,解得d=<1,不满足各项为正整数; 当b1=c3=3时,d=1,此时cn=n,只需取an=n,而等比数列的项都是等差数列中的项,所以Sn=n(n+1); 当b1=c2=3时,d=2,此时cn=2n-1,只需取an=2n-1, 由3n=2m-1,得m=,3n是奇数,3n+1是正偶数,m有正整数解, 所以等比数列的项都是等差数列中的项,所以Sn=n2. 综上所述,数列的前n项和Sn=n(n+1)或Sn=n2. (Ⅲ)存在等差数列,只需首项a1∈(1,q),公差d=q-1. 下证bn与bn+1之间数列的项数为bn.即证对任意正整数n,都有,即成立. 由bn-a1+q+q2+…+qn-2+1=qn-1-a1-(1+q+q2+…+qn-2)(q-1)=1-a1<0, bn+1-a1+q+q2+…+qn-1=qn-a1-(1+q+q2+…+qn-2+qn-1-1)(q-1)=q-a1>0. 所以首项a1∈(1,q),公差d=q-1的等差数列符合题意.
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