初二数学第11讲 乘法公式教案.docx
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初二数学第11讲乘法公式教案
第11讲乘法公式
适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
人教版
课时时长(分钟)
120
知识点
平方差公式;完全平方公式
教学目标
1、理解并掌握公式的结构特征,会用平方差公式,完全平方公式进行运算。
2、通过创设问题情境,让学生在数学活动中建立平方差公式模型,感受数学公式的意义和作用。
培养学生的数学建模能力与抽象思维能力,感悟换元的思想方法,在运用公式解决实际问题的过程中培养学生的化归思想,逆向思维。
2、体验数学活动充满着探索性和创造性,并在数学活动中获得成功的体验。
教学重点
掌握公式的结构特征及正确运用公式
教学难点
公式推导的理解及字母的广泛含义
教学过程
一、复习预习
1.多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
二、知识讲解
考点1.发现总结
计算下列各题
(1)(a-3)(a+3)
(2)(1+2x)(1-2x)
(3)(a+3b)(a-3b)(4)(2x+y)(2x-y)
观察以上算式及其运算结果,你有什么发现?
并举例计算验证自己的猜想.
平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.这个公式叫平方差公式
平方差公式的特点:
(1)左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数;
(2)右边是相同项的平方减去相反相的平方
(3)公式中的a和b可以是单项式,也可以是多项式。
归纳:
(a+b)(a-b)=a2-b2的8种变化形式
(1)位置变化
(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2
(2)符号变化
(-a-b)(a-b)=-(a+b)(a-b)=-(a2-b2)
(3)系数变化
(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2
(4)指数变化
(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4
(5)增因式变化
(a+b)(a-b)(-a-b)(-a+b)=(a2-b2)[(-a)2-b2]
(6)增项变化
(a-b-c)(a-b+c)=(a-b)2-c2
(7)连用公式变化
(a+b)(a-b)(a2+b2)(a4-b4)=a8-b8
(8)逆用公式变化
a2-b2=(a+b)(a-b)
考点2.发现、总结
根据乘方的定义,我们知道:
a2=a·a,那么(a+b)2应该写成什么样的形式呢?
(a+b)2的运算结果有什么规律?
计算下列各式,你能发现什么规律?
(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=_______;(m+2)2=_______;
(2)(p-1)2=(p-1)(p-1)=________;(m-2)2=_______;
通过计算,可以得到结果:
(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=p2+2p+1
(m+2)2=(m+2)(m+2)=m2+4m+4
(2)(p-1)2=(p-1)(p-1)=p2-2p+1
(m-2)2=(m-2)(m-2)=m2-4m+4
结果中有两个数的平方和,而2p=2·p·1,4m=2·m·2,恰好是两个数乘积的二倍。
(1)
(2)之间只差一个符号.
考点3.
结合以上情形,我们得到完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
即:
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍.
完全平方公式的特点:
公式的左边都是一个二项式的平方,二者仅有一个“符号”不同,右边都是二次三项式,其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方,中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍,二者也仅有一个“符号”不同。
考点4.
1、完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2或(a-b)2=a2-2ab+b2中的a、b可以是单项式,也可以是多项式
2、对于形如两数和(或差)的平方的乘法,都可以应用完全平方公式计算
三、例题精析
【例题1】
【题干】计算
(1)(a-2b)(2b+a)
(2)(3x-2y)(-3x-2y)
(3)(5mn-3mn)(-3mn-5mn)
【答案】
(1)(a-2b)(2b+a)=(a-2b)(a+2b)=a2-4b2
(2)(3x-2y)(-3x-2y)=(-2y+3x)(-2y-3x)=4y2-9x2
(3)(5mn-3mn)(-3mn-5mn)=(-3mn+5mn)(-3mn-5mn)=9m2n2-25m2n2
【解析】直接运用平方差公式解答即可。
【例题2】
【题干】计算:
(1)9.8×10.2
(2)59.8×60.2
【答案】
(1)9.8×10.2=(10-0.2)(10+0.2)=100-0.04=99.96
(2)59.8×60.2=(60-0.2)(60+0.2)=3600-0.04=3599.96
【解析】此类题注意向平方差公式形式转化,写成两个数的和与差的积的形式,使运算简便。
【例题3】
【题干】对于任意的正整数n,能整除代数式(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)的整数是()
A.3B.6C.10D.9
【答案】C
【解析】(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)=9n2-1-(9-n2)=9n2-1-9+n2=10n2-10=10(n2-1)
n是正整数,10(n2-1)为10的整数倍,所以能被10整除。
【例题4】
【题干】计算
(1)(x-y+z)(x+y+z)
(2)(2a-b)(2a+b)(4a2+b2)
【答案】
(1)(x-y+z)(x+y+z)=[(x+z)-y][(x+z)+y]=(x+z)2-y2
(2)(2a-b)(2a+b)(4a2+b2)=(4a2-b2)(4a2+b2)=16a4-b4
【解析】此题主要是平方差公式的综合应用,主要是找到a、b所代表的具体式子,然后应用平方差公式进行计算。
【例题5】
【题干】计算
(1)(2x+3)2
(2)(a-2b)2
【答案】
(1)(2x+3)2=(2x)2+2﹒2x﹒3+32=4x2+12x+9
(2)(a-2b)2=a2-2﹒a﹒2b+(2b)2=a2-4ab+4b2
【解析】此题直接应用完全平方公式计算即可。
【例题6】
【题干】计算
(1)(-x-y)2
(2)(3a+2)(-3a-2)
【答案】
(1)(-x-y)2=[-(x+y)2]=(x+y)2=x2+2xy+y2
(2)(3a+2)(-3a-2)=(3a+2)[-(3a+2)]=-(3a+2)2=-(9a2+12a+4)=-9a2-12a-4
【解析】通过转化把各个式子转化为和完全平方公式然后利用公式进行计算,通过此例我们可以得到(-x-y)2可以直接转化为(x+y)2的形式
【例题7】
【题干】计算
(1)1022
(2)982
【答案】
(1)1022=(100+2)2=10000+400+4=10404
(2)982=(100-2)2=10000-400+4=9604
【解析】根据数的特征,将底数转化为一个大数和一个小数和或差的形式,然后利用完全平方公式计算比较简便。
【例题8】
【题干】如果x2-2(m+1)x+4是一个完全平方公式,则m=______.
【答案】-3或1
【解析】∵x2-2(m+1)x+4是一个完全平方公式,∴-2(m+1)=±4,则m=-3或1.
课堂小结
1、两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.这个公式叫平方差公式,即
(a+b)(a-b)=a2-b2
平方差公式的特点:
(1)左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数;
(2)右边是相同项的平方减去相反相的平方
(3)公式中的a和b可以是单项式,也可以是多项式。
2、两数和的完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2
两数差的完全平方公式:
(a-b)2=a2-2ab+b2
即:
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍.
完全平方公式的特点:
公式的左边都是一个二项式的平方,二者仅有一个“符号”不同,右边都是二次三项式,其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方,中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍,二者也仅有一个“符号”不同。
3、完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2或(a-b)2=a2-2ab+b2中的a、b可以是单项式,也可以是多项式
4、对于形如两数和(或差)的平方的乘法,都可以应用完全平方公式计算
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