大学线性代数典型例题解析.docx
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大学线性代数典型例题解析
大学线性代数典型例题解析
一•行列式计算的典型例题分析:
1•利用降阶法。
计算
351()
2145
D=
1742
-3511
解邂第三列乘权-3和-5分别加到第一列、第二列■然厂按第一行展开.得
0
-10
£)=
-6
0
-19
73
0
Li
-10
;十1严-II
—6
-195
-132
01
再将第三列乘以6加到第一列:
按第三片展开’探
20
D=I
0
-195
-132
0I
=(-1严
20-19
I-13
「I以上演算过程可知,对于任意n阶行列式D,皆町用行列贰性质变为等置的n-1阶行列式,
2•利用化三角形法计算。
a-b—cla
计算D二2bb-c-a
2c2c
Iff:
将第二廿与弟三打都加到第一打上,帯提出公阖子(a+b+cj,得a+h+匸口+A+uo+/)+c
D-2bb-c—a2A
2c2cc-a-b
I1I
—(ah+c)2bb^c—a2b
2c2cc—a—Z?
再将第一疔乘以(-2b)和(-2e)分别加到第二行与第三行,得
1II
D=(a+fr+c)0^[a+b+c)0=(a^-b+c)3=
00—(a+Z?
+c)
3.利用升阶法。
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
■4
Z
a
Q\
-^i
Z—d■
0
0
0
-az
a2
Z
a2
5
=
0
0
0
-码
J
a
%
-码
0
0
A-a3
0
码
z
0
0
0
a-a4
^列代帥到第—列上
條第3列急倍
D-
II
=fl“y)(i+£亠n这里设a^A(f=i52,3,4)i±it±]人・吗
这个结论可以推广到n阶疔列式的情兀即
a,
4.利用范德蒙公式。
ftm悭方程
X
1525
=0
锂将行列式转置住知它是一个4阶范苞讓行列式-HI:
1
r
iX
11
1
1
]
4
S
x2
-3
5
]
-3
9
-27
xz4
9
25
1
■
25
125
F8
-27
125
=(2-_r)(-3-工)(5-工)(-3-2)(5-2)(5+3)=0
(方程的解为x=2,x=-3,x=5)h
.矩阵
9.5已知
1
1
1
I
0
1
1
1
0
0
1
I
0
0
0
I
A=
ivp|=i^a用伴随矩阵法
II1
岛】=0I1=1,Z】2=A、、=A}i=0
001
0I
00
0
0
=0
=0
且|出|=
#03可逆,由三儒块求
逆法.
宀
-0
其忙0|
1
0
0
0_
鞘口2切卑丫变耳広
1
1
1
1
1
0
0
0
_1
0
0
0
1
-1
0
厂
0
1
1
1
0
1
0
0
町一牛
0
1
0
0
0
1
-1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
巾•口
0
0
1
0
0
0
1
-1
_0
0
0
1
0
0
0
1
_0
0
0
1
0
0
0
1
超法(4)分块法
'II
0I
dJ=--■-*b
00
00
故
00
-10I-I
0I
f501r
勺0©
17;求X使XA=Bf这里川二
1-3-2
・B—
530
521\
|
1260>
分析;根辦矩阵乘法规则,X应为3阶方阵.若A可連,则XA-B两恻同乘tT[即可得X=BA'\
箏注_:
先求
(50I=100^
I-3-2,10
[-521:
001>
fl
-3
-2;01(?
|
f]-3
_勺
J
i0
id\
0
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2i1
0
1
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i7
58
lo
-13
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1
I
I
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1
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0
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-8:
-13-10
0
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西
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8丿
(I23、
.'.A~x-91011
<—13—10—15>
1
0
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2
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fl
—
3-
则x=BA~{=-
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4
5
6
A
<2
6
o>
「10
-15;
<7
£
9
Kt鯉因削執右佻因此匕別二血环是沪乩姊上狛于俯等式馳同时右乘八
降二:
=f可以看成-些初等矩阵Z札它储乘B,用当于对B进
行碱换.Ift这輕初等斛桶A.删L即和細斷同軸列初等变礼IEA变切时出把B变为启旳=
⑷(H卩1
因此iii_^si4…=…
/丿册"丿N
(5
1
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*
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1-2
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1-20
-6
26;
(
1
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i
0
円
S
0
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24
>
1
2
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71
S
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0
£
-8
V2孙
/.X=
456
<789丿
0
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8:
设卫二
0
1
一|
10
1
4>
%「
B=1】'求X便AX=2X-Bi
&7
胖法一;AX=2X+B.!
^ij(A-21)X=B
若A-21可迎,则X=(A~2/)-1B
.fl00)fs
先求(A-2I)-l.^jA_2f=0“-I为准載筲矩阵,呦只需戒匚.T;'的逆.
I】2丿
9(说朝:
斌二阶方阵用件随陈求逆也很方熾)
II
f\
0
0'
二(月-
■2/)-1=
0
-2
7
<0
1
L
50
(p
卩
'3「
:
.X=
0-2
-I
1
]
=
-41
1
<01
1丿
12
-匀
13-2>
無法二:
X=(A-2irB,^(A-2iy'^当于一些初等阵之积,它们右乘氐相当于对已进疗行初等变唤=丙此
(A-21,8}F"苇孚臭・片人X).
f\0036^
<10036、
rl0036^
0-I-11I
—>
011-1-1
—>
1
010-41
<0122-3;
<0013-2y
<00132;
:
36>
二x=-41
例1D设占为ri阶可逆方阵点证:
①(・』尸=卜1严八②卜』厂=・犷③(屮)—卩厂鼻
证:
①设A=(a.t)^中®的代叢余子式为坷
则卜牛卜附卜卜1)%|且・切的代数余子式为卜叮1尙于是
(卜旷如~卜旷4)=卜1严屮
②证法1:
由定几卜川・卜沪)=(-1)小(」)才上卜1"才T故卜川“=-<\
证法2:
由公式
③当A可逆时,才=|车J
故(/(*)*=(|J|Z)*=|彳州•悴于=14-p-j—tr1)-1
\A\
说明;这里几个等试证明中用到了以下结论:
⑴片呵=昇・网
(2)(k-B)-1
⑶町卜『
③也可有如下解法:
AA^=\A\-1设f=艮则B*B=\B\1由AA*=\A\It^\A\\A•|=p|-/|=|^
vA可逆,屮|*0.|叶|犷,即网="IjH0
而#T=AAA^=\A\*lt:
.-^A^A*=1)
HI同
冷十「冷八|旷/
•向量和线性方程组
附已脳产(即)角=(”1入妒®』)嘲
*为Mtta[岛角職暂
弱血滩牝泌泌拋联糊谓加佝脚t跆
*:
墟IB于翡附箭
$“+铤+竝广0
抽&&只有黠脑泌曲魁无关;抑詁有丰需轨鸟卫擲
7j+=0
弓+3血=0
3^(+2k2+ak3=0果数吁列式
I32
D=2-I3
32a
32
—13=-7(i?
-5)
0a-5
⑴当D=-7(fl-5)HO时.方程#汀!
有寧劣闵此当aW时.a:
他4』线性无关.⑵当0=-7(<2-5>0时’方程组有非零解,因此当d=5时.4“如线性相关.
设or,=k\a{+k\a2
则(3.2,5)=(#'3+3k\f2k\-k'2,3k\^-2k\)
比+3心3
B|l!
^2k\-fc'2=2
探'严2码二5
◎二*于是孔
at=(1023)匚勺=(143.5)7,«3=(l,-l,a+2>l)rta<=(1^4,0+8)r,0=(】」』+3上卩问
a,b为何值时,0不能表示f&a]fa2fa3fa4的线性组合;
日,b为何虫时.0口丁以由anaiyaira4线性表示,且表示法>€—・
輕:
如俛6分析,上述问邇等价于0二禺%+虬s+咫乙是否有崩即
]
-i
日十]
1
1
2
4
?
+8
I
1-12
0盘+】0
00应+1
1111
01-12
01a2
占+】
02・2“52
)111■
\_
■1■
01-12
工:
1
=
23o+24
d+3
351a+^
£
5
是否育第氐为
兀中kr:
+r表不矩阵第i吁乘収k加到第j行,
因此,当b=0时丫方程组有无穷梦解,戸可以表示J&s卫2*的线性组合.当廿二7上勿吋,方程魁育无穷爹隨此讨阿匕表示成色,/的线性坦今,但表示注不唯一.
节<7H-1时,0可以唯一;卫农示成
2b«+6+1
供10设
j
1A=
1
1
■—
125
237
349
4511
10
)3
16
天■的就
分析,一腹戒矩阵阿秩可以通过两个方法来戒’
h直接用行列式求矩埠的轶.即找出炬阵中屋高不为零子式的阶数.
2+利用初等变换來求矩阵的秩.
=1#0,而所有包含D的三阶子式为
方汇】与方注2-般根拯雄阵阶数夹定.对于做高建璋刖用初等变殃较为方怙
D*=
囲此秩A=2
方法2
I12
I23=0.
I34
II5
2=127=0,
I4H
II7
D6=I210
1416
=0.
II2
II5
I17
I23
=0,D、=
I27
=0*Dy=
121C
145
139
1313
聲方法一:
貞有一介二阶子式D:
D=
11257
11257
123710
(-1)xf]+<
01123
134913
i=2.3,4
02246,
」45II16
03369
11257
(-2小5十口0I1
(_3)卩+心000
00_
000
Alft]r(B)=2,因此r(A)=2
例5.判断务=(h23),a2=(3t2J),勺=(kNI)是否线性相关.
分析:
研究向量弐%,並「…,宜般的线性相关的问題卜由定丈时知.就是考寰是否存在血个不全为零的数虬和,…,斤十便线性组劭
兔&+$&+…+S出=0
口/】+◎九姑
因此.向量组S•’是否线性用关,等价于齐次线性方程组(引是否有非孚矮.若方程红⑶有菲寧鹘.则务,线性期关.若方程经⑶只有零倒L则码j线性无关.那苗究向去间是否线性祁关同建•实质上就是硏究齐次线柱方程组⑶着没有零解问亂
解法一设存在一组数昭出,灯使禺住1+紿勺+kiai=0■即^(1,2,3)+^13,23)+^(133)=(0,0,Oh亦即(Ap.+3&+&,2&+2k2+3心,3A|+k2+RJ=(0,0,0)・
k}+3Af:
+Aj=0
2A:
+2A:
+3kz=0
3k-k2+Aj=0
_13r
系软矩忑223=A.可以通过初等行变换求得r(A)=3.K'J此齐状线性方程鉉
3I1
■■
只有零轉故碍住"住3统性无关.
覚'r1h
例6巳观产(MUM厂仲厂卜加讦仏7卜1也小47卯小対1)试務像示加i角角和住■的唆齣含.
分析:
硏究某-向量雄否用向量釦角严几濾性表示糠歸有皿个救匕岛「化使為0=&卫|祜角+"#屁虑立,
N占皿也杆叫A=A
atJ.+偽屁4TorJ.=h.
(4)
ul孟■占"n*皿4
如皿汕%馳表示等价刊济熾住方程姐⑷是唯-的昶表示•若方灘(4)有无
球性表示*但表乐法不唯一•若方程矩(4)无罠则:
…珂飙表示
眦向童滩否用向量脸崗否有麒着方脏沖)謎一亀M能妝q穷多幣忖能用#能用©心
解^P-ka也听+叭+也加即
(1,2昇)詁伸山1)也(1」厂lHHMThTM—1」)
£+h+k3+£=I
ti+i,-L-kk=2
即0二一叭—a3__g
四.特征值与特征向量
二丄的特征世为乙二久厂2,2严】*对于z;:
=2P方f^£(2l-AH=0,UI^J
例].求矩阵的特征值和特征向量
-1r
\-3
4_
4=
2
01
:
.B=
4
-7
8
1
-12
6
-7
1刀■理=
乂-31-1
-】Z-*1
-
x-21
4-2Z
0
Z—1
=(z-2)|z-1)
110
1Z1
-2112
01
Z—1
011
婆i
二解为1
UJ
Z
<-1
1
(X
「110\
◎
_2
a
4
-1
<2
=
0
即:
001
X,
£
=
0
I-1
1
0>
E丿
<0j
<00oj
©
⑴
fP
解列
1
t:
*A,
1
比q
W)是屈F2的特证覚:
ft:
4
U/
f-2】-I
Yx,
竝于久严1;方程组好一旳X=Q即为-21-I
<—11—ULx3>
ri-r
Ji0©
(0-11
x2
=
0
=>
0TI
=
0
<0oo>
\J>
<0;
<00oj
卫丿
◎
I(帕RM二艺于2=1的持征向量
「出的持征置为2.2.I.A的属于2的特征向量为仪I#0),
〔0丿
A的属于1的特征向盘为&1(*2*0)JJ
=+"l=(A-3)(A+l)2A丹的特征值为右二心二一1,妇二3
r■■
f-23-4\
对于A,==-l,^方程组C-I-A)X=0,^!
(-Z-J)=2-I0J7-j
fo2
J
a-I
0-P
(C
0
—>
1
01
loo
_2
—>
0
I-2
*•!
向童為=(2
llj
104
一爲
oy
0Oj
f23-4X
<23-4^
就于久严N方程组(討「/1)X=a3/-A=
23-4
016-16
厂67—4j
k000;
「2o-r((y
TO1-1解向量5b1・・/的特征值为T,-I3
LO00Jlb
T
&2向*切是属于-啲特征向量I】丿
4.1(k2#0)是属于朝勺特征向董
W
注I:
求特社懐时戌难在于计算疔列式•应尽盘便中疔列式性质•理昊行(列)化成有冥国一阴子(2的一次式人然后再计算•这样易于暹多项式区式分髀"由此化还可看出.半特花值是重根时,不一宦有2个线性无关的特征向量.昂外,还可从解(AJ-A)X=0中可验证所求的特征值是否正确.(当(A1-A)X=O^有军解时,可以说明诸几不是特征值)
注2:
特tz尙量是非零向量这要牢记.
五.二次型
L:
将二次型f=(x,J=+2x}+4x占+2x}心+4x內+2毛屯
+2兀心+2®兀表示成矩陈形式,井我该二次型的秩•
勢:
将二次型表示成矩阵形式X\4XH\其中A是对帐矩阵’•且2化即为二巧阿系数
(2丿)血叫即为疋的柬熱出此即得:
“21打
2011
1111
<2112;
f(屿,勺*些声J=(叼,七,些*
rl212:
仃21厂
0—4—1—3
0101
—>
0-10-1
0U
<0—3—1—2丿
^0000;
而该二诜型的秩实际上即为电阵A心秩U
A->
几其秩为氛
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