第二章 数坐标系.docx
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第二章数坐标系
第二章數與坐標系
§2-1整數
(甲)自然數與整數的引入
(1)自然數(N):
人類基於計數、排序最先發展出來的數系。
(2)自然數系中加法、乘法的運算
a,b,c∈N
a+b∈N,ab∈N(封閉性)
a+b=b+a,ab=b⋅a(交換律)
a+(b+c)=(a+b)+c,(ab)c=a(bc)(結合律)
(a+b)⋅c=ac+bc(分配律)
自然數的缺陷:
自然數對於加法、乘法具有封閉性,但是兩個自然數相減並不一定是自然數,為了彌補這個缺憾,於是有了整數的誕生。
自然數系誕生後,為了彌補上述缺憾,整數系先是繼承了自然數對於加法、乘法的所有資產(運算性質),接著反方向開拓了「零」和「負整數」,形成了一條「雙向開放」的整數大道。
(3)整數的基本性質:
若a,b,c都是任意整數,則
(a)a+b,a-b,a⋅b都是整數(封閉性),a÷b不一定是整數。
(b)a+b=b+a,a⋅b=b⋅a
(c)a+(b+c)=(a+b)+c,(ab)c=a(bc)
(d)(a+b)⋅c=a⋅c+bc
(e)a+c=b+c⇒a=b(加法消去律)
(f)a⋅c=b⋅c(c≠0)⇒a=b(乘法消去律)
(g)a+0=0+a=a,a⋅0=0⋅a=0,a⋅1=1⋅a=a
(4)除法原理:
若a,b為整數,則存在唯一的一組整數q,r,使得a=bq+r,且0≤r<|b|。
我們稱a為被除數,b為除數,q為商數,r為餘數。
例如:
23÷5=?
…….?
23=5⨯4+3
-13÷5=?
…….?
-13=5⨯(-3)+2
(5)整數的大小:
整數的大小(次序)關係具有下列性質:
若a,b,c都是任意整數
(a)三一律:
a>b,a
(b)遞移律:
若a>b且b>c,則a>c。
(c)加法律:
a>b⇔a+c>b+c
(d)乘法律:
c>0且a>b⇔ac>bc,c<0且a>b⇔ac (乙)因數、倍數與質數 (1)整數的除法: 若a,b為整數,則存在唯一的一組整數q,r使得a=bq+r,且0≤r<|b|。 說明: 17=5⨯1+12 17=5⨯2+7 17=5⨯3+2 17=5⨯4+(-3) 對於17與5我們可以找到許多組整數q,r 但如果要求0≤r<|b|,這樣的q,r就只有一組了。 即a=b q+r且0≤r<|b|←(這個條件非常重要) 17=5 3+20≤2<5 其它例子: 13=5⨯2+3,-9=5⨯(-2)+1,-7=-3⨯3+2 當r=0時a=bq,此時我們稱b是a的因數或a是b的倍數或a可被b整除。 符號記為: b|a。 (2)整除的性質: (a)a|a(反身性) (b)a|b且b|c⇒a|c (c)a|b且a|c⇒a|mb+nc,m,n為整數。 Pf: 注意! 設a是異於0的整數,則下列命題是否成立? (3)因數與倍數: (a)設a,b為整數且b|a,我們稱b是a的因數或a是b的倍數。 (b)質數: 若p是大於1的正整數,且p只有1與p本身兩個正因數, 則稱p為質數。 注意: (a)質數中只有2為偶數。 (b)質數有無限多個。 (c)任一質數p的正因數都是_____個,即_________。 (d)pk的正因數個數有_________個,即______________________。 (c)質因數: 若b|a且b為質數,則稱b為a的質因數。 例如: 12的正因數有1,2,3,4,6,12,其中2,3為12的質因數。 (d)倍數的判別: 2的倍數: 末位數字0,2,4,6,85的倍數: 末位數字為0或5 3的倍數: 各位數字和為3的倍數9的倍數: 各位數字和為9的倍數 4的倍數: 末二位數為4的倍數8的倍數: 末三位數為8的倍數 11的倍數: 奇位數字和與偶位數字和的差為11的倍數。 (e)質數的檢驗(篩法): ①設a,b,c為正整數,且a=b⋅c,b>1,c>1, 求證: b,c中至少有一個小於或等於 。 [證明]: 假設b,c均大於 ⇒a=bc> ⋅ =a矛盾! ②設a∈N,a>1,若a不為質數,試證: a必有小於或等於 的質因數。 [證明]: a不為質數,∴可令a=bc,其中b,c為大於1的正整數 根據前面的證明⇒b,c之中至少有一個小於或等於 設b≤ ,根據算術基本定理,可找到一個質數p,p|b b≤ ,∴p≤ 又p|b且b|a⇒p|a。 故a必有小於或等於 的質因數p。 試判別313是否為質數。 (α) =17.□ (β)找小於或等於 的質數: 2,3,5,7,11,13,17 (γ)用2,3,5,7,11,13,17來除 請試判別407是否為質數? (f)標準分解式: 如果n∈N,n>1,且 ,其中p1,p2,…pk為不同的質數, α1,α2,α3….,αk為正整數,這種分解式,稱為n的標準分解式。 [例題1]設a為整數,若(2a-1)|(5a+1)且(a+2)|(5-2a),則求a的值。 Ans: a=1或-3 [例題2]設x,y N,x被7除餘6,y被7除餘5,求 (1)xy被7除餘多少? (2)x+2y被7除於多少? Ans: (1)2 (2)2 [例題3]504=23⨯32⨯71 (1)a N,a|504,a的個數=所有a的和= (2)a Z,a|504,a的個數=所有a的和= (3)a N,a|504,a為3的倍數但a不為7的倍數 a的個數=所有a的和= (4)504正真因數個數=真因數個數= 質因數個數= (5)完全平方正因數個數= 總和= (6)正因數中為2的倍數且與3互質個數= 總和= (練習1)設一個七位數23ab421為99的倍數,求a,b。 Ans: a=2,b=4 (練習2) (1)設a=1260,求a的標準分解式。 (2)設x∈N,若1260⋅x為一自然數的完全平方數,求x的最小值。 Ans: 1260=22⨯32⨯5⨯7,x=35 (練習3)求5292之 (1)標準分解式 (2)正因數個數、總和(3)因數個數、總和(4)質因數個數(5)正因數中完全平方數個數、完全立方數個數(6)正因數中3的倍數的個數。 Ans: (1)22⋅33⋅72 (2)36,15960(3)72,0(4)3(5)8,2(6)27 (練習4)設a,b,c Z若a|bc則a|b或a|c能成立嗎? 若不成立,試舉出一個反例。 (練習5)請判斷命題: 「若a|b+c,則a|b或a|c」是否正確? (提示: 若正確請證明,若不正確請舉反例) (練習6)m,n為自然數,且m>1,若m|35n+28,m|7n+3,則m=。 Ans: m=13 (練習7)設a為整數,若(2a+1)|(3a-3)且(a+3)|(5a+3),則a的值為何? Ans: a=-5,-2,-1,0或1 (練習8)已知k為整數,且 為正整數,則滿足這個條件的k值為何? Ans: k=1,0,-3,-12[提示: 2k-3|k-15] (練習9)試問有多少個正整數n使得 為整數? 。 (A)1個(B)2個(C)3個(D)4個(E)5個 (92學科能力測驗)Ans: (D) (丙)公因數、公倍數與最大公因數、最小公倍數 (1)(最大)公因數、(最小)公倍數: (a)設a,b,c為整數,且a|b、a|c,則稱a為b,c的公因數,b,c公因數中最大 者稱為最大公因數,符號記為: (b,c)。 注意: 若(b,c)=1,則稱b,c互質。 (b)設a,b,c為整數,且b|a、c|a,則稱a為b,c的公倍數,b,c正公倍數中最 小者稱為最小公倍數,符號記為: [b,c]。 (c)設a為b,c的公因數,則a|(b,c)。 (d)設a為b,c的公倍數,則[b,c]|a。 (2)輾轉相除法: 例如: 求38254與60466的最大公因數。 60466=38254⨯1+22212 設a=(60466,38254),b=(38254,22212) 因為a|60466,a|38254⇒a|60466-38254⨯1=22212⇒a|b 因為b|38254,b|22212⇒b|38254⨯1+22212=60466⇒b|a 所以a=b, 被除數(60466)與除數(38254)的最大公因數 =除數(38254)與餘數(22212)的最大公因數。 即(60466,38254)=(38254,22212)。 接下來,將上一次除法的除數、餘數當成下一次除法的被除數與除數,如此一來,便可將過程中的被除數、除數與餘數逐漸變小,而能將38254與60466的最大公因數求出來。 38254=22212⨯1+16042⇒(38254,22212)=(22212,16042) 22212=16042⨯1+6170⇒(22212,16042)=(16042,6170) 16042=6170⨯2+3702⇒(16042,6170)=(6170,3702) 6170=3702⨯1+2468⇒(6170,3702)=(3702,2468) 3702=2468⨯1+1234⇒(3702,2468)=(2468,1234) 2468=1234⨯2+0⇒(2468,1234)=(1234,0)=1234 將上述的過程寫成直式: 原理: 設a,b為整數,b≠0,若b除a所得的商數為q,餘數為r, 即a=bq+r,則(a,b)=(b,r)。 註: 此定理說明了被除數與除數的最大公因數=除數與餘數的最大公因數。 Pf: [例題4]設a,b,q1,q2,q3皆為正整數,且滿足 ,則a,b的最大公因數為。 (86日大社)Ans: 6 [例題5]用輾轉相除法求3431與2397的最大公因數與最小公倍數。 Ans: 47,174981 注意: 設a,b N,且(a,b)=d,則 (1)a=dh,b=dk且(h,k)=1⇒[a,b]=dhk (2)(a,b)[a,b]=ab但(a,b,c) [a,b,c]=a⋅b⋅c不恆成立。 [例題6]設a,b為自然數,且a,b為三位數,若(a,b)=36,[a,b]=540,求a,b的值。 Ans: a=108,b=180。 [例題7]試找一組整數m,n使得3431m+2397n=47。 Ans: m=7,n=-10 最大公因數表現定理: 設a,b都是自然數,若(a,b)=d,則存在整數m,n,使得d=am+bn。 [例題8]如果有一個容量為3公升的桶子,就可以量出3公升、6公升、9公升…的米,但是不能用它量出1公升、2公升、4公升…的米,因為它沒有刻度。 如果有兩個容量分別為5公升,8公升的桶子,雖然都沒有刻度,但是卻可以量出1公升、2公升、3公升…任何整數公升的米,為什麼呢? [例題9]試證明下列因數與倍數的性質: (1)設a,b是整數,p是質數,若p|ab,則p|a或p|b。 (2)設a,b,c是整數,若a|bc,且(a,b)=1,則a|c。 (練習10)若a為大於1000的自然數,且被465除後餘數為30,則a與465的最大公因數為______。 Ans: 15 (練習11) (1)求(5814,6018)=? [5814,6018]=? Ans: 34,171⨯6018 (2)求最大公因數(4176,1566,1856)=? Ans: 58 (練習12) (1)利用輾轉相除法,求(7982,11359)=___________。 (2)由 (1)找出兩個整數α,β,使得7982α+11359β=(7982,11359) Ans: (1)307 (2)α=-3,β=2 (練習13)設有足夠多的5克,7克砝碼兩種,今想在天平的左右兩個盤子裡只放這兩種砝碼,問能夠稱出1克紅豆嗎? 能稱出13克的紅豆嗎? Ans: 可以: 左放4個5克,右放3個7克 (練習14)設a,b為整數且(a,b)=1,證明: (a+b,ab)=1,(a-b,ab)=1。 (練習15)設a,b為自然數,且a Ans: a=504,b=588 (丁)最大公因數與最小公倍數的應用、整數的分類 (1)韓信點兵問題: 例如: 一個整數n除以3餘1,除以5餘2,除以7餘3,試問n的一般式為何? [解法一]: (a)找一個特殊狀況: 先找m1,m2,m3 m1除以3餘1,除以5餘0,除以7餘0⇒取m1= m2除以3餘0,除以5餘1,除以7餘0⇒取m2= m3除以3餘0,除以5餘0,除以7餘1⇒取m3= (b)運用代數運算連結特殊解成為一般解: n=[3,5,7]⋅t+(1⋅m1+2⋅m2+3⋅m3),其中t為整數。 則n除以3餘1,除以5餘2,除以7餘3。 [解法二]: (2)整數的分類: 整數的分類: 整數n可依餘數r分類 1.可分為兩類: 奇數(2k+1),偶數(2k) 2.可分為三類: 3k+1,3k+2,3k 3.可分為四類: 4k+1,4k+2,4k+3,4k ……… [例題10] (1)證明一個完全平方數n被4除之的餘數為0或1。 (2)滿足a2+b2=c2的正整數解a,b,c中,至少有一個是4的倍數。 [例題11]已知西元2002年為壬午年,試問2039年的農曆記年為年。 Ans: 己未 [例題12]小明和小華相約到學校的四百公尺圓形跑道上跑步,他們在同一時間從同一地點朝相反方向開始跑,跑的速度,小明保持每分鐘320公尺,小華保持每分鐘280公尺。 試問: 出發後第________秒,小明與小華會第八次相遇。 Ans: 320(88社會組) (練習16)一自然數n,以7,6,5除之所得餘數依序為5,1,2, 求此自然數的最小值。 Ans: 187 (練習17)40255除以13的餘數為(A)1(B)2(C)4(D)6(E)8Ans: (A)(85學科) (練習18)若所有正整數之平方除以5後,所得餘數之集合為_____。 Ans: {0,1,4} 若所有正整數之平方除以6後,所得餘數之集合為______。 Ans: {0,1,3,4} 若所有正整數之平方除以7後,所得餘數之集合為_____。 Ans: {0,1,2,4} 若所有正整數之平方除以8後,所得餘數之集合為_____。 Ans: {0,1,4} (練習19) (1)形如3n+2的整數不可能是完全平方數。 (2)滿足a2+b2=c2的正整數解a,b,c中,至少有一個是3的倍數。 (練習20)設n是整數,試證: 若n2為3的倍數,則n為3的倍數。 (練習21)天干地支記日是分別以甲子、乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、丁丑、…癸亥、六十天為一週期循環記日,已知民國89年7月3日為壬戌日,那麼推算民國90年1月1日以天干地支記是日。 Ans: 甲子(89社會組) (練習22)已知西元1987年為丁卯年,試問西元1942年為年。 Ans: 壬午年 [例題13]試求整數n使得n4-6n2+25為一質數,求此質數。 Ans: 17 [例題14]設n為自然數,且 亦為自然數,則n=? Ans: n=26或10 (練習23)設x為自然數,且 亦為自然數,則x=? Ans: x=11 (練習24)a,b為整數,且a(b+2)=b,且a>1,則請問數對(a,b)=? Ans: (a,b)=(2,-4)、(3,-3) (練習25)設p=(a2-22a+121)(a2-2a+137),其中a為正整數,若p是質數, 則p=? Ans: p=257 綜合練習 (1)下列那些數是3的倍數? (A)313-283(B)113+163(C)74234(D)998866(E)345678945。 (2)下列哪些數是9的倍數? (A)247023846(B)645⨯7329(C)3101(D)9863+8143(E)1090+1(79社) (3)若六位數12a49b為36的倍數,則數對(a,b)=? (4)下列何者是2100除以10的餘數(A)0(B)2(C)4(D)6(E)8(88學科) (5)求(234793)126被7除之的餘數。 (6)試求(a)(14963)5270乘開後的個位數字。 (b)(1990)100被7除之的餘數。 (7)已知「偶數的平方是4的倍數,奇數的平方除以4餘數為1」,考慮5個數: 513,226,216,154,145;試問下列何者可以和上述五數中的某一個數相加成為完全平方數? (A)513(B)226(C)216(D)154(E)145(87學科) (8)古代的足球運動,有一種計分法,規定踢進一球得16分,犯規後的罰踢, 進一球得6分。 請問下列哪些得分數有可能在計分板上出現? (A)26(B)28(C)82(D)103(E)284(90學科) (9)設a為整數,若2a-1|5a+1,a+2|5-2a,則a的值為何? (10)設a為整數,試證明an+1與a互質,對於所有的整數n都成立。 (11)2160的正因數有個,真因數有個 ,質因數有個,正因數之和=。 (12)若m及 均為自然數,則滿足此條件之m有個。 (13)若正整數a,b,q,r滿足a=bq+r且令(a,b)表示a與b的最大公因數,則下列選項何者為真? (A)(a,b)=(b,r)(B)(a,b)=(q,r)(C)(a,q)=(b,r)(D)(a,q)=(q,r)(E)(a,r)=(b,q) (90學科) (14)求(a)(7242,3195)=? (b)[693,45,77]=? (15)試求1134與918的正公因數個數。 (16)(a)利用輾轉相除法求4176與1566之最大公因數。 (b)求一組整數x,y使得1566x+4176y=(4176,1566)。 (c)求1566及4176的正公因數的個數。 (17)公元2000年是閏年的1月1日是星期六。 試問下一個1月1日也是星期六,發生在公元哪一年? (89學科) (18)設a,b為自然數且a>b,若a-b=30且[a,b]=225,則數對(a,b)=? (19)設a,b為正整數且a>b,a+b=1092,a,b之最小公倍數為3528,求a,b之值。 (20)有一長方形木板,長105公尺,寬28公尺。 若欲將此木板切成幾個一樣大之長方形木板,且不准剩下,如果要求這些正方形木板有最大面積,試問應如何切,可切成幾塊? (21)甲乙丙三人,同時同地同方向繞一周長為1800公尺的圓形水池而走,設甲每分鐘走90公尺,乙每分鐘走100公尺,丙每分鐘走120公尺,則在幾分鐘之後三人會於原出發點會合? (22) 某恆星系統中有甲、乙兩行星。 假設兩者公轉軌道在同一平面上,且為以恆星為圓心的同心圓。 某時,甲行星在恆星與乙行星之間而成一直線。 今在該平面上設定一座標系如下圖。 已知兩行星皆以逆時針方向運行,且公轉之週期為2: 7。 試問下一次甲行星再度在恆星與乙行星之間而成一直線時, 應該是下面哪一種狀況? (A)行星在第一象限(B)行星在第二象限 (C)行星在第三象限(D)行星在四象限(E)行星在正x軸上 (89年自然組) (23)求滿足xy=6(y-x)之整數x,y有幾組。 (24)求滿足 之整數x,y有幾組。 進階問題 (25)設100≤n≤500,則滿足「n2除以7餘2」的n有幾個? (26)設n為正奇數,試證明n4+4n2+11恆為16的倍數。 (27)試證明對於自然數k,若2k-1為質數,則k必為質數。 (逆命題不成立,反例是211-1=23⨯89) (28)若n為整數,n4-6n2+25為質數,求n之值。 (29)設a為自然數,且a|99000、25|a、且9不是a的因數,則a共有幾組解。 (30)設n是自然數,求使得9|23n+7成立的最小自然數n=? (31)設a,b,c為正整數,且6a+21b=20c,3a-7b+4c=0,(a,b,c)+[a,b,c]=3025,試求a,b,c之值。 (32)求含有12個正因數的自然數中,最小值是多少? (33)求證: 在11,111,1111,…, 沒有完全平方數。 綜合練習解答 (1)(A)(B)(E) (2)(A)(B)(C)(D) (3)(0,2)、(9,2)或(5,6) (4)(D) (5)1 (6)(a)9(b)2 (7)(A)(C)(E) (8)(B)(C)(E) (9)a=1,-3 (10)提示: 可考慮輾轉相除法原理。 (11)40,38,3,7440 (12)24 (13)(A)(D) (14)(a)213,(b)3465 (15)8個 (16)(a)522(b)x=3,y=-1(答案不只一組)(c)12 (17)2005年 (18)(a,b)=(75,45) (19)a=588,b=504 (20)7,60 (21)180分鐘 (22)(B) (23)18組 (24)(2,8)(3,3)(5,2) (25)115 (26)提示: 設n=2k+1,k為整數,n4+4n2+11=(n2+2)2+7=[4k(k+1)+3]2+7 (27)提示: 利用反證法,令n=pq,其中p,q皆為大於1的正整數,再代入2n-1的值,證明它不為質數。 (28)2,-2(提示: n4-6n2+25=(n2+5)2-16n2=(n2+5+4n)(n2+5-4n) (29)32 (30)5 (31)a=200,b=300,c=375(先求出a: b: c) (32)60(提示: 用力去湊這個數) (33)考慮這些數被4除的餘數,再運用例題11的結果)
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