九年级数学讲义.docx
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九年级数学讲义
九年级数学上册讲义
一、特殊的平行四边形
考点一:
直角三角形斜边上的中线的性质
1.如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BD平分∠ABC,P是BD的中点,若AD=6,则CP的长为()
A.3B.3.5C.4D.4.5
2.如图2,平行四边形ABCD中,AC⊥BC,E为AB的中点.若CE=2,则CD=()
A.2B.3C.4D.5
总结:
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.
考点二:
特殊的平行四边形
1.如图3,在菱形ABCD中,AB=5,∠BCD=120°,则△ABC的周长等于()
A.20B.15C.10D.5
2.如图4,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE⊥AB,垂足为E,若∠ADC=130°,则∠AOE的大小为()
A.75°B.65°C.55°D.50°
3.如图5,在菱形ABCD中,∠A=110°,E,F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠FPC=()
A.35°B.45°C.50°D.55°
【课堂练】4.如图6,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为______.
如图7,在菱形
ABCD中,∠ABC=60°,E为AB的中点,P为对角线BD上一点,AB=4,PA+PE的最小值为(
)
A.4
B.2
C.
23
D.
33
如图8,在菱形
ABCD的边长是
6,∠ABC=60°,点E、F、G是BC、CD、BD上的任意一点,则
EG+FG的最小
值是(
)
A.
33
B.2
C.
23D.6
【课堂练】
7.如图9,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD,AC于点E,O,连接CE,则CE
的长为()
A.3.5B.3C.2.8D.2.5
1
【课堂练】8.如图10,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF中点,则AM的最小值为().A.3B.2.4C.4D.4.8
9.如图11,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是BC边上一点,连接AE,把∠B沿AE折叠,使点B落在点B′处,当△CEB′为直角三角形时,BE的长为________.
10.如图12,在矩形ABCD中,AB=20,BC=10,若M、N分别是线段AC、AB上的两个动点,则BM+MN的最小值为______.
【课堂练】11.在□ABCD中,AB=10,BC=14,E、F分别为边BC、AD上的点,若四边形AECF为正方形,则AE
的长为()A.7B.4或10C.5或9D.6或8
【课堂练】12.如图13,在矩形ABCD中,AD=2AB,点M、N分别在AD、BC上,连接BM、DN.若四边形MBND是
AM
3
2
3
4
菱形,则MD等于(
)A.
8
B.
3C.
5
D.
5
13.如图14,边长分别为4和8的两个正方形
ABCD和CEFG并排放在一起,连结
BD并延长交EG于点T,交
FG于点P,则GT=(
)A.
2
B.
22
C.2
D.1
【课堂练】14.如图
15,边长为
6
的大正方形中有两个小正方形
.若两个小正方形的面积分别为
S1,S2,则
S1+S2的值为(
)A.16B.17
C.18
D.19
【课堂练】15.如图16,E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点,且BE=BC,P为CE上任意一点,
PQ⊥BC于点Q,PR⊥BE于点R,则PQ+PR的值是()
A.B.C.D.
2
考点三特殊的平行四边形的判定
【课堂练】1.如图,在平行四边形ABCD中,AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线.添加一个条件,仍无法判断四边形AECF为菱形的是()
A.AE=AFB.EF⊥ACC.∠B=60°D.AC是∠EAF的平分线
2.如图,AB=AC,AD=AE,DE=BC,且∠BAD=∠CAE,求证:
四边形BCDE是矩形.
3.如图,已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点,且△ACE是等边三角形.
求证:
四边形ABCD是菱形;
(2)若∠AED=2∠EAD,求证四边形ABCD是正方形.
4.如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的角平分线于点E,交∠BCA的外角∠ACD平分线于点F.
(1)试说明EO=FO;
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?
并说明理由.
(3)当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?
并说明理由.
考点四探究问题
3
1如图
(1),在Rt△ABC,∠ACB=90°,分别以AB、BC为一边向外作正方形ABFG、BCED,连结AD、CF,AD与CF交于点M.
(1)求证:
△ABD≌△FBC;
(2)如图
(2),已知AD=6,求四边形AFDC的面积;
(3)在△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,当∠ACB≠90°时,c2≠a2+b2.在任意△ABC中,c2=a2+b2+k.就a=3,
b=2的情形,探究k的取值范围(只需写出你得到的结论即可).
2.
(1)请在图①中,作出两条直线,使它们将圆面四等分;
(2)如图②,M是正方形ABCD内一定点,请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M),使
它们将正方形ABCD的面积四等分,并说明理由。
问题解决:
【有难度】(3)如图③,在四边形ABCD中,AB//CD,AB+CD=BC,点P是AD的中点,如果AB=a,CD=b,且ba,
那么在边BC上是否存在一点Q,使PQ所在的直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分?
若存在,求出BQ
的长;若不存在,说明理由.
第二章一元二次方程
4
考点一一元二次方程的概念及方程的解
1.下列方程中是关于x的一元二次方程的有____(填序号)
①ax2=3
②ax2+bx+c=0③(a2+1)x2—3x+1=0
④1
x=1⑤(x+2)2-3x=x(x-1)
警示:
什么是一元二次方程?
必须满足三个条件.
x
2.
关于x的方程mx2+3x-4=3x2是一元二次方程,则
m的取值范围是____.
3.
若x=2是关于x的一元二次方程x2-mx+8=0的一个解,则
m的值是____.
警示:
上面两题无难度,问题是会算能算对不?
考点二
一元二次方程的解法
1.
解下列方程:
①2x2-18=0②9x2-12x-1=0③x2+12=7x
④2(5x-1)2=3(5x-1),比较简便的方法是()
A.依次为:
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
B.依次为:
因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法
C.①直接开平方法②③用公式法④用因式分解法
D.①用直接开平方法②用公式法③④用因式分解法
2.关于x的两个方程x2-x-2=0与12有一个解相同,则a=____.
x1xa
3.解方程
(1)x2-2x-1=0
(2)(2x-1)2=x(3x+2)-7
考点三
一元二次方程的判别式
1.已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有实数根,则
a的取值范围是(
)
A.a>2
B.a≤2C.a
≥2D.a
≤2且a≠1
2.有两个一元二次方程:
M:
ax2
bx
c
0N:
cx2
bx
a
0,其中ac
0,以下列四个结论中,错
误的是(
)
A.如果方程M有两个不相等的实数根,那么方程
N也有两个不相等的实数根;
B.如果方程M有两根符号相同,那么方程
N的两根符号也相同;
C.如果5是方程M的一个根,那么
1是方程N的一个根;
5
x
1
D.如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是
考点四
一元二次方程根与系数的关系
1.
设x1
、x2是一元二次方程x2
5x
10
的两实数根,则
x2
x
2的值为
.
1
2
2.已知关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两根分别为α、β,且α2+β2=7,则(α-β)2的值是____.
考点五一元二次方程的应用
1.某商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,
使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率.
2.
有一人患了流感,
经过两轮传染后共有
100人患了流感,那么每轮传染中平均一个人传染的人数为
(
)
A.8人B.9人
C.10人
D.11人
3.
利用一面墙(墙的长度不限),另三边用
58m长的篱笆围成一个面积为
200m2的矩形场地.求矩形的长和
宽.
5
4.
(1)如图,在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要551米,则修建的路宽应为多少米?
※【课堂练】
(2)要在一块长52m,宽48m的矩形绿地上,修建同样宽的两条互相垂直的甬路.下面分别是小亮和小颖的设计方案.
①求小亮设计方案中甬路的宽度x;
②求小颖设计方案中四块绿地的总面积(友情提示:
小颖设计方案中的与小亮设计方案中的取值相同)
5.如图所示,已知在△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm,点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的
速度移动,点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s
的速度移动.
①如果Q、P分别从A、B两点出发,那么几秒后,△
PBQ的面积等于
8cm2
?
②在①中,△PBQ的面积能否等于10cm2?
试说明理由.
6.
(1)某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是30元,根据市场调查,在一段
时间内,销售单价是40元时,销售量是600件,而销售单价每涨1元,就会少售出10
6
件玩具,若商场要获得10000元销售利润,还要让顾客得到实惠,求该玩具销售单价x应定为多少元?
【课堂练】
(2)某服饰店,平均每天可销售20件,每件盈利44元,在每件降价幅度不超过10元的情况下,若每件降价1元,则每天可多售出5件,如果每天要盈利1600元,每件应降价多少元?
三、概率的进一步认识
(
考点一用树状图或表格求概率
1.从2,3,4,5这四个数字中,任意抽出两个不同数字组成一个两位数,则这个数字能被3整除的概率是___.
2.在一个暗箱中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球(除颜色外其余均相同).其中白球、黄球各2个,若从
中任意摸出一个球是白球的概率是1,则红球有____个.
3
【课堂练】3.甲、乙两人用手指玩游戏。
规则如下:
ⅰ)每次游戏时,两人同时随机地各伸出一根手指;ⅱ)两人伸出的手指中,大拇指只胜食指、食指只胜中指、中指只胜无名指、无名指只胜小指、小指只胜大拇指,
否则不分胜负.依据上述规则,当甲、乙两人同时随机地各伸出一根手指时,
(1)求甲伸出小拇指取胜的概率
(2)求乙取胜的概率.
考点二游戏公平性问题
(2013.杭州)某班有50位学生,每位学生都有一个序号,将50张编有学生序号(从1号到50号)的卡片
(除序号不同外其它均相同打乱顺序重新排列,从中任意抽取1张卡片
(1)在序号中,是20的倍数的有:
20,40,能整除20的有:
1,2,4,5,10(为了不重复计数,20只计
一次),求取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率;
(2)若规定:
取到的卡片上序号是k(k是满足1≤k≤50的整数),则序号是k的倍数或能整除k(不重复
计数)的学生能参加某项活动,这一规定是否公平?
请说明理由;
(3)请你设计一个规定,能公平地选出10位学生参加某项活动,并说明你的规定是符合要求的.
考点三用频率估计概率
一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球,这些小球分别标有数字3、4、5、x.甲、乙两人每
7
次同时从袋中各随机摸出1个球,并计算摸出的这2个小球上数字之和,记录后都将小球放回袋中搅匀,进行重复实验.实验数据如下表:
解答下列问题:
(1)如果实验继续进行下去,根据上表数据,出现“和为8”的频率将稳定在它的概率附近.估计出现“和
为8”的概率是____;
(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是1,那么x的值可以取7吗?
请用列表法或画树状图
3
法说明理由;如果x的值不可以取7,请写出一个符合要求的x值(以上答案均精确到0.01).
第四章
图形的相似
考点一
成比例线段
1.
下列各组线段(单位:
cm)中,是成比例线段的是(
)
A.1,2,3,4
B.1
,2,2,4C.3
,5,9,13
D.1
,2,2,3
2.
若x
3,则x
y=_____.
y
4
x
3.
若a
b
c,则
2a
b
3c
=____.
5
7
9
a
b
2c
考点二比例的基本性质
☆☆【课堂练】1.若k=
a
b
c
,则y=kx+3一定经过的象限是第(
)象限.
bcacab
A.一、二B.一、三C.二、四D.一、三、四
思考:
你是否忘了要分类讨论?
【课堂练】2.若2mn
1,则m
_______.
n
3
n
考点三
平行线分线段成比例
1.如图,已知l1∥l2∥l3
,AB
m,则DE
_____.
BC
n
DF
2.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥CD,求证:
AD是AB和AF的比例中
项.
8
3.如图,AC∥BD,AD,BC相交于点E,EF∥BD.求证:
111.
ACBDEF
考点四
相似多边形
【课堂练】1.下列图形中一定相似的是(
)
A.有一个角相等的两个平行四边形B.
有一个角相等的两个等腰梯形
C.有一个角相等的菱形
D.
有一组邻边对应成比例的两个平行四边形
警示:
多边形相似必须同时满足:
对应角相等,对应边成比例这两个条件,缺一不可
.
所有的正多边形都相似.
【课堂练】2.如图,已知矩形
ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折叠,使
B点落在AD
上的F点,若四边形
EFDC与矩形ABCD相似,则AD=_____.
※3.(2014浙江绍兴)把标准纸一次又一次对开,可以得到均相似的“开纸”.现在我们在长为22、宽为
1的矩形纸片中,画两个小矩形,使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行,或小矩形的边在原矩形的边上,且每个小矩形均与原矩形纸相似,然后将它们剪下,则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值
是________.
思考:
关键在于怎样折叠两个小矩形的长和宽才能最大?
考点五黄金分割
【课堂练】已知点
C和点D是线段AB的黄金分割点,且线段
AB的长是方程x2
4x10的根,求线段CD
的长.
☆☆考点六相似三角形的性质与判定
1.如图1,四边形ABCD是菱形,对角线AC=8cm,BD=6cm,DH⊥AB于点H,且DH与AC交于G,则GH=_____.
2.
(1)如图2,E为矩形ABCD的边CD延长线上一点,BE交AD于G,AF⊥BE于F,图中相似的三角形的对数是()A.6B.8C.9D.10
【课堂练】
(2)如图3,在?
ABCD中,E、F分别是AD、CD边上的点,连接BE、AF,他们相交于G,延长BE
交CD的延长线于点H,则图中的相似三角形共有()
9
A.2对B.3对C.4对D.5对
☆☆【课堂练】3.如图
4,在△ABC中
D、E
分别是AB、BC上的一点,且DE∥AC,若
△
:
△
1:
4,则△
:
△
()A.1:
16
B.1:
18C.1:
20D.1:
24
SBDESCDE
SBDES
ACD
【课堂练】4.如图5,四边形ABCD和四边形BEFD都是矩形,且点C恰好在EF上.若AB=1,AD=2,则S△BCE为(
)
A.1
B.
2
5
2
D.
4
C.
3
5
5
5.
(1)如图6,在平面直角坐标系中,A(0,4),B(2,0),点C在第一象限,若以A、B、C为顶点的三角形与△
AOB相似(不包括全等),则点C的个数是()A.1B.2C.3D.4
【课堂练】
(2)如图7,矩形ABCD,AD=a,AB=b,要使BC边上至少存在一点P,使△ABP,△APD,△CDP两两相似,则a,b间的关系式一定满足()
A.a≥1bB.a≥bC.a≥3bD.a≥2b
22
(3)如图8所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,点P为AB边上一动点,
若△PAD与△PBC是相似三角形,则满足条件的点P的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.4个
(4)如图9,在△ABC中,P是AB上的动点(P异于A、B),过点P的直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线,简记为P(lx)(x为自然数).如图,∠C=90°,
∠B=30°,当=BP时,P(lx)截得的三角形面积为△ABC面积的1.
BA4
6.如图,已知AB⊥BD,CD
⊥BD.
10
(1)若AB=9,CD=4,BD=10,请问在
BD上是否存在P点,使以P、A、B三点为顶点的三角形与以
P、C、D
三点为顶点的三角形相似?
若存在,求
BP的长;若不存在,请说明理由;
(2)若AB=9,CD=4,BD=12,请问在BD上存在多少个
P点,使以P、A、B三点为顶点的三角形与以
P、C、
D三点为顶点的三角形相似?
并求
BP的长;
(3)若AB=9,CD=4,BD=15,请问在BD上存在多少个
P点,使以P、A、B三点为顶点的三角形与以
P、C、
D三点为顶点的三角形相似?
并求
BP的长;
(4)若AB=m,CD=n,BD=l,请问m,n,l满足什么关系时,存在以
P、A、B三点为顶点的三角形与以
P、C、
D三点为顶点的三角形相似的一个
P点?
两个P点?
三个P点?
考点七相似三角形的应用问题
1.如图所示,这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌
面后,在地面上形成阴影(圆形)的示意图.已知桌面的直径为
1.2m,桌面距离地面
1m,若灯泡距离地面
3m,
则地面上阴影部分的面积为(
2
2
2
2
)A.0.36πmB.0.81
πmC.2
πmD.3.24
πm
2.小明想利用太阳光测量楼高,他带着皮尺来到一栋楼下,发现对面墙上有这栋楼的影子,针对这种情
况,他设计了一种测量方案,具体测量情况如下:
如图,小明边移动边观察,发现站到E处时,可以使
自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠,且高度恰好相同。
此时,测得小明落在墙上的影子
高度CD=1.2m,CE=0.8m,CA=30m(总A、E、C在同一直线上).已知小明的身高EF是1.7m,请你帮小
明求出楼高AB(结
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