应力状态与应变状态分析.docx
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应力状态与应变状态分析
第8章典型习题解析
1.试画出下图所示简支梁A点处的原始单元体。
图8.1
解:
(1)原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算,因此应选取
如下三对平面:
A点左右侧的横截面,此对截面上的应力可直接计算得到;与梁
xy
平面平
行的一对平面,其中靠前的平面是自由表面,所以该对平面应力均为零。
再取
A点偏上和
偏下的一对与
xz
平行的平面。
截取出的单元体如图
(d)所示。
(2)分析单元体各面上的应力
:
A点偏右横截面的正应力和切应力如图(b)、(c)所示,将A点的坐标x、y代入正应力
和切应力公式得A点单元体左右侧面的应力为:
M
y
QSz*
Iz
Izb
由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力;前后边面为自由表面,应力为零。
在单元体各面上画上应力,得到A点单元体如图(d)。
2.图(a)所示的单元体,试求
(1)图示斜截面上的应力;
(2)主方向和主应力,画出主单元体;(3)主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力,并画出该单元体。
解:
(1)求斜截面上的正应力-30和切应力-30
由公式
30
50
100
50100cos(
60)(60)sin(
60)64.5MPa
2
2
30
50
100sin(60)
(60)cos(60)
34.95MPa
2
(2)求主方向及主应力
tan2
2
x
120
0.8
50
100
2
38.66
x
y
1
19.33
2
70.67
最大主应力在第一象限中,对应的角度为
0
70.67
,主应力的大小为
1
-50+100+-50-100cos(2
70.67)(
60)sin(2
70.67)121.0MPa
2
2
由
1+
2=x
y
可解出
2
x
y-
(
50)
100
(121.0)
71.0MPa
1
因有一个为零的主应力,因此
3=71.0MPa(第三主方向3=19.33)
画出主单元体如图8.2(b)。
(3)主切应力作用面的法线方向
tan2
50
100
1.25
120
2
51.34
1
25.67
2
115.67
主切应力为
'
1
50100sin(51.34)(60)cos(51.34)96.04MPa
'
2
2
此两截面上的正应力为
1
2
50
100
50
100cos(51.34)
(
60)sin(51.34)25.0MPa
2
2
50
100
50
100cos(231.34)
(
60)sin(231.34)25.0MPa
2
2
主切应力单元体如图所示。
由
25.025.050MPaxy
1
2
,可以验证上述结果的正确性。
3.试用图形解析法,重解例2。
解:
(1)画应力圆
建立比例尺,画坐标轴、。
对图(a)所示单元体,在
平面上画出代表
x、x的点A(-50,-60)和代表
y、y的点B(100,60)。
连接A、B,与水平轴
交于C点,以C点为圆心,CB(或CA)
为半径,作应力圆如图所示.
(2)斜截面上的应力
在应力圆上自A点顺时针转过60,到达G点。
G点在、坐标系内的坐标即为该斜
截面上的应力,从应力圆上可直接用比例尺测量或计算得到G点的水平和垂直坐标值:
64.5MPa
τα=34.95MPa
(3)主方向、主应力及主单元体
图所示应力圆图上H点横坐标OH为第一主应力,即
1OH121.04MPa
K点的横坐标OK为第三主应力,即
3OK71.04MPa
由应力圆图上可以看出,由B点顺时针转过20为第一主方向,在单元体上则为由y
轴顺时针转0,且
2038.66,019.33
应力圆图上由A顺时针转到K点(ACK38.66),则在单元体上由x轴顺时针转
过19.33为第三主方向,画出主单元体仍如图(b)所示。
(4)主切应力作用面的位置及其上的应力
图所示应力圆上N、P点分别表示主切应力作用面的相对方位及其上的应力。
在应力圆上由B到N,逆时针转过51.34,单元体上max作用面的外法线方向为由y
轴逆时针转过25.67,且
max
min
CB96.04MPa
max和min作用面上的正应力均为
25MPa,主切应力作用面的单元体仍如图
(c)所示。
4.如图所示两端封闭的薄壁筒同时承受内压强
p和外力矩m的作用。
在圆筒表面a点用应
变仪测出与x轴分别成正负45方向两个微小线段
ab和ac的的应变45=629.4×10–6,–45
=-66.9×10–6,试求压强P和外力矩m。
已知薄壁筒的平均直径
d=200mm,厚度t=10mm,
E=200GPa,泊松比
=0.25。
解:
(1)a点为平面应力状态,在a点取出如图(c)所示的原始单元体,其上应力:
x
pd,
y
pd,
x
2m
4t
2t
d2t
(2)求图8.4(c)
斜单元体efgh各面上的正应力:
x
y
45
2
x
x
y
45
2
x
3pd
2m
8
t
d2t
3
pd
2m
8
t
d2t
(3)利用胡克定律,列出应变45、–45表达式
1
45
E
45
45
=
1
45
45
45
E
将给定数据代入上式
1
3pd
1
2m
1
E
8
t
d2t
1
3
pd
1
-2m
1
E
8
t
d2t
629.410
66.910
6
1
3
p
200
2m
106
1.25
200
103
8
0.75
2002
10
10
6
1
103
3
p
2000.75
2m
106
1.25
200
8
10
2002
10
得内压强和外力矩
p=10MPa,m=35kNm
5.直径d=20mm、L=2m的圆截面杆,受力如图。
试绘杆件中A点和B点的单元体受力图,
算出单元体上的应力的数值,并确定这些点是否为危险点。
(d)
(a)(b)(c)
解:
以下图为图各单元体受力图:
A点
A点
(b)
(a)
A点B点
(c)
A点
B点
(d)
应力计算:
图(a)的A点:
N
63.69MPa
A
80
50.96MPa
图(b)的A点:
d3
16
图(c)的A点:
N
127.38MPa
A
B点:
N
80
50.96MPa
127.38MP
A
a
d
3
16
图(d)中A点(压应力):
M
1
20103
25.48MPa
Wz
3
)
3
3.14(2010
32
B点:
QS*z
4Q
0.17MPa
Izb
3A
(b)中的A为危险点,(c)中的A、B为危险点,(d)中的A,B点均为危险点,相比
之下A点的应力较大。
6.已知应力状态如图所示(应力单位:
MPa)。
试用图解法求:
(1)(a)、(b)中指定斜截面上的应力;并用解析法校核之;
(2)(c)、(d)、(e)上主应力的大小与方向,在单元体上画出主平面的位置,求最大切
应力。
(a)300斜截面单元本;(b)450斜截面单元体;(c)纯切应力单元体;(d)压拉切单元体
(e)拉压切单元体。
解:
(a)按比例画出应力圆如下图,可得α=300的斜截面的正应力和切应力为E点的坐标为
3045MPa308.5MPa
解析法校核:
x
y
x
ycos2
xsin2
30
50
5030cos6045MPa
2
2
2
2
x
y
sin2
xcos2
5030
3
53
8.5MPa
2
2
2
(b)用比例画出应力圆,E点的坐标为
455MPa4525MPa
τ
E
2X
OC
Y
解析法校核:
y
x
y
x
ycos2
xsin2
50
50cos9020sin905MPa
2
2
2
2
x
y
sin2
xcos2
50sin90
25MPa
2
2
(c)应力圆如下图,与σ轴的交点即为主应力的对应点,从应力圆上可按比例直接量得
两个主应力之值分别为:
1OA150MPa,20,3OA250MPa
主平面的方位可由应力圆上量得,因
2D1OA190
最大主应力作用面与x平面之夹角为(从D1到A1是顺时针转的):
45
最大切力;
1
3
50MPa
max
2
(d)应力圆与σ轴的交点即为主应力得应点,从应力图上可按比例直接量得两个主应
力之值分别为:
1
2
OA
OA
170MPa
230MPa,30
最大主应力作用面与x平面之夹角为(可由应力圆上得):
2FCA19045
最大切力maxCF20MPa
(e)应力圆与σ轴的交点即为主应力的对应点,从应力圆上可按比例直接量得两个主应
力之值分别为
1OA144.7MPa3OA244.7MPa
主平面的方位,可由应力圆上量得:
226.513.2
(对应于主应力σ1所在主平面)
最大切力max40MPa
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- 应力 状态 应变 分析