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概率计算方法
概率计算方法
在新课标实施以来,中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查,体现了“学以致用”
这一理念•计算简单事件发生的概率是重点,现对概率计算方法阐述如下:
一.公式法
P(随机事件)=随机事件可能出现的结果数.其中P(必然事件)=1,p(不可能事件)
随机事件所有可能出现的结果数
=0;0
例1(07河北)图1中每一个标有数字的方块均是可以翻动的木牌,其中
只有两块木牌的背面贴有中奖标志,则随机翻动一块木牌中奖的概率为
.图i
解析:
本题考查用公式法求概率,在随机翻动木牌过程中,一共有6种可能的翻牌结果,其中
21
有2种为中奖,所以P(中奖)=--.
63
答:
蓝球有1个
(2)树状图如下:
两次摸到都是白
球的概率=—1
126
说明:
解有关的概率问题首先弄清:
①需要关注的是发生哪个或哪些结果•②无论哪种都是机会均等的.本题是考查用树状图来求概率的方法,这种方法比较直观,把所有可能的结果都—一—罗列出来,便于计算结果.
四.列表法
例4(07山西)如图3,有四张编号为1,2,3,4的卡片,卡片的背面完全相同.现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上.
(1)从中随机抽取一张,抽到的卡片是眼睛的概率是多少?
(2)从四张卡片中随机抽取一张贴在如图4所示的大头娃娃的左眼处,然后再随机抽取一
张贴在大头娃娃的右眼处,用树状图或列表法求贴法正确的概率.
解析:
(i)所求概率是2!
.
42
⑵解法一(树形图):
第一次抽取
第二次抽取
共有12种可能的结果(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),
(4,1),(4,2),(4,3).其中只有两种结果(1,2)和(2,1)是符合条件的,所以贴法正确的概率1
21
是-!
.
126
解法二(列表法):
7第1次摸出1张第2次摸出*1张
1
2
3
4
1
(2,1)
(3,1)
(4,1)
2
(1,2)
(3,2)
(4,2)
3
(1,3)
(2,3)
(4,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
共有12种可能的结果(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),
(4,1),(4,2),(4,3).其中只有两种结果(1,2)和(2,1)是符合条件的,所以贴法正确的概率
21
是一-.
126
评注:
本题考查学生对用树状图或列表法求概率的掌握情况,用树状图法或列表法列举出的
结果一目了然,当事件要经过多次步骤(三步以上)完成时,用这两种方法求事件的概率很有
概率计算
一个20面体,每个面都是等边三角形,如果截去所有的顶角,它将成为多少
面体?
共有多少个顶点?
共有多少条棱?
4面体将由4面变成8面;由4个顶点变成12个顶点;由6条棱变成18条棱。
6面体将由6面变成14面;由8个顶点变成32个顶点;由12条棱变成36条棱。
面:
20+12=32
顶点12变12X3=36
棱:
30变12X3+30=66
上面的计算方法不对吧,参考以下计算:
面
体
顶点
条棱
4
2*(4-2)=4
3*(4-2)=6
5
2*(5-2)=6
3*(5-2)=9
6
2*(6-2)=8
3*(6-2)=1
2
7
2*(7-2)=1
0
3*(7-2)=1
5
8
2*(8-2)=1
2
3*(8-2)=1
8
n
2*(n-2)
3*(n-2)
20
2*(20-2)=
36
3*(20-2)=
54
每截去一个顶角(顶角数量=顶点数量),增加一个面;
一个20面体截去所有顶角(顶角数量=顶点数量),即增加36个面;
面体
顶点
条棱
20+36=
2*(56-2)=1
3*(56-2)=1
56
08
62
全概率公式
即例已如某事件A是有B,C,D三种因素造成的,求这一事件发生的概率
p(A)=p(A/B)p(B)+p(A/C)p(C)+p(A/D)p(D)
其中p(A/B)叫条件概率,即:
在B发生的情况下,A发生的概率
柏努力公式
是用以求某事件已经发生,求其是哪种因素的概率造成的
好以上例中已知A事件发生了,用柏努力公式可以求得是B因素造成的概率是多
大,C因素,D因素同样也求.
古典概型P(A)=A包含的基本事件数/基本事件总数
几何概型P(A)=A面积/总的面积
条件概率P(A|B)=Nab/Nb=P(AB)/P(B)=AB包含的基本事件数/B包含的基本事件
数
相对独立事件P(A*B)=P(A)*P(B)事件A发生与事件B的发生没有关系
独立重复事件P=C(n,k)P(k次方)(1-p)(n-k次方)
【本讲教育信息】
1.教学内容:
概率计算
2.重点、难点:
满足条件丿的可能
1.古典概型
2.A、B互斥,则;,:
J---
3.A的对立事件,「-L;|-
4.A、B独立,^y一二「
【典型例题】
[例2]4封不同的信,随机投入
3个信箱,试求三个信箱均不空的概率。
[例1]从5双不同的鞋中任取四只,求至少配成一双的概率。
白球4个。
k次取得红球的概率。
[例3]某袋中有大小相同的红球2个,
(1)甲每次取一个不放回,恰在第
(2)甲一次取两个同色的概率。
(3)甲每次取一个不放回,在第三次首次取到红球的概率。
[例4]从52张扑克牌中任取5张。
(1)5张同花的概率;
(2)5张顺子的概率;
(3)5张同花顺的概率;
(4)5张中有四张点数相同的概率;
(5)
5张中有花色齐全的概率。
解:
[例5]
(1)掷一枚骰子三次之和为10的概率。
解:
有序,所有可能■'满足条件-'
[例6]10个外表相同的小球,其中8个为a克,2个为b克现从10球中取3个
放在一端,再从余下的7个中取3个放在另一端,则天平平衡的概率是多少?
平衡:
①九
尸⑷」:
常十C农鳶
②二-'''J';'
解:
总数1-■
[例7]有三个电器件「、T2、T3正常工作的概率分别为0.7,0.8,0.9,将其中某两个并联
后再与第三个串联,求使电路不发生故障的概率最大值。
A.T1T2并联B.T2T3并联C.T1T3并联
F(5)=[1-F^)]PC?
I)=0.686
P(C)=[1-F(7;7;)]F(7;)=0.776
•••TlT2并联,再与T3串联,不发生故障概率最大。
[例8]某射击手,射击一次击中目标的概率为0.8,他连续射击三次。
(1)全部击中的概率
(2)击中目标的概率
(3)恰有一次击中目标的概率
解:
三次射击击中的事件依次为Ai、AA
(1)=
(2)均不击中
尸(目)=1-产0)=0992
(3)
[例9]如图所示,为某电路图方框内数字表示该处元件烧断的概率,假设各元件正常工作,相互独立,求接入电路后,电路导通的概率。
———215
F^ABkjC)=}-[F\AB)P{C)]=1-——=-346
—一I129
PCDu^)=l-P(E)=1-——=一
'5630
52929
F{D^jE)==一
[例10]设甲、乙、丙三人射击目标击中的概率分别为0.7,0.6,0.5,三人各向目标射击
一次。
(1)
(2)
解:
至少有1人命中的概率;恰有2人命中的概率。
(1)
=1-^(A)F(B)F(C)=1-Cl-07)(1-O.Qfl-0.5)=0.94
(2)
P=F(N)••尸(U)十F(A)■尸佰)F©
+⑻、F©=(1-0.7)■0605+0.7(1-06)■05
+07.C6
=0.09+0.14+0.21=0.44
[例11]一汽车前进途中要经过4个路口,汽车在每个路口遇到绿灯的概率为
3个路口
-,假定汽车只有遇到红灯或到达目的地才停止。
求停车时最多已通过
的概率为的概率。
解:
P=F0+F(l)+F
(2)+F(3)=1-尸(4)
131331333
=_+十_+
4444^14444
[例12]
试判断哪一种更可靠
解:
二
=175/256
二戸(4&A&)+尸(讯禺AA)
a瓦)
=严丰严-护=产〔2—F*)
F(77)=P(£+防Pg+禺MF仏+耳)
=[F(A^A)]"
=[Jp(4)+JP(J51)-F(AJ»1)]1
=(2F-F2/
=-F气=門(2_厅-2]
令\-P=q,...PdC-PCO二尸耳[(1+好广*(1一乡『一2]
=F-[2(l+C,^a+C:
/+A)-2]>0
.方式&更可靠
【模拟试题】
1.从数字1,2,3,4,5中随机抽取3个数(允许重复)组成一个三位数,其各位数字
之和为9的概率是()
13161819
A.B.C.D.
2.从1,2,……9过九个数中,随机抽取3个不同的数,则这3个数和为偶数的概率是
()
51JW
A.B.C.D.--
3.某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛,其中一班有3位,二班有2位,其
它班有5位,若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班有3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连),而二班的2位同学没有被排在一起的概率为()
丄丄丄丄
A.I'B.二〕C.!
■D•一二
4.已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡使用,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则他直到第3次才取
得卡口灯泡的概率为()
21
173
7
A.-
B.■--
C.1.
D.
5.
某班委会由
4名男生与3名女生组成现从中选出
2人担任正副班长,其中至少有一名
女生当选的概率是
()
1
4
5
6
A.「
B.「
C.7
D.「
6.
口袋内装有
10个相同的球,其中
5个标有0,
5个标有1,若从换出5个球,五个球
数字之和小于2或大于3的概率是()
131350131350
A.远五B.五,云C.辰,亦D.
5050
7.从1、2、3……9中任取2数。
1)均为奇数的概率?
(2)和为偶数的概率?
(3)积为偶数的概率?
8.a、b、-「八,任取满足条件的一组a、b、c,恰成等差数列的概率是多少?
9.甲、乙进行乒乓球比赛,已知每局甲获胜概率为0.6,乙获胜概率为0.4,比赛可采用
三局二胜制,或五局三胜制。
试问哪一种制度下,甲获胜的可能性大。
概率计算公式
罐中有12粒围棋子,其中8粒白子,4粒黑子,从中任取3粒,求取到的都是白子的概率
是多少?
12粒围棋子从中任取3粒的总数是C(12,3)
取到3粒的都是白子的情况是C(8,3)
•••概率
C(8,3)
P==14/55
C(12,3)
附:
排列、组合公式
排列:
从n个不同的元素中取m(mcn)个元素,按照一定的顺序排成一排,叫做从n个不同
的元素中取m个元素的排列。
排列数:
从n个不同的元素中取m(mcn)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中
取出m个元素的排列数,记为Anm
排列公式:
A(n,m)=n*(n-1)*.....(n-m+1)
A(n,m)=n!
/(n_m)!
组合:
从n个不同的元素中,任取m(mcn)个元素并成一组,叫做从n个不同的元素中取
个元素的组合。
组合数:
从n个不同的元素中取m(mcn)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中
取出m个元素的组合数,记为Cnm
组合公式:
C(n,m)=A(n,m)/m!
=n!
/(m!
*(n-m)!
)
C(n,m)=C(n,n-m)
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- 概率 计算方法