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逻辑5
第五章复合命题及其推理
第一节联言命题及其推理
一、联言命题
1、定义:
联言命题是反映若干事物情况同时存在的命题。
例如:
某商品价廉并且物美
2、公式:
P并且qp∧q(“P”和“q”表示肢命题,“并且”表示联结词。
也可以用“∧”合取符号表示“并且”)
在现代汉语中并列复句、递近复句、转折复句、连贯复句都表达联言命题。
二、联言命题的逻辑值
1、联言命题的真值表
2、联言命题的逻辑特征:
只有当每一个肢命题同时为真时,联言命题才真。
否则就假。
三、联言命题的省略形式
1、复合谓项联言命题。
如:
同学们朗诵诗歌、表演小品。
2、复合主项联言命题。
如:
魏东和张新朗诵诗歌。
3、复合主谓项联言命题。
如:
魏东和张新朗诵诗歌、表演小品。
四、联言推理
联言推理是前提或结论为联言命题的推理。
联言推理的有效式:
1、分解式p并且q
所以,p
(p∧q)p
(p∧q)q
2、组合式p
q
所以,p并且q
(p,q)p∧q
五、复杂联言命题及其推理
1、复杂联言命题是包含三个以上联言肢的联言命题。
如:
p∧q∧r∧s
2、复杂联言命题的交换与结合。
如:
q∧r∧p∧s
p∧((q∧r)∧s)
五、复杂联言命题及其推理
3、复杂联言命题推理。
如:
p∧q∧r∧sp
p∧q∧r∧ss
p∧q∧r∧sp∧q
p∧q∧r∧sp∧q∧r
第二节选言命题及其推理
一、选言命题
1、定义选言命题是反映若干可能事物情况至少有一个存在的命题。
2、种类
(一)相容选言命题
(二)不相容选言命题
(一)相容选言命题
相容选言命题就是选言肢可以同真的选言命题。
公式p或者qp∨q
(“P”和“q”表示选言肢命题,简称为选言肢。
“或者”表示联结词,也可以用“∨”表示,叫做“析取”)
在现代汉语中相容选言命题的联结词还可表达为:
“可能……也可能……”,“也许……也许……”
相容选言命题的逻辑值
1、相容选言命题的真值表
2、相容选言命题的逻辑特征:
只有当每一个肢命题同时为假时,相容选言命题才假。
否则就真。
(二)相容选言推理
1、定义:
相容选言推理是前提中有一个是相容选言命题,并根据相容选言命题的逻辑特征进行的推理。
2、规则:
(1)否定一部分选言肢,就要肯定另一部分选言肢。
(2)肯定一部分选言肢,不能否定另一部分选言肢。
相容选言推理的有效式
简单式:
小前提否定一个选言肢,则结论肯定另一个选言肢。
p或者qp或者q
非p非q
所以,q所以,p
((p∨q)∧¬p)→q
((p∨q)∧¬q)→p
复杂式:
小前提否定一部分选言肢,则结论肯定另一部分选言肢。
p或者q或者r或s
非(p或者q)
所以,r或者s
((p∨q∨r∨s)∧¬(p∨q)→(r∨s)
(三)不相容选言命题
定义:
不相容选言命题就是选言肢不能同真的选言命题。
公式:
要么p,要么qp∨q
(“P”和“q”表示选言肢命题,简称为选言肢。
“要么……要么……”表示联结词,也可以用“∨”表示,叫做“不相容析取”)
在现代汉语中不相容选言命题的联结词还可表达为:
“不是……就是……”,“宁可……也不……”,“或者……或者……二者不可兼得”。
不相容选言命题的逻辑值
1、不相容选言命题的真值表
2、不相容选言命题的逻辑特征:
有且仅有一个肢命题为真时,不相容选言命题才真。
否则就假。
(四)不相容选言推理
1、定义:
不相容选言推理就是前提中有一个是不相容选言命题,并根据不相容选言命题的逻辑特征进行的推理。
2、规则:
(1)肯定一个选言肢,就要否定其它的选言肢。
(2)否定一个选言肢以外的选言肢,就要肯定余下的那个选言肢。
不相容选言推理的有效式
1、肯定否定式:
小前提肯定一个选言肢,结论否定另一个选言肢。
要么p,要么q
p
所以,非q
((p∨q)∧p)→¬q
((p∨q)∧q)→¬p
2、否定肯定式:
小前提否定一个选言肢,结论肯定另一个选言肢。
要么p,要么q
非p
所以,q
((p∨q)∧¬p)→q
((p∨q)∧¬q)→p
(五)相容选言命题与不相容选言命题的比较
第三节假言命题及其推理
一、假言命题
定义:
假言命题是反映某一事物情况是另一事物情况存在条件的命题。
种类:
(一)充分条件假言命题
(二)必要条件假言命题
(三)充分必要条件假言命题
(一)充分条件假言命题
1、充分条件:
如果有p就一定有q,没有p不一定没有q,p就是q的充分条件。
(有之必然,无之未必不然)
2、充分条件假言命题:
反映前件是后件的充分条件的假言命题。
例:
(1)如果天下雨,那么地上湿。
(2)倘若一个整数的末尾数是0,则这个数就能被5整除。
3、充分条件假言命题的公式:
如果p,那么q
p→q(“→”是蕴涵符号,表示现代汉语中的“如果……那么……”)
4、充分条件假言命题的语言表达形式:
“如果……那么……”;“只要……就……”;“倘若……则……”等等。
5、充分条件假言命题的真值表
6、充分条件假言命题的逻辑特征:
只有当前件真后件假时,充分条件假言命题才假,其它情况下都真。
7、充分条件假言推理
1、定义:
充分条件假言推理是以充分条件假言命题为大前提,根据充分条件假言命题的逻辑特征进行的推理。
2、规则:
(1)肯定前件就要肯定后件,否定后件就要否定前件。
(2)否定前件不能否定后件,肯定后件不能肯定前件。
3、有效式:
(1)肯定前件式(小前提肯定前件,结论肯定后件)
如果p,那么q
p
所以,q
符号式:
p→q
p
∴q
(2)否定后件式(小前提否定后件,结论否定前件)
如果p,那么q
非q
所以,非p
符号式:
p→q
¬q
∴¬p
这两个有效式也可用如下两个公式表示:
(1)肯定前件式
((p→q)∧p)→q
(2)否定后件式
((p→q)∧¬q)→¬p
举例
(1)如果甲方付给了定金,乙方就得按时发货。
甲方已付给了定金。
所以乙方得按时发货。
其推理形式为:
p→q,p├q
(2)如果这部电影受观众欢迎,那么买票的人就多。
买票的人不多。
所以这部电影不受观众欢迎。
其推理形式为:
p→q,Øq├Øp
举例
在日常思维中,关于→的推理,容易发生的错误是:
从A→B和B推出A;从A→B和A推出B。
例如:
如是小K是持枪杀人凶手,那么他肯定有枪。
小K有枪。
所以,他是持枪杀人凶手。
如是小K是持枪杀人凶手,那么他肯定有枪。
小K不是持枪杀人凶手。
所以,他肯定没有枪。
(二)必要条件假言命题
1、必要条件:
如果没有p就一定没有q,有p不一定有q,p就是q的必要条件。
(无之必不然,有之未必然)
2、必要条件假言命题:
反映前件是后件的必要条件的假言命题。
例:
只有有电,电灯才亮。
只有合理施肥,才能获得丰收。
3、必要条件假言命题的公式:
只有p,才q
p←q(“←”是逆蕴涵符号,表示现代汉语中的“只有……才……”)
4、必要条件假言命题的语言表达形式:
“只有……才……”;“除非……才……”等。
5、必要条件假言命题的真值表
6、必要条件假言命题的逻辑特征:
只有当前件假后件真时,必要条件假言命题才假,其它情况下都真。
7、必要条件假言推理
1、定义:
必要条件假言推理是以必要条件假言命题为大前提,根据必要条件假言命题的逻辑特征进行的推理。
2、规则:
(1)否定前件就要否定后件,肯定后件就要肯定前件。
(2)肯定前件不能肯定后件,否定后件不能否定前件。
3、有效式:
(1)否定前件式(小前提否定前件,结论否定后件)
只有p,才q
非p
所以,非q
p←q
¬p
∴¬q
(2)肯定后件式(小前提肯定后件,结论肯定前件)
只有p,才q
q
所以,p
符号式:
p←q
q
∴p
必要条件假言推理的这两个有效式也可用如下两个公式表示:
(1)否定前件式
((p←q)∧¬p)→¬q
(2)肯定后件式
((p←q)∧q)→p
举例
(1)只有你学习努力,才能取得好成绩。
你学习不努力,所以,你不能取得好成绩。
其推理形式为:
p←q,Øp├Øq
(2)除非发生了意外情况,这趟列车不会停在这个地方。
它既然停在这个地方,可见,发生了意外情况。
其推理形式为:
p←q,q├p
举例
在日常思维中,关于←的推理的错误应用,容易发生的错误是:
从A←B和A推出B;从A←B和ØB推出ØA。
例如:
(1)只有小A在作案现场,他才是杀人凶手。
有人证明小A在作案现场,所以,小A是杀人凶手。
(2)只有小A在作案现场,他才是杀人凶手。
小A不是杀人凶手,所以,小A不在作案现场。
(三)充分必要条件假言命题
1、充分必要条件:
如果有p就一定有q,没有p就一定没有q,这样p就是q的充分必要条件。
又称之为充要条件(有之必然,无之必不然)
2、充分必要条件假言命题:
反映前件是后件的充分必要条件的假言命题。
例:
当且仅当一个数是偶数,它才能被2整除。
3、充分必要条件假言命题的公式:
当且仅当p,才q
p←→q(“←→”是等值符号,表示“当且仅当……才……”)
4、充分必要条件假言命题的语言表达形式:
“有而且只有……才……”;“如果……那么……并且只有……才……”等。
5、充分必要条件假言命题的真值表
6、充分必要条件假言命题的逻辑特征:
只有当前、后件的真值完全相同时(即同真同假),充分必要条件假言命题才真,其它情况下都假。
7、充分必要条件假言推理
1、定义:
充分必要条件假言推理是以充分必要条件假言命题为大前提,根据充分必要条件假言命题的逻辑特征进行的推理。
2、规则:
(1)肯定前件就要肯定后件,肯定后件就要肯定前件。
(2)否定前件就要否定后件,否定后件就要否定前件。
3、有效式:
(1)肯定前件式
当且仅当p,才q
p
所以,q
符号式:
p←→q
p
∴q
(2)肯定后件式
当且仅当p,才q
q
所以,p
符号式:
p←→q
q
∴p
(3)否定前件式
当且仅当p,才q
非p
所以,非q
符号式:
p←→q
¬p
∴¬q
(2)否定后件式
当且仅当p,才q
非q
所以,非p
符号式:
p←→q
¬q
∴¬p
充分必要条件假言推理的这四个有效式也可用如下四个公式表示:
(1)肯定前件式
((p←→q)∧p)→q
(2)肯定后件式
((p←→q)∧q)→p
(3)否定前件式
((p←→q)∧¬p)→¬q
(4)否定后件式
((p←→q)∧¬q)→¬p
复合命题的真值比较
第四节负命题及其推理
一、负命题
1、定义:
负命题就是否定某个命题的命题。
例:
(1)并非所有天鹅都是白的。
(2)并非某商品价廉并且物美。
2、负命题和否定命题的区别
并非所有天鹅都是白的。
所有天鹅都不是白的。
这两个命题的含义是不一样的。
负命题否定的是整个命题,而否定命题否定的仅仅是谓项。
3、负命题的公式
并非p¬p
其中p是原命题,它既可以代表一个简单命题如例
(1);也可以代表一个复合命题如例
(2)。
“并非”是逻辑联结词。
“¬”是否定符号,代表“并非”。
现代汉语中“没有”、“不”也可以表示否定联结词。
4、负命题的真值表
负命题和原命题是相互矛盾的,原命题真,负命题假;原命题假,负命题真。
二、负命题的等值命题
1、联言命题的负命题的等值命题
并非(p并且q)等值于(非p或者非q)
推理:
¬(p∧q)→(¬p∨¬q)
这就是说否定一个联言命题得到一个相应的选言命题。
2、相容选言命题的负命题的等值命题
并非(p或者q)等值于(非p并且非q)
推理:
¬(p∨q)→(¬p∧¬q)
这就是说否定一个相容选言命题得到一个相应的联言命题。
3、不相容选言命题的负命题的等值命题
并非(要么p,要么q)等值于(p并且q)或者(非p并且非q)
推理:
¬(p∨q)→(p∧q)∨(¬p∧¬q)
这就是说否定一个不相容选言命题得到一个两个肢命题同真或者两个肢命题同假的选言命题。
4、充分条件假言命题的负命题的等值命题
并非(如果p,那么q)等值于(p并且非q)
推理:
¬(p→q)→(p∧¬q)
这就是说否定一个充分条件假言命题得到一个前件真后件假的联言命题。
5、必要条件假言命题的负命题的等值命题
并非(只有p,才q)等值于(非p并且q)
推理:
¬(p←q)→(¬p∧q)
这就是说否定一个必要条件假言命题得到一个前件假后件真的联言命题。
6、充分必要条件假言命题的负命题的等值命题
并非(当且仅当p,才q)等值于(p并且非q)或者(非p并且q)
推理:
¬(p←→q)→(p∧¬q)∨(¬p∧q)
这就是说否定一个充分必要条件假言命题得到一个前件真后件假或者前件假后件真的选言命题。
7、负命题的负命题的等值命题
并非(非p)等值于p
推理:
¬¬p→p
这就是说否定一个负命题又得到一个原命题。
三、负命题的等值推理
定义:
负命题的等值推理就是根据负命题及其等值命题之间的逻辑关系进行的推理。
等值命题是可以相互推出的。
因为它们是相互蕴涵的。
有效式:
1、并非(p并且q),所以,非p或者非q
2、并非(p或者q),所以,非p并且非q
3、并非(要么p,要么q),所以,(p并且q)或者(非p并且非q)
4、并非(如果p,那么q),所以,p并且非q
5、并非(只有p,才q),所以,非p并且q
6、并非(当且仅当p,才q),所以,(p并且非q)或者(非p并且q)
7、并非(非p),所以,p
复合命题及其负命题
复合命题及其负命题的真值比较
复合命题及其负命题的真值比较
第五节假言易位推理
一、假言易位推理
假言易位推理,就是把假言命题的前件作后件,后件作前件的的推理。
(一)充分条件假言命题易位推理
1、如果p,则q;易位为:
如果非p则非q。
推理公式:
(p→q)→(¬q→¬p)
2、如果p,则q;易位为:
只有q,才p。
推理公式:
(p→q)→(q←p)
真值比较
问:
如果丽丽参加同学聚会,那么小强也将参加同学聚会。
如果上述断定是真的,则以下哪项也一定是真的?
A.如果丽丽不参加同学聚会,那么小强也不参加
B.如果小强参加同学聚会,那么丽丽也参加
C.如果丽丽参加同学聚会,那么小强将不参加同学聚会
D.如果小强不参加同学聚会,那么丽丽也不参加同学聚会
(二)必要条件假言易位推理:
必要条件假言命题的前件作后件,后件作前件的推理。
1、只有p,才q;易位为:
如果q,则p。
推理公式:
(p←q)→(q→p)
2、只有p,才q;易位为:
只有非q,才非p。
推理公式:
(p←q)→(¬q←¬p)
真值比较
(三)充分必要条件假言易位推理:
充分必要条件假言命题的前件作后件,后件作前件的推理。
1、当且仅当p,那么,才q;易位为:
当且仅当p,那么,才q。
推理公式:
(p←→q)→(q←→p)
2、当且仅当p,那么,才q;易位为:
当且仅当非q,那么,才非p。
推理公式:
(p←→q)→(¬q←→¬p)
真值比较
二、假言联锁推理(假言三段论)
(一)充分条件假言联锁命题:
两个或两个以上的充分条件假言命题,前一个的后件与后一个的前件相同,从而构成充分条件假言联锁命题。
其推理方法有两种:
1、肯定式(前进式):
如果p,则q;如果q,则r。
那么,如果p,则r。
推理公式:
(p→q)∧(q→r)→(p→r)
2、否定式(后退式):
如果p,则q;如果q,则r。
那么,如果非r,则非p。
推理公式:
(p→q)∧(q→r)→(¬r→¬p)
(二)必要条件假言联锁命题:
两个或两个以上的必要条件假言命题,前一个的后件与后一个的前件相同,从而构成必要条件假言联锁命题。
其推理方法有两种:
1、肯定式(后退式):
只有p,才q;只有q,才r。
那么,如果r,则p。
推理公式:
(p←q)∧(q←r)→(r→p)
2、否定式(前进式):
如果p,则q;如果q,则r。
那么,如果非p,则非r。
推理公式:
(p←q)∧(q←r)→(¬p→¬r)
(三)充分必要条件假言联锁命题:
两个或两个以上的充分必要条件假言命题,前一个的后件与后一个的前件相同,从而构成充分必要条件假言联锁命题。
其推理方法有两种:
1、肯定式(前进式):
当且仅当p,那么,才q;当且仅当q,那么,才r。
那么,如果p,则r(或者,如果r,则p)。
推理公式:
(p←→q)∧(q←→r)→(p→r)
(p←→q)∧(q←→r)→(r→p)
2、否定式(后退式):
当且仅当p,那么,才q;当且仅当q,那么,才r。
那么,如果非r,则非p(或者,如果非p,那么非r)。
推理公式:
(p←→q)∧(q←→r)→(¬p→¬r)
(p←→q)∧(q←→r)→(¬r→¬p)
三、假言联言推理
(一)充分条件假言联言命题:
两个或两个以上的充分条件假言命题,同时肯定它们的前件,就可以同时肯定它们的后件;同时否定它们的后件,就可以同时否定它们的前件。
其推理方法有两种:
1、肯定式:
如果p,则q;如果r,则s。
那么,如果p且r,那么,q且s。
推理公式:
(p→q)∧(r→s)∧(p∧r)→(q∧s)
2、否定式:
如果p,则q;如果r,则s。
那么,如果非q且非s,则非p且非r。
推理公式:
(p→q)∧(q→r)∧(¬q∧¬s)→(¬p∧¬r)
(二)必要条件假言联言命题:
两个或两个以上的必要条件假言命题,同时肯定它们的后件,就可以同时肯定它们的前件;同时否定它们的前件,就可以同时否定它们的后件。
其推理方法有两种:
1、肯定式:
只有p,才q;只有r,才s。
那么,如果q且s,那么,p且r。
推理公式:
(p→q)∧(r→s)∧(q∧s)→(p∧r)
2、否定式:
只有p,才q;只有r,才s。
那么,如果非p且非r,则非q且非s。
推理公式:
(p→q)∧(q→r)∧(¬p∧¬r)→(¬q∧¬s)
(三)充分必要条件假言联言命题:
两个或两个以上的充分必要条件假言命题,如果同时肯定它们的前件,那么就能同时肯定它们的后件,同时肯定它们的后件,就能同时肯定它们的前件;如果同时否定它们的后件,就能同时否定它们的前件,同时否定它们的前件,就能同时否定它们的后件。
其推理方法有两种:
1、肯定式:
(p←→q)∧(r←→s)∧(p∧r)→(q∧s)
(p←→q)∧(r←→s)∧(q∧s)→(p∧r)
2、否定式:
(p←→q)∧(r←→s)∧(¬q∧¬s)→(¬p∧¬r)
(p←→q)∧(r←→s)∧(¬p∧¬r)→
(¬q∧¬s)
第六节二难推理
一、假言选言推理:
以两个假言命题和一个选言命题作前提,推出一个结论的推理。
也称“二难推理”。
如:
如果小李参加会议,那么小张就参加会议。
如果小周参加会议,那么小马就参加会议。
或者小李参加会议,或者小周参加会议。
所以,或者小张参加会议,或者小马参加会议。
二难推理是一种假言选言推理的特殊形式。
两个作前提的假言命题,其前件、后件分别自相矛盾,推理的结论往往使对方陷入一种“进退维谷”、“左右为难”的境地,所以称它为“二难推理”。
如:
如果矛尖锐,那么盾就不坚固。
如果矛不尖锐,那么盾就坚固。
要么矛尖锐,要么矛不尖锐。
所以,要么盾不坚固,要么盾坚固。
二、二难推理的有效式
1、简单的构成式
特征:
两个假言命题前件不同,后件相同;选言命题分别肯定两个不同的前件,结论肯定那个相同的后件。
公式:
如果p,则r;如果q,则r
或者p,或者q
所以,r
2、简单的破坏式
特征:
两个假言命题前件相同,后件不同;选言命题分别否定两个不同的后件,结论否定那个相同的前件。
公式:
如果p,则q;如果p,则r
或者非q,或者非r
所以,非p
3、复杂的构成式
特征:
两个假言命题前件、后件都不相同;选言命题分别肯定两个不同的前件,结论肯定两个不同的后件。
公式:
如果p,则q;如果r,则s
p或者r
所以,q或者s
4、复杂的破坏式
特征:
两个假言命题前件、后件都不相同;选言命题分别否定两个不同的后件,结论否定两个不同的前件。
公式:
如果p,则q;如果r,则s
非q或者非s
所以,非p或者非r
这四个有效式也可以写成下面四种形式:
1.(((p→r)∧(q→r))∧(p∨q))→r
2.(((p→q)∧(p→r))∧(¬q∨¬r))→¬p
3.(((p→q)∧(r→s))∧(p∨r))→(q∨s)
4.(((p→q)∧(r→s))∧(¬q∨¬s))→(¬p∨¬r)
三、二难推理的拓展
三难推理:
三角形的三条垂线交于一点。
四难推理:
四面楚歌。
十难推理:
十面埋伏。
N难推理:
条条大路通罗马。
四、必要条件假言选言推理
前面分析的是充分条件假言选言推理,还有必要条件和充要条件假言选言推理。
必要条件假言选言推理:
1.(((p←r)∧(q←r))∧(¬p∨¬q))→¬r
2.(((p←q)∧(p←r))∧(q∨r))→p
3.(((p←q)∧(r←s))∧(¬p∨¬r))→(¬q∨¬s)
4.(((p←q)∧(r←s))∧(q∨s))→(p∨r)
充要条件假言选言推理:
1.(((p←→r)∧(q←→r))∧(p∨q))→r
2.(((p←→r)∧(q←→r))∧(¬p∨¬q))→¬r
3.(((p←→q)∧(p←→r))∧(q∨r))→p
4.(((p←→q)∧(p←→r))∧(¬q∨¬r))→¬p
5.(((p←→q)∧(r←→s))∧(¬p∨¬r))→(¬q∨¬s)
6.(((p←→q)∧(r←→s))∧(p∨r))→(q∨s)
7.(((p←→q)∧(r←→s))∧(q∨s))→(p∨r)
8.(((p←→q)∧(r←→s))∧(¬q∨¬s))→(¬p∨¬r)
六、其他推理
4.反三段论:
(A∧B)→C├┤(A∧ØC)→ØB
(A∧B)→C├┤(B∧ØC)→ØA
5.反证法:
ØA→B,ØA→ØB├A
6.归谬法:
A→B,A→ØB├ØA
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- 逻辑