材料力学第9章压杆稳定习题集解.docx
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材料力学第9章压杆稳定习题集解
第九章压杆稳定习题解
[习题9-1]在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆,按图a所示坐标系及挠度曲线
状时,压杆在Fcr作用下的挠曲线微分方程是否与图a情况下的相同,由此所得Fcr公式又
是否相同。
因为(b)图与(a)图具有相同的坐标系,所以它们的挠曲线微分方程相同,都是
Elw"M(x)°(c)、(d)的坐标系相同,它们具有相同的挠曲线微分方程:
Elw"M(x),显然,这微分方程与(a)的微分方程不同。
临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关,与坐标系的选取、挠曲线的
2EI
[习题9-2]图示各杆材料和截面均相同,试问杆能承受的压力哪根最大,哪根最小(图所示杆在中间支承处不能转动)?
它们能承受的压力与原压相的相当长度丨的平方成反比,其中,为与约束情况有关的长
度系数。
(a)l155m
(b)l0.774.9m
(e)l0.594.5m
(d)l224m
(e)l188m
(f)l0.753.5m(下段);l0.552.5m(上段)
故图e所示杆Fcr最小,图f所示杆Fcr最大。
[习题9-3]图a,b所示的两细长杆均与基础刚性连接,但第一根杆(图a)的基础放在弹性
螺旋千斤顶(图C)的底座对丝杆(起顶杆)的稳定性有无影响?
校核丝杆稳定性时,把它看作下端固定(固定于底座上)、上端自由、长度为I的压杆是否偏于安全?
解:
临界力与压杆两端的支承情况有关。
因为⑻的下支座不同于(b)的下支座,所以它们的
临界力计算公式不同。
(b)为一端固定,一端自由的情况,它的长度因素2,其临界
wlj
If
li
JF
因此,长度因素可以大于2。
这与弹性支座的转动刚度
当C0时,
螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性连接,即不是固定的。
它们之间是靠摩擦力来维持相对的静止。
当轴向压力不是很大,或地面较滑时,底座与地面之间有相对滑动,此时,不能看作固定端;当轴向压力很大,或地面很粗糙时,底座与地面之间无相对滑动,此时,可以看作是固定端。
因此,校核丝杆稳定性时,把它看作上端自由,下端为具有一定转动刚度的弹性支座较合适。
这种情况,2,算出来的临界力比“把它看作下端固定(固定于底座
上)、上端自由、长度为I的压杆”算出来的临界力要小。
譬如,设转动刚度C—20旦,
l
[习题9-4]试推导两端固定、弯曲刚度为EI,长度为I的等截面中心受压直杆的临界应力
Pcr的欧拉公式。
把A、B的值代入(
a)得:
v
M
Pe
e(1
r
eoskx)
1
v
Me
ksinkx
Per
边界条件:
③
x
L;v
0:
0
(1eoskL),巳
1eoskL0
④
x
0v'
0:
0
Me
ksinkL
Per
sinkL0
②x0v'0:
0Akeos0Bksin0;A0。
以上两式均要求:
kL2n,(n0,1,3,……)
[解]:
设压杆向右弯曲。
压杆处于临界状态时,两端的竖向反
下标e表示端部end的意思。
若取下截离体为研究对象,转向为逆转。
M(x)
Perv(x)
Me
II
Elv
M(x)
MePe,(X)
II
Elv
Pe,(X)
Me
空v(x)匹,令k2
ElEl
[2.2Me
kvk-
P
er
上述微分方程的通解为:
2EI
2
(0.5L)2
[习题9-5]长5m的10号工字钢,在温度为00C时安装在两个固定支座之间,这时杆不受
力。
已知钢的线膨胀系数]125107(0C)1,E210GPa。
试问当温度升高至多少
度时,杆将丧失稳定性?
卅乩加U咖1尸
屮F125xW7X14.3XW4
[习题9-6]两根直径为d的立柱,上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接,如图所示。
试根据杆端的约束条件,分析在总压力F作用下,立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线
形状,分别写出对应的总压力F之临界值的算式(按细长杆考虑),确定最小临界力Pcr的
算式。
解:
在总压力F作用下,立柱微弯时可能有下列三种情况:
(a)每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳:
//=0.5
(b)两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳
4=2
失稳时整体在面内弯曲,则1,2两杆组成一组合截面。
(c)两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳
[习题9-7]图示结构ABCD由三根直径均为d的圆截面钢杆组成,在B点铰支,而在A点和
-10。
若结构由于杆件在平面
d
D处的荷载F的临界值。
解:
杆DB为两端铰支.,杆DAMDC为一端铰支一端固定,选取“丄’。
此结构为超静定结构,当杆DB失稳时结构仍能继续承载,直到杆AD及DC
也失稳时整个结构才丧失承载能力,故
口n2El1%卫7十
纸】=]-=—p_
(07x尸r
匚oc30'
36.024
El
[习题9-8]图示铰接杆系ABC由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。
若由于杆件在平面ABC内失稳而引起毁坏,试确定荷载F为最大时的角(假设0—)。
2
解:
要使设计合理,必使AB杆与BC杆同时失稳,
即:
2
arctan(cot)
[习题9-9]下端固定、上端铰支、长l4m的压杆,由两根10号槽钢焊接而成,如图所示,并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。
已知杆的材料为Q235钢,
强度许用应力[]170MPa,试求压杆的许可荷载。
=二0.301x170=51.2MPa
[5,]=J4[cr]st=2x12.74x10^x51.2x1^=130x1b3N=130kN
[习题9-10]如果杆分别由下列材料制成:
(1)比例极限P220MPa,弹性模量E190GPa的钢;
(2)P490MPa,E215GPa,含镍3.5%的镍钢;
(3)p20MPa,E11GPa的松木。
试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。
解:
(1)
二923
(2)
(3)
=73.7
[习题9-11]两端铰支、强度等级为TC13的木柱,截面为150mm<150mm的^正方形,长度I3.5m,强度许用应力[]10MPa。
试求木柱的许可荷载。
解:
=80.8
由公式(9-12a)
[F]=^[a]A=0.393x10x10*X15O3xKT6=88.4xlC3N=88^kN
1.3kN,木材的强度许用应力[]10MPa。
[习题9-12]图示结构由钢曲杆AB和强度等级为TC13的木杆BC组成。
已知结构所有的连
接均为铰连接,在B点处承受竖直荷载F试校核BC杆的稳定性。
解:
把BC杆切断,代之以轴力N,则
Ma0
1.5cosC0.6
Q1.52
由公式(9—12b)得:
[]st[]0.0597100.597MPa
0.581MPa
929N
2
4040mm
[习题9-13]—支柱由4根80mm80mm6mm的角钢组成(如图),并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。
支柱的两端为铰支,柱长I6m,压力为
450kN。
若材料为Q235钢,强度许用应力[]170MPa,试求支柱横截面边长a的尺寸。
”二•:
.「■-7II■'-r-:
■:
■■-II■'r4
』二4[山壮(|一21.疔5」]
[习题9-14]某桁架的受压弦杆长4m,由缀板焊成一体,并符合钢结构设计规范中实腹式b
类截面中心受压杆的要求,截面形式如图所示,材料为Q235钢,[]170MPa。
若按两
端铰支考虑,试求杆所能承受的许可压力。
解:
由型钢表杳得-二:
:
:
-,角钢:
A=24.37
加=4.85xlO_2m
查表:
■'---二
[7?
]=0.672x170x2x24.37x10-*=557kN
[习题9-15]图示结构中,BC为圆截面杆,其直径d80mm;AC边长a70mm的正方形截面杆。
已知该结构的约束情况为A端固定,BC为球形铰。
两杆的材料均为Q235钢,
1040227N1040.227kN
416(kN)
故[F]376kN
[习题9-16]图示一简单托架,其撑杆AB为圆截面木杆,强度等级为TC15o若架上受集度
为.的均布荷载作用,AB两端为柱形铰,材料的强度许用应力"^',
试求撑杆所需的直径do
AB杆为一端固定,一端铰支,0.7
解:
取mm以上部分为分离体,由J'"一,有
=214kN
0=0.6辽[/7a]=0.683x|[cr]=7.513MPa
%=加呼=7.51^10e
3=36.267x10^
?
求出的口与所设⑺基本相符,故撑杆直径选用二二〕二m。
[习题9-17]图示结构中杆AC与CD均由Q235钢制成,C,D两处均为球铰。
已知二二工mm
"100mm―匹0mm卫审兀GP「込二於皿久"皿血白;强度安全因数?
;=:
:
,稳定安全因数':
'o试确定该结构的许可荷载。
(2)梁BC中
_2Fx^
O~——r
W
An
SS^xltfxlOOxlSO^xlO^
4x2.0
=95175N=95.2kN
(3)杆CD
lxl
FEl__tt3x200x10-x20*x10'12
广—厂文64—64xl2
(由梁力矩平衡得)
[虬
15.52
30
15.5kN
故,由
(2)、(3)可知,[F]15.5kN
[习题9-18]图示结构中,钢梁AB及立柱CD分别由16号工字钢和连成一体的两根
63mm63mm5mm角钢组成,杆CD符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆
的要求。
均布荷载集度q48kN/m。
梁及柱的材料均为Q235钢,[]170MPa,
E210GPa。
试验算梁和立柱是否安全。
解:
(1)求多余约束力Fcd
把CD干去掉,代之以约束反力
Fcd。
由变形协调条件可知,
WClCD
WCqWcFcdlCD
5qlAB
384EI
FcdIAb
48EI
Fcd1CD
EA
5qlAB
384I
FcdIAb
48I
FCD1CD
A
查型钢表得:
16号工字钢的lz1130cm4,Wz141cm3
24
63mm63mm5mmL形角钢的面积:
A6.143cm,Iz23.17cm,iz1.94cm
5
48kN/100cm4004
4cm
FCD
33
400cmFcd200cm
4
3841130cm
48
42
1130cm12.286cm
5
4
48kN/100400
FCD
4003
Fcd200
3841130
48
1130
12.286
141592.92031179.941FCD16.279FCD
FCD118.367(kN)
(2)梁的强度校核
12
RB4118.36724840
2
36.8165x118.367(x2)24x2
2
A
484
36.8165
118.367
36.8165(kN)
段:
Q(x)
36.8165
48x;
2
M(x)36.8165x24x
令
Q(x)
36.8165
48x0
,得:
当x0.767m时,
Mmax
36.8165
0.767
240.767214.119(kNm)
RB36.8165(kN)(f)
R
AC
x
0
0.767
1
2
3
3.233
4
M
0.000
14.119
12.817
-22.367
12.817
14.119
0.000
CB段:
M(x)
弯矩图
|M|max22.367kNm
所以符合正应力强度条件,即安全。
(3)立桩的稳定性校核
由柔度—-200Cm103查表得稳定因素0.536
iz1.94cm
[]st[]0.53617091.12MPa
所以压杆会失稳。
不安全。
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