中考数学专题复习第二十一讲矩形菱形正方形含详细参考答案.docx
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中考数学专题复习第二十一讲矩形菱形正方形含详细参考答案
2019年中考数学专题复习
第二十一讲矩形菱形正方形
【基础知识回顾】
一、矩形:
1、定义:
有一个角是角的平行四边形叫做矩形
2、矩形的性质:
⑴矩形的四个角都
⑵矩形的对角线
3、矩形的判定:
⑴用定义判定
⑵有三个角是直角的是矩形
⑶对角线相等的是矩形
【名师提醒:
1、矩形是对称图形,对称中心是,矩形又是对称图形,对称轴有条2、矩形被它的对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时,利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题】
二、菱形:
1、定义:
有一组邻边的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质:
⑴菱形的四条边都
⑵菱形的对角线且每条对角线
3、菱形的判定:
⑴用定义判定
⑵对角线互相垂直的是菱形
⑶四条边都相等的是菱形
【名师提醒:
1、菱形既是对称图形,也是对称图形,它有条对称轴,分别是2、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算,也可以用两对角线积的来计算4、菱形常见题目是内角为1200或600时,利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决的题目】
三、正方形:
1、定义:
有一组邻边相等的是正方形,或有一个角是直角的是正方形
2、性质:
⑴正方形四个角都都是角,
⑵正方形四边条都
⑶正方形两对角线、且每条对角线平分一组内角
3、判定:
⑴先证是矩形,再证
⑵先证是菱形,再证
【名师提醒:
1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质,正方形具有以上特殊四边形的所有性质。
这四者之间的关系可表示为:
2、正方形也既是对称图形,又是对称图形,有条对称轴
3、几种特殊四边形的性质和判定都是从、、三个方面来看的,要注意它们的区别和联系】
【重点考点例析】
考点一:
矩形的性质
例1(2018•杭州)如图,已知点P是矩形ABCD内一点(不含边界),设∠PAD=θ1,∠PBA=θ2,∠PCB=θ3,∠PDC=θ4,若∠APB=80°,∠CPD=50°,则( )
A.(θ1+θ4)-(θ2+θ3)=30°
B.(θ2+θ4)-(θ1+θ3)=40°
C.(θ1+θ2)-(θ3+θ4)=70°
D.(θ1+θ2)+(θ3+θ4)=180°
【思路分析】依据矩形的性质以及三角形内角和定理,可得∠ABC=θ2+80°-θ1,∠BCD=θ3+130°-θ4,再根据矩形ABCD中,∠ABC+∠BCD=180°,即可得到(θ1+θ4)-(θ2+θ3)=30°.
【解答】解:
如图,
∵AD∥BC,∠APB=80°,
∴∠CBP=∠APB-∠DAP=80°-θ1,
∴∠ABC=θ2+80°-θ1,
又∵△CDP中,∠DCP=180°-∠CPD-∠CDP=130°-θ4,
∴∠BCD=θ3+130°-θ4,
又∵矩形ABCD中,∠ABC+∠BCD=180°,
∴θ2+80°-θ1+θ3+130°-θ4=180°,
即(θ1+θ4)-(θ2+θ3)=30°,
故选:
A.
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及三角形内角和定理的运用,解决问题的关键是掌握:
矩形的四个角都是直角.
考点二:
和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题
例2(2018•淮安)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8,则这个菱形的周长是( )
A.20B.24
C.40D.48
【思路分析】由菱形对角线的性质,相互垂直平分即可得出菱形的边长,菱形四边相等即可得出周长.
【解答】解:
由菱形对角线性质知,AO=
AC=3,BO=
BD=4,且AO⊥BO,
则
,
故这个菱形的周长L=4AB=20.
故选:
A.
【点评】本题考查了菱形面积的计算,考查了勾股定理在直角三角形中的运用,考查了菱形各边长相等的性质,本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键,难度一般.
考点三:
和正方形有关的证明题
例3(2018•北京)如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点(不与点A、B重合),连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H,连接BH.
(1)求证:
GF=GC;
(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.
【思路分析】
(1)如图1,连接DF,根据对称得:
△ADE≌△FDE,再由HL证明Rt△DFG≌Rt△DCG,可得结论;
(2)证法一:
如图2,作辅助线,构建AM=AE,先证明∠EDG=45°,得DE=EH,证明△DME≌△EBH,则EM=BH,根据等腰直角△AEM得:
EM=
AE,得结论;
证法二:
如图3,作辅助线,构建全等三角形,证明△DAE≌△ENH,得AE=HN,AD=EN,再说明△BNH是等腰直角三角形,可得结论.
【解答】证明:
(1)如图1,连接DF,
∵四边形ABCD是正方形,
∴DA=DC,∠A=∠C=90°,
∵点A关于直线DE的对称点为F,
∴△ADE≌△FDE,
∴DA=DF=DC,∠DFE=∠A=90°,
∴∠DFG=90°,
在Rt△DFG和Rt△DCG中,
∵
,
∴Rt△DFG≌Rt△DCG(HL),
∴GF=GC;
(2)BH=
AE,理由是:
证法一:
如图2,在线段AD上截取AM,使AM=AE,
∵AD=AB,
∴DM=BE,
由
(1)知:
∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠ADC=90°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°,
∴2∠2+2∠3=90°,
∴∠2+∠3=45°,
即∠EDG=45°,
∵EH⊥DE,
∴∠DEH=90°,△DEH是等腰直角三角形,
∴∠AED+∠BEH=∠AED+∠1=90°,DE=EH,
∴∠1=∠BEH,
在△DME和△EBH中,
∵
,
∴△DME≌△EBH,
∴EM=BH,
Rt△AEM中,∠A=90°,AM=AE,
∴EM=
AE,
∴BH=
AE;
证法二:
如图3,过点H作HN⊥AB于N,
∴∠ENH=90°,
由方法一可知:
DE=EH,∠1=∠NEH,
在△DAE和△ENH中,
∵
,
∴△DAE≌△ENH,
∴AE=HN,AD=EN,
∵AD=AB,
∴AB=EN=AE+BE=BE+BN,
∴AE=BN=HN,
∴△BNH是等腰直角三角形,
∴BH=
HN=
AE.
【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定定理和性质定理,对称的性质,等腰直角三角形的性质等知识,解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角,证明三角形全等,作出辅助线也是解决本题的关键.
【备考真题过关】
一、选择题
1.(2018•十堰)菱形不具备的性质是( )
A.四条边都相等
B.对角线一定相等
C.是轴对称图形
D.是中心对称图形
2.(2018•哈尔滨)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BD=8,tan∠ABD=
,则线段AB的长为( )
A.
B.2
C.5D.10
3.(2018•大连)如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若AB=5,AC=6,则BD的长是( )
A.8B.7
C.4D.3
4.(2018•贵阳)如图,在菱形ABCD中,E是AC的中点,EF∥CB,交AB于点F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周长为( )
A.24B.18
C.12D.9
5.(2018•遵义)如图,点P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于E、F,连接PB、PD.若AE=2,PF=8.则图中阴影部分的面积为( )
A.10B.12
C.16D.18
6.(2018•梧州)如图,在正方形ABCD中,A、B、C三点的坐标分别是(-1,2)、(-1,0)、(-3,0),将正方形ABCD向右平移3个单位,则平移后点D的坐标是( )
A.(-6,2)B.(0,2)
C.(2,0)D.(2,2)
7.(2018•宜昌)如图,正方形ABCD的边长为1,点E,F分别是对角线AC上的两点,EG⊥AB.EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为G,I,H,J.则图中阴影部分的面积等于( )
A.1B.
C.
D.
8.(2018•湘西州)下列说法中,正确个数有( )
①对顶角相等;
②两直线平行,同旁内角相等;
③对角线互相垂直的四边形为菱形;
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形.
A.1个B.2个
C.3个D.4个
9.(2018•张家界)下列说法中,正确的是( )
A.两条直线被第三条直线所截,内错角相等
B.对角线相等的平行四边形是正方形
C.相等的角是对顶角
D.角平分线上的点到角两边的距离相等
10.(2018•湘潭)如图,已知点E、F、G.H分别是菱形ABCD各边的中点,则四边形EFGH是( )
A.正方形B.矩形
C.菱形D.平行四边形
11.(2018•临沂)如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点.则下列说法:
①若AC=BD,则四边形EFGH为矩形;
②若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形;
③若四边形EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分;
④若四边形EFGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等.
其中正确的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
12.(2018•陕西)如图,在菱形ABCD中.点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点,连接EF、FG、CH和HE.若EH=2EF,则下列结论正确的是( )
A.AB=
EFB.AB=2EFC.AB=
EFD.AB=
EF
二、填空题
13.(2018•黔南州)已知一个菱形的边长为2,较长的对角线长为2
,则这个菱形的面积是.
14.(2018•湖州)如图,已知菱形ABCD,对角线AC,BD相交于点O.若tan∠BAC=
,AC=6,则BD的长是.
15.(2018•葫芦岛)如图,在菱形OABC中,点B在x轴上,点A的标为(2,3),则点C的坐标为.
16.(2018•广州)如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是.
17.(2018•黑龙江)如图,在平行四边形ABCD中,添加一个条件使平行四边形ABCD是菱形.
18.(2018•株洲)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O,AC=10,P、Q分别为AO、AD的中点,则PQ的长度为.
19.(2018•武汉)以正方形ABCD的边AD作等边△ADE,则∠BEC的度数是.
三、解答题
20.(2018•柳州)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,且AB=2.
(1)求菱形ABCD的周长;
(2)若AC=2,求BD的长.
21.(2018•盐城)在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF,连接AE、AF、CE、CF,如图所示.
(1)求证:
△ABE≌△ADF;
(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.
22.(2018•遂宁)如图,在▱ABCD中,E,F分别是AD,BC上的点,且DE=BF,AC⊥EF.求证:
四边形AECF是菱形.
23.(2018•郴州)如图,在▱ABCD中,作对角线BD的垂直平分线EF,垂足为O,分别交AD,BC于E,F,连接BE,DF.求证:
四边形BFDE是菱形.
24.(2018•张家界)在矩形ABCD中,点E在BC上,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F.
(1)求证.DF=AB;
(2)若∠FDC=30°,且AB=4,求AD.
25.(2018•泰安)如图,△ABC中,D是AB上一点,DE⊥AC于点E,F是AD的中点,FG⊥BC于点G,与DE交于点H,若FG=AF,AG平分∠CAB,连接GE,GD.
(1)求证:
△ECG≌△GHD;
(2)小亮同学经过探究发现:
AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论.
(3)若∠B=30°,判定四边形AEGF是否为菱形,并说明理由.
26.(2018•连云港)如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.
(1)求证:
四边形ACDF是平行四边形;
(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.
27.如图,在矩形ABCD中,E是AB的中点,连接DE、CE.
(1)求证:
△ADE≌△BCE;
(2)若AB=6,AD=4,求△CDE的周长.
28.(2018•沈阳)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O.过点C作BD的平行线,过点D作AC的平行线,两直线相交于点E.
(1)求证:
四边形OCED是矩形;
(2)若CE=1,DE=2,ABCD的面积是.
29.(2018•玉林)如图,在▱ABCD中,DC>AD,四个角的平分线AE,DE,BF,CF的交点分别是E,F,过点E,F分别作DC与AB间的垂线MM'与NN',在DC与AB上的垂足分别是M,N与M′,N′,连接EF.
(1)求证:
四边形EFNM是矩形;
(2)已知:
AE=4,DE=3,DC=9,求EF的长.
30.(2018•白银)已知矩形ABCD中,E是AD边上的一个动点,点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.
(1)求证:
△BGF≌△FHC;
(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.
31.(2018•湘潭)如图,在正方形ABCD中,AF=BE,AE与DF相交于点O.
(1)求证:
△DAF≌△ABE;
(2)求∠AOD的度数.
2019年中考数学专题复习
第二十一讲矩形菱形正方形参考答案
【备考真题过关】
一、选择题
1.【思路分析】根据菱形的性质即可判断;
【解答】解:
菱形的四条边相等,是轴对称图形,也是中心对称图形,对角线垂直不一定相等,
故选:
B.
【点评】本题考查菱形的性质,解题的关键是熟练掌握菱形的性质,属于中考基础题.
2.【思路分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD,AO=CO,OB=OD,求出OB,解直角三角形求出AO,根据勾股定理求出AB即可.
【解答】解:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=CO,OB=OD,
∴∠AOB=90°,
∵BD=8,
∴OB=4,
∵
,
∴AO=3,
在Rt△AOB中,由勾股定理得:
,
故选:
C.
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形,能熟记菱形的性质是解此题的关键.
3.【思路分析】根据菱形的对角线互相垂直,利用勾股定理列式求出OB即可;
【解答】解:
∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC=3,OB=OD,AC⊥BD,
在Rt△AOB中,∠AOB=90°,
根据勾股定理,得:
,
∴BD=2OB=8,
故选:
A.
【点评】本题考查了菱形性质,勾股定理的应用等知识,比较简单,熟记性质是解题的关键.
4.【思路分析】易得BC长为EF长的2倍,那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解.
【解答】解:
∵E是AC中点,
∵EF∥BC,交AB于点F,
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF=
BC,
∴BC=6,
∴菱形ABCD的周长是4×6=24.
故选:
A.
【点评】本题考查的是三角形中位线的性质及菱形的周长公式,题目比较简单.
5.【思路分析】想办法证明S△PEB=S△PFD解答即可.
【解答】解:
作PM⊥AD于M,交BC于N.
则有四边形AEPM,四边形DFPM,四边形CFPN,四边形BEPN都是矩形,
∴S△ADC=S△ABC,S△AMP=S△AEP,S△PBE=S△PBN,S△PFD=S△PDM,S△PFC=S△PCN,
∴S△DFP=S△PBE=
×2×8=8,
∴S阴=8+8=16,
故选:
C.
【点评】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识,解题的关键是证明S△PEB=S△PFD.
6.【思路分析】首先根据正方形的性质求出D点坐标,再将D点横坐标加上3,纵坐标不变即可.
【解答】解:
∵在正方形ABCD中,A、B、C三点的坐标分别是(-1,2)、(-1,0)、(-3,0),
∴D(-3,2),
∴将正方形ABCD向右平移3个单位,则平移后点D的坐标是(0,2),
故选:
B.
【点评】本题考查了正方形的性质,坐标与图形变化-平移,是基础题,比较简单.
7.【思路分析】根据轴对称图形的性质,解决问题即可;
【解答】解:
∵四边形ABCD是正方形,
∴直线AC是正方形ABCD的对称轴,
∵EG⊥AB.EI⊥AD,FH⊥AB,FJ⊥AD,垂足分别为G,I,H,J.
∴根据对称性可知:
四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等,
∴S阴=
S正方形ABCD=
,
故选:
B.
【点评】本题考查正方形的性质,解题的关键是利用轴对称的性质解决问题,属于中考常考题型.
8.【思路分析】根据对顶角的性质,菱形的判定,正方形的判定,平行线的性质,可得答案.
【解答】解:
①对顶角相等,故①正确;
②两直线平行,同旁内角互补,故②错误;
③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形,故③错误;
④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形,故④正确,
故选:
B.
【点评】本题考查了正方形的判定、菱形的判定、平行线的性质、对顶角的性质,熟记对顶角的性质,菱形的判定,正方形的判定,平行线的性质是解题关键.
9.【思路分析】根据平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质逐个判断即可.
【解答】解:
A、两条平行线被第三条直线所截,内错角才相等,错误,故本选项不符合题意;
B、对角线相等的四边形是矩形,不一定是正方形,错误,故本选项不符合题意;
C、相等的角不一定是对顶角,错误,故本选项不符合题意;
D、角平分线上的点到角的两边的距离相等,正确,故本选项符合题意;
故选:
D.
【点评】本题考查了平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质等知识点,能熟记平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质的内容是解此题的关键.
10.【思路分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明;
【解答】解:
连接AC、BD.AC交FG于L.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∵DH=HA,DG=GC,
∴GH∥AC,HG=
AC,
同法可得:
EF=
AC,EF∥AC,
∴GH=EF,GH∥EF,
∴四边形EFGH是平行四边形,
同法可证:
GF∥BD,
∴∠OLF=∠AOB=90°,
∵AC∥GH,
∴∠HGL=∠OLF=90°,
∴四边形EFGH是矩形.
故选:
B.
【点评】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定等、三角形的中位线定理知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
11.【思路分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形,当对角线BD=AC时,中点四边形是菱形,当对角线AC⊥BD时,中点四边形是矩形,当对角线AC=BD,且AC⊥BD时,中点四边形是正方形,
【解答】解:
因为一般四边形的中点四边形是平行四边形,
当对角线BD=AC时,中点四边形是菱形,当对角线AC⊥BD时,中点四边形是矩形,当对角线AC=BD,且AC⊥BD时,中点四边形是正方形,
故④选项正确,
故选:
A.
【点评】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识,解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形,当对角线BD=AC时,中点四边形是菱形,当对角线AC⊥BD时,中点四边形是矩形,当对角线AC=BD,且AC⊥BD时,中点四边形是正方形.
12.【思路分析】连接AC、BD交于O,根据菱形的性质得到AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,根据三角形中位线定理、矩形的判定定理得到四边形EFGH是矩形,根据勾股定理计算即可.
【解答】解:
连接AC、BD交于O,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,
∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点,
∴EF=
AC,EF∥AC,EH=
BD,EH∥BD,
∴四边形EFGH是矩形,
∵EH=2EF,
∴OB=2OA,
∴AB=
,
∴AB=
EF,
故选:
D.
【点评】本题考查的是中点四边形,掌握菱形的性质、三角形中位线定理是解题的关键.
二、填空题
13.【思路分析】根据菱形的性质结合勾股定理可求出较短的对角线的长,再根据菱形的面积公式即可求出该菱形的面积.
【解答】解:
依照题意画出图形,如图所示.
在Rt△AOB中,AB=2,OB=
,
∴
,
∴AC=2OA=2,
∴S菱形ABCD=
AC•BD=
×2×2
=2
.
故答案为:
2
.
【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理,根据菱形的性质结合勾股定理求出较短的对角线的长是解题的关键.
14.【思路分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD,OA=
AC=3,BD=2OB.再解Rt△OAB,根据
,求出OB=1,那么BD=2.
【解答】解:
∵四边形ABCD是菱形,AC=6,
∴AC⊥BD,OA=
AC=3,BD=2OB.
在Rt△OAB中,∵∠AOD=90°,
∴
,
∴OB=1,
∴BD=2.
故答案为2.
【点评】本题考查了菱形的性质,解直角三角形,锐角三角函数的定义,掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键.
15.【思路分析】根据轴对称图形的性质即可解决问题;
【解答】解:
∵四边形OABC是菱形,
∴A、C关于直线OB对称,
∵A(2,3),
∴C(2,-3),
故答案为(2,-3).
【点评】本题考查菱形的性质、坐标与图形的性质等知识,解题的关键是熟练掌握菱形的性质,利用菱形是轴对称图形解决问题.
16.【思路分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长,进而求出C点坐标.
【解答】解:
如图,
∵菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,
∴AB=5,
∴AD=5,
∴由勾股定理知:
,
∴点C的坐标是:
(-5,4).
故答案为:
(-5,4).
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质,得出DO的长是解题关键.
17.【思路分析】根据菱形的判定方法即可判断.
【解答】解:
当AB=BC或AC⊥BD时,四边形ABCD是菱形.
故答案为AB=BC或AC⊥BD.
【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识,解题的关键是记住菱形的判定方法.
18.【思路分析】根据矩形的性质可得AC=BD=10,BO=DO=
BD=5,再根据三角形中位线定理可得PQ=
DO=2.5.
【解答】解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=B
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- 中考 数学 专题 复习 第二十一 矩形 菱形 正方形 详细 参考答案