数学北师大版高中必修1高中数学过程解题教学中反思能力的培养与实践.docx
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数学北师大版高中必修1高中数学过程解题教学中反思能力的培养与实践
高中数学过程解题教学中反思能力的培养与实践
摘要:
本文简述了数学反思内涵和培养学生解题反思能力的重要意义,数学解题教学现状和教学实践表明,引导反思是必要和可行的,在一定程度上提高了效率。
笔者根据教育学理论,结合教学实际,总结了在过程解题教学中培养学生反思能力的成功方法和途径,主要有1尝试错误,反思纠正2挖掘内涵,反思发现3.展示常规,反思本质4.设计变式,反思归纳5引导多解,反思角度6鼓励质疑,反思批判7指导小结,反思脉络等等,以起到抛砖引玉的作用.
关键词:
反思能力,新教材,思维发展,过程解题教学
1数学反思的基本内涵
顾名思义,“思”是指“心”上有块“田”,那么,“反思”就是指“田”上有颗“心”。
不断地“反思”就是指在“心田”上长出更多的“心”。
这样,“心心”之火就会燃为燎原之势,创新的实质就是要不断地创“心”(反思)。
“扪心自问”、“反求诸己”,这些耳熟能详的成语都反映了古人的“反思”意识。
费赖登塔尔教授指出“反思是数学思维活动的核心和动力”,“通过反思才能使现实世界数学化”。
波利亚说,“如果没有了反思,他们就遗漏了解题中一个重要而且有效的阶段,通过回顾完整的解答,重新斟酌、审查结果及导致结果的途径,他们能够巩固知识,并培养他们的解题能力”。
曹才翰先生认为“培养学生对学习过程进行反思的习惯,提高学生的思维自我评价水平,这是提高学习效率、培养数学能力的行之有效的方法”。
《普通高中数学课程标准》则把“反思”这一教学理念提到了应有的高度:
“人们在学习数学和运用数学解决问题时,不断地经历……反思与建构等思维过程。
这些过程是数学思维能力的具体体现,有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断”。
“评价应关注学生能否不断反思自己的数学学习过程,并改进学习方法”。
标准的这一提出,要求学生在平时学习中有学后反思的意识及能力.而这恰是我们所要提倡和引导的.
解题反思能力是对解题活动的反思,主要包括对题意理解的反思、试题涉及知识点的反思、解题思路形成的反思、解题规律的反思、解题结果表述的反思及解题失误的反思。
从一个新的角度多层次、多方面地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析和思考,从而深化对问题的理解、优化思维过程、揭示问题本质、探索一般规律、沟通新旧知识间的迁移、深化对知识的理解。
2.培养解题反思能力的重要性
学期初,我对我校高三理科班学生进行了调查。
调查结果表明,绝大多数学生没有经常回顾学习的习惯,多数只能做到偶尔回顾当天所学的内容,约14%的学生从不回顾学习情况。
90%以上学生只限于通过考试或解题来了解自己的学习水平,途径单一,而表示不清楚自己学习水平的学生比例高达56%。
在学习或解题过程中,60%的学生没有做小结的习惯,只有16%的学生有在做完一题后进行归纳的习惯。
而对于解题后作进一步的思考,会想一想题目有哪些变化的学生则更少。
由此看来,多数学生没有养成反思习惯,在数学解题教学中,我发现学生存在着两大弊端:
一是只管做题目,像猴子摘玉米,过一段时间又不知其所以然。
这类学生往往比较刻苦,只注重做题的数量,而不重视做题的质量;只注重做题结果,而不重视解题的过程及解题后的反思。
二是遗忘快,学了后面忘了前面。
这类学生往往只注重知识个体而忽略整体,没有系统性,数学学习靠记忆的成分多;只注重知识学习、注重当前效果,只顾“勇往直前”,却缺乏“回头看”。
我认为在要求学生解题时,应鼓励学生自我探索,发现规律,不断鼓励学生对讲评内容,尤其是自己出错的知识点进行“二次思维”。
加深学生对该知识的印象,避免重蹈覆辙。
因此,学生在解题中要具备反思的能力和养成反思的习惯,经常进行自我诊断和反思,引导学生反思是有效提高解题效率的重要措施。
3培养解题反思能力的途径
目前数学教学最薄弱的正是数学的反思性学习这一环节,而它又是数学学习活动中的最要的环节,由于数学对象的抽象性,数学活动的探索性,数学推理的严谨性和数学语言的特殊性,决定了高中生必须要经过多次反复思考,深入研究,自我调整,即坚持反思性数学学习,才可能洞察数学活动的本质特征。
笔者在新教材的教学实践中觉得有以下途径可以实施反思。
3.1尝试错误,反思纠正
现代心理学表明:
好奇心、求知欲和创造力是紧密相连的。
笔者在平时的解题教学过程中,采用正误对比,设置陷阱的方法,引导学生参与,让他们自己发现暴露出的问题,诱发学生的好奇心,引导学生去反思问题的根源,看清问题的实质,寻求解决问题的方法。
案例1:
试计算:
同学甲:
先除下来,再拆成和的形式就行了。
即:
原式=++=0+0+0=0
这一回答并没有引起任何争议,大家表现的很平静,问题似乎圆满的完成了,平静的湖面没有泛起一点涟漪,此时,我突然提出“既然甲同学先除再求和,要是先求和再除,结果一样吗?
”看到同学一个个很狐疑,很快同学乙回答道:
原式===
一石激起千层浪,大家发现上述两个同学的解法中,甲同学用的是“和的极限等于极限的和”的运算法则,而乙同学是对已知数列进行求和再求极限,似乎都没什么问题,但结果不同,说明两种解法中至少有一种解法是错误的,这一对比势必引起学生的好奇,反思,认识上产生了巨大落差,经过一番激烈讨论后,很自然地探寻得出法则的实质。
3.2挖掘内涵,反思发现
爱因斯坦说过“发现一个问题比解决一个问题更重要”通过挖掘题目内涵找出新问题。
案例2:
[数列例题]一个等差数列的第6项是5,第3项和第8项的和也是5,求这个等差数列前9项的和?
此题要学生解出答案并不难,若仅仅解出答案,则学生的能力没有得到提高,我在讲评时,点击思维,引导学生进入反思。
师:
“这里的数字5重要吗?
”,“S9=0的根本原因是什么?
”
经过思考,学生甲:
“5”并不重要,重要的是“阿a6=a3+a8”,S9=0根本原因是a5=0.
于是学生联想到等差数列的性质,有如下巧解:
因,得所以.
师:
“能推广吗?
”
很快地,不少学生便独立地给出了下面的简单推广:
为等差数列,若则,.
为了让学生对知识有一个横向的反思,再问:
“等比数列有类似的结论吗?
”基础好一点的学生便能得出:
为等比数列,为其前n的积,若,则.
通过以上教学,由特殊到一般,由等差数列到等比数列,由单一到综合,一步一步引导学生进行反思、交叉、汇合,提供了学生思维发展的良好素材,同时也培养了学生的解题反思能力.
3.3展示常规,反思本质
在平时解题教学中,对例题,习题,作业的学习应引导学生深入探究,展示通性,通法,从建构学的角度可以使学生做一个题,明白一类题,抓住一串题,培养学生的解题反思能力,达到举一反三目的.
案例3:
(1)设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0)。
直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是,求点M的轨迹方程。
(选修2-1P44例3)
(2)设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0)。
直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是,求点M的轨迹方程。
(选修2-1 P59探究)
学生很容易求出轨迹方程,若教师点评到此为止,则失去了课本两题的典型性和示范性,其实老师可将本例加以改造,展示试题通性、通法,从而培养学生的反思能力。
改为1:
:
动点M到两点A(a,0)和B(-a,0)连线的斜率的乘积为定值k(k0),求动点M的轨迹?
解:
设动点M的坐标为(x,y),则,所以即()有:
①当k<-1时,点M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆,且以AB为其短轴(A,B两点除外,下同不予重复)
②当k=-1时,点M的轨迹为以AB为直径的圆
③当-1 ④当k>0时,点M的轨迹为焦点在X轴上的双曲线,且以AB为其实轴 改为2: : 动点M到两点A(0,a)和B(0,-a),( a>0)的连线斜率的乘积为定值k(k0),求点M的轨迹? 改为3: : 动点M到两点A(m,t)和B(n,t)的连线斜率的乘积为定值k(k0),求点M的轨迹? 通过对习题的归类、改造,揭示两题的本质,展示通性、通法,培养学生的反思能力,使学生的解题能力得到螺旋式上升。 这样的反思有助于思维合理化、精确化、概括化。 3.4设计变式,反思归纳 变式思维的认识依据是事物间有相似性,进行变式的训练,使学生参与到教学中,能使学生抓住知识的联系与区别,促使学生进行思考,总结,激发学习动力。 解题教学中若能改变原题的结构或其他方面,往往可使一题变一串,有利于开阔眼界,拓展思路,提高应变能力,防止定势思维的负面影响,并要思考与该题同类的问题,进行对比,分析其解法,找出解答这一类题的技巧和方法。 解题后要把解题中所联系到的基础知识与各知识有机地“串联”成知识线,“并联”成知识网,有利于提高分析和归纳的思维能力。 案例4: (选修2-3.P58.例4)某射手每次射击击中目标的概率是0.8,求这名射手在10次射击中,恰好8次击中目标的概率? 分析: 为了使学生深入理解,使学生处理这类独立重复试验问题不进入程式化硬套公式,我进行以下变式教学,引起学生反思,使学生对知识的深度有更细更好的理解。 变一: 某射手每次射击击中目标的概率是0.8,求此人射击6次中3次命中且恰有2次连续命中目标的概率? 变二: 某射手每次射击击中目标的概率是0.8,求此人射击6次中3次命中且不连续命中目标的概率? 分析: 这是附带条件的独立重复试验问题,三题比较,反思本质,总结独立重复试验概率公式P(n=k)中,n次独立重复试验中这个事件恰好发生哪k次呢? 它有几种可能的情况,由以上变式,使学生能通过反思,理解,在解决这类概率问题时,要注意k次有无限制条件,切忌硬套公式。 通过以上一系列的变式题组,可以通过反思,进行分析归纳汇总,有哪些同类型的问题? 常见的有哪些形式? 应分别采用哪些不同的处理方法? 注意的关键点又是什么? 3.5引导多解,反思角度 我们在提问、举例、讲评数学问题时,要倡导一题多解,一题多变,多题一解的训练,并根据所教对象和内容的特点,精心创设一个符合学生认知规律,激发学生求知欲的由浅入深、多层次、多变化的问题情境,启发探索,诱导反思,养成多角度分析数学问题的习惯。 案例5: 当x=1时,二次函数f(x)有最小值1;若把f(x)的图象向下移动3个单位,此时函数的图象与x轴相交,并截得x轴上一段线段长为4个单位;求函数f(x)的解析式。 首先让学生认识到图象移动前后所对应的两个函数f(x)、g(x)之间的关系为f(x)=g(x)+3。 其次引导学生具体分析函数g(x)所满足的三个条件,并从中探索解题的方法。 方法一,如果三个条件理解为图象过三点(1,-2),(-1,0),(3,0),由y=g(x)=ax2+bx+c,求出a,b,c; 方法二,如果理解为图象是抛物线,其顶点是(1,-2),且过点(-1,0),由y=g(x)=a(x-1)2-2, 求出a。 方法三,如果理解为方程g(x)=0的两个根为-1,3,且函数y=g(x)的图像过点(1,-2),由y=g(x)=a(x+1)(x-3),求出a。 最后可解得f(x)=0.5x2-x+1.5。 从二次函数g(x)解析式的三种形式入手,引导学生理解与掌握待定系数法这一数学方法,而不停留在单纯的解题上。 在解题训练时要求学生不能仅满足于一种解法,鼓励他们进一步思考其他解法。 通过讨论与交流,从中鉴别各种方法的作用与最佳方法,并通过各种方法引导学生认识解题的核心问题与共同本质。 我有时宁可让学生少做些题,但要求用两种甚至两种以上的方法做好某些题。 通过此法,教学生反思,培养学生思维的广阔性,让学生善于从不同角度,不同方面去思考问题,寻求变异。 3.6鼓励质疑,反思批判 思维的批判性指思维活动中独立分析的程度,是否善于严格地估计思维材料和仔细地检查思维过程。 我在数学教学中,鼓励学生提出不同的甚至怀疑的意见,注意引导和启发,提倡独立思考能力的培养。 案例6: <三角作业>: ⊿ABC中,,,求 发现大部分学生如此解: 由可得;由可得,进而可求或。 在作业讲评中,先把上述解法拿出来展示,显然大家都认为错了,但不知错在何处? 那好,检验不如计算,用计算器分别验算两组A,B,C的大小,几分钟后,不少同学开始恍然,但还没大悟,既然有增根,非得用计算器,能用估算法来判断吗? 继续讨论,有个别同学开始面露微笑,一学生提出观点: 由可知: ,同理可知。 由知: 不可能! 即取不到。 故只有一解 通过作业的分析、讨论、讲评,鼓励学生对结论的可靠程度进行怀疑,以严谨的学术观点审视,在独立分析的基础上,灵活运用三角函数的单调性来确定三角形内角的取值范围,严密论证了三角函数值取值的可能性。 3.7指导小结,反思脉络 一个数学问题的解决,并不等于这个问题思维活动的结束,而是对这个问题进行深入研究的开始,如果此时停止了这个问题的思维活动,将错过反思的大好良机,只解决了“怎样做? ”等问题,而没有解决“是否解中有错? ”“为什么这样解? ”“还能怎样解? ”等问题,这些问题只有在不失时机的解后反思才能得到解决,更重要的是学生通过对自己的思维过程的再验证、再认识,使自己对数学概念、定理、方法等各个方面从感性认识上升到理性认识,极大的提高思维水平。 对数学解题反思可以思虑从以下几个方面小结: ①对解题过程的反思: 即解题过程中,自己是否很好地理解了题意? 是否弄清了题干与设问之间的内在联系? 是否能较快地找到了解题的突破口? 在解题过程中曾走过哪些弯路? 犯过哪些错误? 这些问题后来又是怎样改正的? ②对解题方法与技能的反思: 即解题所使用的方法、技能是否有广泛应用的价值? 如果适当地改变题目的条件和结论,问题将会出现怎样的变化? 有什么规律? 解决这个问题还可以用哪些方法等等。 ③题目立意的反思: 即所解决的问题有什么意义? 还有哪些问题需要进一步解决? 4两点说明 1、数学反思能力的培养要与数学能力(思维能力、空间想象能力、解决实际问题的能力等)的培养有机结合起来,两者相互配合、协调发展,才能提高数学学习的效率,取得好的效果。 2、反思只是手段,而且它的实质在于“发现问题”和“解决问题”。 在这种意义上,反思不是越多越好,而是恰到好处才好。 同时反思的程度也是以解决问题为标准,也就是说,问题解决了,一次反思相应结束,而且反思的问题应该是经过选择的具有一定意义的问题,而不是缺乏应有价值的问题。 参考文献: [1]郑君文、张恩华.数学学习论.广西教育出版社,1996第35页. [2]熊川武。 反思性教学。 华东师范大学出版社,1999第89页. [3]徐永忠.剖析错因,反思教学.数学通报,2003第12页. [4]龙朝.数学中“悟”的教学策略探索.中学数学,2003年5期第36页. [5]王长沛.数学教育与素质教育.2003第66页.
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