《概率论与数理统计》第三版课后习题答案1.docx
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《概率论与数理统计》第三版课后习题答案1
习题一:
1.1写出下列随机试验的样本空间:
(1)某篮球运动员投篮时,连续5次都命中,观察其投篮次数;
解:
连续5次都命中,至少要投5次以上,故;
(2)掷一颗匀称的骰子两次,观察前后两次出现的点数之和;
解:
;
(3)观察某医院一天内前来就诊的人数;
解:
医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷,所以;
(4)从编号为1,2,3,4,5的5件产品中任意取出两件,观察取出哪两件产品;
解:
属于不放回抽样,故两件产品不会相同,编号必是一大一小,故:
(5)检查两件产品是否合格;
解:
用0表示合格,1表示不合格,则;
(6)观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1,最高气温不高于T2);
解:
用表示最低气温,表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间,故:
;
(7)在单位圆内任取两点,观察这两点的距离;
解:
;
(8)在长为的线段上任取一点,该点将线段分成两段,观察两线段的长度.
解:
;
1.2
(1)A与B都发生,但C不发生;;
(2)A发生,且B与C至少有一个发生;;
(3)A,B,C中至少有一个发生;;
(4)A,B,C中恰有一个发生;;
(5)A,B,C中至少有两个发生;;
(6)A,B,C中至多有一个发生;;
(7)A;B;C中至多有两个发生;
(8)A,B,C中恰有两个发生.;
注意:
此类题目答案一般不唯一,有不同的表示方式。
1.3设样本空间,事件=,
具体写出下列各事件:
(1);
(2);(3);(4)
(1);
(2)=;
(3)=;
(4)=
1.6按从小到大次序排列,并说明理由.
解:
由于故,而由加法公式,有:
1.7
解:
(1)昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为:
(2)由于事件可以分解为互斥事件,昆虫出现残翅,但没有退化性眼睛对应事件概率为:
(3)昆虫未出现残翅,也无退化性眼睛的概率为:
.
1.8
解:
(1)由于,故显然当时P(AB)取到最大值。
最大值是0.6.
(2)由于。
显然当时P(AB)取到最小值,最小值是0.4.
1.9
解:
因为P(AB)=0,故P(ABC)=0.至少有一个发生的概率为:
1.10
解
(1)通过作图,可以知道,
(2)
1.11
解:
用表示事件“杯中球的最大个数为个”=1,2,3。
三只球放入四只杯中,放法有种,每种放法等可能。
对事件:
必须三球放入三杯中,每杯只放一球。
放法4×3×2种,故
(选排列:
好比3个球在4个位置做排列)。
对事件:
必须三球都放入一杯中。
放法有4种。
(只需从4个杯中选1个杯子,放入此3个球,选法有4种),故。
1.12
解:
此题为典型的古典概型,掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。
.出现点数和为“3”对应两个基本事件(1,2),(2,1)。
故前后两次出现的点数之和为3的概率为。
同理可以求得前后两次出现的点数之和为4,5的概率各是。
(1)1.13
解:
从10个数中任取三个数,共有种取法,亦即基本事件总数为120。
(1)若要三个数中最小的一个是5,先要保证取得5,再从大于5的四个数里取两个,取法有种,故所求概率为。
(2)若要三个数中最大的一个是5,先要保证取得5,再从小于5的五个数里取两个,取法有种,故所求概率为。
1.14
解:
分别用表示事件:
(1)取到两只黄球;
(2)取到两只白球;(3)取到一只白球,一只黄球.则。
1.15
解:
由于,故
1.16
(1)
(2)
解:
(1)
(2)
注意:
因为,所以。
1.17
解:
用表示事件“第次取到的是正品”(),则表示事件“第次取到的是次品”()。
(1)事件“在第一、第二次取到正品的条件下,第三次取到次品”的概率为:
。
(2)事件“第三次才取到次品”的概率为:
(3)事件“第三次取到次品”的概率为:
此题要注意区分事件
(1)、
(2)的区别,一个是求条件概率,一个是一般的概率。
再例如,设有两个产品,一个为正品,一个为次品。
用表示事件“第次取到的是正品”(),
则事件“在第一次取到正品的条件下,第二次取到次品”的概率为:
;而事件“第二次才取到次品”的概率为:
。
区别是显然的。
1.18。
解:
用表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数”。
用表示事件“从第二箱中取到的是次品”。
则
,,,
根据全概率公式,有:
1.19
解:
设表示事件“所用小麦种子为等种子”,
表示事件“种子所结的穗有50颗以上麦粒”。
则,,,根据全概率公式,有:
1.20
解:
用表示色盲,表示男性,则表示女性,由已知条件,显然有:
因此:
根据贝叶斯公式,所求概率为:
1.21
解:
用表示对试验呈阳性反应,表示癌症患者,则表示非癌症患者,显然有:
因此根据贝叶斯公式,所求概率为:
1.22
(1)求该批产品的合格率;
(2)从该10箱中任取一箱,再从这箱中任取一件,若此件产品为合格品,问此件产品由甲、
乙、丙三厂生产的概率各是多少?
解:
设,
,则
(1)根据全概率公式,,该批产品的合格率为0.94.
(2)根据贝叶斯公式,
同理可以求得,因此,从该10箱中任取一箱,再从这箱中任取一件,若此件产品为合格品,此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为:
。
1.23
解:
记={目标被击中},则
1.24
解:
记={四次独立试验,事件A至少发生一次},={四次独立试验,事件A一次也不发生}。
而,因此。
所以
三次独立试验中,事件A发生一次的概率为:
。
二、第一章定义、定理、公式、公理小结及补充:
(10)加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)
(11)减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当BA时,P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时,P()=1-P(B)
(12)条件概率
定义设A、B是两个事件,且P(A)>0,则称为事件A发生条件下,事件B发生的条件概率,记为。
(16)贝叶斯公式
,i=1,2,…n。
此公式即为贝叶斯公式。
第二章随机变量
2.1
X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P
1/36
1/18
1/12
1/9
5/36
1/6
5/36
1/9
1/12
1/18
1/36
2.2解:
根据,得,即。
故
2.3解:
用X表示甲在两次投篮中所投中的次数,X~B(2,0.7)
用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数,Y~B(2,0.4)
(1)两人投中的次数相同
P{X=Y}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=2}=
(2)甲比乙投中的次数多
P{X>Y}=P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=1}=
2.4解:
(1)P{1≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=
(2)P{0.5 2.5解: (1)P{X=2,4,6,…}== (2)P{X≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}-P{X=2}= 2.6解: (1)设X表示4次独立试验中A发生的次数,则X~B(4,0.4) (2)设Y表示5次独立试验中A发生的次数,则Y~B(5,0.4) 2.7 (1)X~P(λ)=P(0.5×3)=P(1.5) = (2)X~P(λ)=P(0.5×4)=P (2) 2.8解: 设应配备m名设备维修人员。 又设发生故障的设备数为X,则。 依题意,设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99,即,也即 因为n=180较大,p=0.01较小,所以X近似服从参数为的泊松分布。 查泊松分布表,得,当m+1=7时上式成立,得m=6。 故应至少配备6名设备维修人员。 2.9解: 一个元件使用1500小时失效的概率为 设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y,则。 所求的概率为 2.10 (1)假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时,则该地区每天供电量不足的概率为: (2)假设该地区每天的用电量仅有90万千瓦时,则该地区每天供电量不足的概率为: 2.11解: 要使方程有实根则使 解得K的取值范围为,又随机变量K~U(-2,4)则有实根的概率为 2.12解: X~P(λ)=P() (1) (2) (3) 2.13解: 设每人每次打电话的时间为X,X~E(0.5),则一个人打电话超过10分钟的概率为 又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y,则。 因为n=282较大,p较小,所以Y近似服从参数为的泊松分布。 所求的概率为 2.14解: (1) (2) 2.15解: 设车门的最低高度应为a厘米,X~N(170,62) 厘米 2.19解: X的可能取值为1,2,3。 因为;; 所以X的分布律为 X 1 2 3 P 0.6 0.3 0.1 X的分布函数为 2.20 (1) Y 0 4 0.2 0.7 0.1 (2) Y -1 1 0.7 0.3 2.21 (1) 当时, 当时, 当时, X -1 1 2 P 0.3 0.5 0.2 (2) Y 1 2 0.8 0.2 2.22 (1)设FY(y),分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数,则 对求关于y的导数,得 (2)设FY(y),分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数,则 当时, 当时,有 对求关于y的导数,得 (3)设FY(y),分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数,则 当时, 当时, 对求关于y的导数,得 2.23∵∴ (1) 对求关于y的导数,得到 (2) , 对求关于y的导数,得到 (3) , 对求关于y的导数,得到 第三章随机向量 3.1P{1 3.2 Y X 1 2 2 0 = 3 = 0 3.4 (1)a= (2) (3) 3.5解: (1) (2) 3.6解: 3.7参见课本后面P227的答案 3.8 3.9解: X的边缘概率密度函数为: ①当时,, ②当时, Y的边缘概率密度函数为: 1当时,, 2当时, 3.10 (1)参见课本后面P227的答案 (2) 3.11参见课本后面P228的答案 3.12参见课本后面P228的答案 3.13 (1) 对于时,, 所以 对于时, 所以 3.14 XY 0 2 5 X的边缘分布 1 0.15 0.25 0.35 0.75 3 0.05 0.18 0.02 0.25 Y的边缘分布 0.2 0.43 0.37 1 由表格可知P{X=1;Y=2}=0.25≠P{X=1}P{Y=2}=0.3225 故 所以X与Y不独立 3.15 XY 1 2 3 X的边缘分布 1 2 a b +a+b Y的边缘分布 a+ b+ 1 由独立的条件则 可以列出方程 解得 3.16解 (1)在3.8中 当,时, 当或时,当或时, 所以,X与Y之间相互独立。 (2)在3.9中, 当,时, ,所以X与Y之间不相互独立。 3.17解: 故X与Y相互独立 3.18参见课本后面P228的答案 第四章数字特征 4.1解: ∵甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数,又∵两台机床的总的产量相同 ∴乙机床生产的零件的质量较好。 4.2解: X的所有可能取值为: 3,4,5 4.3参见课本230页参考答案 4.4解: 4.6参考课本230页参考答案 4.7解: 设途中遇到红灯次数为X,则 4.8解 500+1000 1500 4.9参见课本后面230页参考答案 4.10参见课本后面231页参考答案 4.11解: 设均值为,方差为,则X~N(,)根据题意有: 解得t=2即=12 所以成绩在60到84的概率为 4.12 4.13解: 4.14解: 设球的直径为X,则: 4.15参看课本后面231页答案 4.16解: 4.17解 ∵X与Y相互独立, ∴ 4.18,4.19,4.20参看课本后面231,232页答案 4.21设X表示10颗骰子出现的点数之和,表示第颗骰子出现的点数,则,且是 独立同分布的,又 所以 4.22参看课本后面232页答案 4.23 4.24 4.25 4.26因为X~N(0,4),Y~U(0,4)所以有Var(X)=4Var(Y)= 故: Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=4+= Var(2X-3Y)=4Var(X)+9Var(Y)= 4.27参看课本后面232页答案 4.28 后面4题不作详解 第五章极限理 5.3 解: 用表示每包大米的重量,,则, 5.4解: 因为服从区间[0,10]上的均匀分布, 5.5解: 方法1: 用表示每个部件的情况,则,, 方法2: 用X表示100个部件中正常工作的部件数,则 5.6略 第六章样本与统计 6.1 6.3.1证明: 由=+b可得,对等式两边求和再除以n有 由于 所以由可得 == 6.3.2因为 所以有 6.2证明: 6.3 (1) (2)由于 所以有 两边同时除以(n-1)可得即 6.4同例6.3.3可知 得查表可知=1.96又根据题意可知n=43 6.5解 (1)记这25个电阻的电阻值分别为,它们来自均值为=200欧姆,标准差为=10欧姆的正态分布的样本则根据题意有: (2)根据题意有 6.6解: (1)记一个月(30天)中每天的停机时间分别为,它们是来自均值为=4小时,标准差为=0.8小时的总体的样本。 根据题意有: (注: 当时,的值趋近于1,相反当时,其值趋近于0) (2)根据题意有: 6.7证明: 因为T,则,随机变量的密度函数为 显然,则为偶函数,则 6.8解: 记,,则XN(,),n=25故 6.9解: 记这100人的年均收入为,它们是来自均值为万元,标准差为万元的总体的样本,n=100则根据题意有: (1) (2) (3) 6.10解: 根据题意可知此样本是来自均值为,标准差为的总体,样本容量为n=5 (1)依题意有 (2)要求样本的最小值小于10概率,即5个数中至少有一个小于10的概率,首先计算每个样本小于10的概率: 设X是5个样本中小于10的样本个数则X服从二项分布B(5,0.1587)故有 即样本的最小值小于10的概率是0.5785. (3)同 (2)要求样本的最大值大于15的概率,即5个数中至少有一个大于15的概率,首先计算每个样本大于15的概率: 设X是5个样本中大于15的样本个数则X服从二项分布B(5,0.0668)故有 即样本的最大值大于15的概率是0.2923 第七章参数估计 7.1解因为: 是抽自二项分布B(m,p)的样本,故都独立同分布所以有 用样本均值代替总体均值,则p的矩估计为 7.2解: 用样本均值代替总体均值,则的矩估计为 由概率密度函数可知联合密度分布函数为: 对它们两边求对数可得 对求导并令其为0得 即可得的似然估计值为 7.3解: 记随机变量x服从总体为[0,]上的均匀分布,则 故的矩估计为 X的密度函数为故它的是似然函数为 要使达到最大,首先一点是示性函数的取值应该为1,其次是尽可能大。 由于是的单调减函数,所以的取值应该尽可能小,但示性函数为1决定了不能小于,因此给出的最大似然估计 (示性函数I=,=min{}=max{}) 7.4解: 记随机变量x服从总体为[,]上的均匀分布,则 所以的矩估计为 X的密度函数为故它的是似然函数为 要使达到最大,首先一点是示性函数的取值应该为1,其次是尽可能大。 由于是的单调减函数,所以的取值应该尽可能小,但示性函数为1决定了不能小于,因此给出的最大似然估计 7.5解: 似然函数为: 它的对数为: 对求偏导并令它等于零有 解得的似然估计值为 7.6解: 根据所给的概率密度函数是指数函数的密度函数可知 (1) 故这四个估计都是的无偏估计.. (2) 故有 7.7证明 (1)因为X服从[]上的均匀分布,故 故样本均值不是的无偏估计 (2)由 (1)可知的矩估计为 又故它是无偏估计. 7.8解;因为 要使最小则对关于c求一阶导并令其等于零可得 解得 因为对关于c求二阶导可得 故当时达到最小。 7.9解 (1)根据题意和所给的数据可得 ,,, 所以的置信区间为 (2) 即 所以的置信区间为 7.10解: 根据所给的数据计算: 则X和Y构成的总体的方差为 所以置信系数的置信区间为 = =[-0.002,0.006] 7.11解: 则比例p的区间估计为: = 7.12解: 根据题意有, 则的置信区间为: 十你若真见过那些强者打拼的样子,就一定会明白,那些人之所以能达到别人到不了的高度,全是因为他们吃过许多别人吃不了的苦。 这世上从来就没有横空出世的运气,只有不为人知的努力。
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