江苏省中考数学试题研究 第一部分 考点研究 第四章 三角形 第18课时 全等三角形练习.docx
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江苏省中考数学试题研究第一部分考点研究第四章三角形第18课时全等三角形练习
第18课时全等三角形
1.(2017盐城建湖月考)如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是()
第1题图
A.甲和乙B.乙和丙
C.只有乙D.只有丙
2.下列判断中,错误的是()
A.有两边对应相等的两个等腰三角形一定全等
B.有一边对应相等的两个等边三角形一定全等
C.有两角及其夹边对应相等的两个三角形一定全等
D.有两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形一定全等
3.(2017盐城东台期中)如图,在△ABC与△DEF中,已有条件AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF,不能添加的一组条件是()
第3题图
A.∠B=∠E,BC=EF
B.BC=EF,AC=DF
C.∠A=∠D,∠B=∠E
D.∠A=∠D,BC=EF
4.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是()
A.带①去B.带②去
C.带③去D.带①和②去
第4题图
5.(2017南通如皋模拟)如图,△ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,则对于结论:
①AC=AF,②∠FAB=∠EAB,③EF=BC,④∠EAB=∠FAC,其中正确结论的个数是()
第5题图
A.1个B.2个C.3个D.4个
6.(2018原创)在如图所示的5×5方格中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC是格点三角形(即顶点恰好是正方形的顶点)则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是()
A.1B.2C.3D.4
第6题图
7.(2017无锡模拟)已知:
如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6,延长BC到点E,使CE=2,连接DE,动点P从点B出发,以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当t的值为()秒时,△ABP和△DCE全等.
第7题图
A.1B.1或3C.1或7D.3或7
8.(2017无锡江阴模拟)如图,在正五边形ABCDE中,对角线分别相交于点A1、B1、C1、D1、E1.将所有全等三角形视为一类,称为一个“全等类”(如△ABC、△BCD和△CDE等都属于同一个全等类).则图中不同全等类的个数为()
A.3B.4C.5D.6
第8题图
9.(2017扬州广陵树人中学一模)如图,点A,E,F,D在同一直线上,若AB∥CD,AB=CD,AE=FD,则图中的全等三角形有()
第9题图
A.1对B.2对C.3对D.4对
10.(2017娄底)如图,在Rt△ABC与Rt△DCB中,已知∠A=∠D=90°,请你添加一个条件(不添加字母和辅助线),使Rt△ABC≌Rt△DCB,你添加的条件是.
第10题图
11.(2017南京玄武调研)工人师傅常用角尺平分一个任意角.作法如下:
如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合.过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线.这种做法的依据是.
第11题图
12.(2017扬州江都月考)如图,已知点P为∠AOB的角平分线上的一点,点D在边OA上,爱动脑筋的小刚经过仔细观察后,进行如下操作:
在边OB上取一点E,使得PE=PD,这时他发现∠OEP与∠ODP之间有一定的相等关系,请你写出∠OEP与∠ODP所有可能的数量关系.
第12题图
13.(2018原创)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,BC=3,点O为Rt△ABC内一点,连接AO、BO、CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,则OA+OB+OC=.
第13题图
14.(2016六盘水)我们知道:
“两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等”.但是,小亮发现:
当这两个三角形都是锐角三角形时,它们会全等,除小亮的发现之外,当这两个三角形都是时,它们也会全等;当这两个三角形其中一个三角形是锐角三角形,另一个是时,它们一定不全等.
15.(2017铜仁)如图,已知点E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上的两点,连接AE、CF.请你添加一个条件,使得△ABE≌△CDF,并证明.
第15题图
16.(2017淮安洪泽模拟)已知:
如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是点E、F.
求证:
△ADE≌△CDF.
第16题图
17.(2017新疆)如图,在△ABC与△BAD中,BC与AD相交于点O,∠1=∠2,CO=DO.
求证:
∠C=∠D.
第17题图
18.(2017黄冈)已知:
如图,∠BAC=∠DAM,AB=AN,AD=AM.求证:
∠B=∠ANM.
第18题图
19.(2017南充)如图,DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别是点E,F,DE=CF,AE=BF.
求证:
AC∥BD.
第19题图
20.(2017广安)如图,四边形ABCD是正方形,E、F分别是AB、AD上的一点,且BF⊥CE,垂足为G.求证:
AF=BE.
第20题图
21.(2017恩施州)如图,△ABC、△CDE均为等边三角形,连接BD、AE交于点O,BC与AE交于点P.求证:
∠AOB=60°.
第21题图
22.(2017哈尔滨)已知,△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,连接AE、BD交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.
(1)如图①,求证:
AE=BD;
(2)如图②,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图②中四对全等的直角三角形.
第22题图
23.(2017盐城亭湖二模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,DE⊥AB于点E.
(1)求证:
△ACD≌△AED;
(2)若AC=5,△DEB的周长为8,求△ABC的周长.
第23题图
24.(2017怀化)如图,四边形ABCD是正方形,△EBC是等边三角形.
(1)求证:
△ABE≌△DCE;
(2)求∠AED的度数.
第24题图
25.(2017南京二模)命题:
有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).
已知:
如图,△ABC中,∠B=∠C,
求证:
AB=AC.
三位同学作出了三种不同的辅助线,并完成了命题的证明.小刚的方法:
作∠BAC的平分线AD,可证△ABD≌△ACD,得AB=AC;小亮的方法:
作BC边上的高AD,可证△ABD≌△ACD,得AB=AC;小莉的方法:
作BC边上的中线AD.
(1)请你写出小刚与小亮方法中△ABD≌△ACD的理由:
;
(2)请你按照小莉的思路完成命题的证明.
第25题图
26.(2017宿迁沭阳外国语实验二模)如图所示,△ACB与△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,点D为AB边上一点.
(1)求证:
△BCD≌△ACE;
(2)若AE=12,DE=15,求AB的长度.
第26题图
27.注重开放探究(2017盐城模拟)
(1)问题发现
如图①,△ACB和△DEC均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.
填空:
①∠AEB的度数为;②线段AD,BE之间的数量关系为.
(2)拓展探究
如图②,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE,请判断∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由.
第27题图
答案
1.B 【解析】图甲不符合三角形全等的判定定理,即图甲和△ABC不全等;图乙符合SAS定理,即图乙和△ABC全等;图丙符合AAS定理,即图丙和△ABC全等;
2.A 【解析】A.有两边对应相等的两个等腰三角形不一定全等,可能这两边是两腰,错误;B.有一边对应相等的两个等边三角形一定全等,正确;C.有两角及其夹边对应相等的两个三角形一定全等,正确;D.有两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形一定全等,正确;
3.D 【解析】
(1)在△ABC和△DEF中,
,∴△ABC≌△DEF(SAS);故A正确;
(2)在△ABC和△DEF中,
,∴△ABC≌△DEF(SSS);故B正确;(3)在△ABC和△DEF中,
,∴△ABC≌△DEF(ASA);故C正确;(4)无法证明△ABC≌△DEF,故D错误.
4.C 【解析】A.带①去,仅保留了原三角形的一个角和部分边,不能得到与原来一样的三角形,故A选项错误;B.带②去,仅保留了原三角形的一部分边,也不能得到与原来一样的三角形,故B选项错误;C.带③去,不但保留了原三角形的两个角,还保留了其中一个边,符合ASA判定,故C选项正确;D.带①和②去,仅仅保留了原三角形的一个角和部分边,同样不能得到与原来一样的三角形,故D选项错误.
5.C 【解析】∵△ABC≌△AEF,∴AC=AF,故①正确;∠EAF=∠BAC,∴∠FAC=∠EAB≠∠FAB,故②错误;EF=BC,故③正确;∠EAB=∠FAC,故④正确;综上所述,结论正确的是①③④,共3个.
6.D 【解析】以BC为公共边的三角形有3个,以AB为公共边的三角形有0个,以AC为公共边的三角形有1个,共3+0+1=4个.
7.C 【解析】因为AB=CD,若∠ABP=∠DCE=90°,BP=CE=2,根据SAS证得△ABP≌△DCE,由题意得:
BP=2t=2,所以t=1,因为AB=CD,若∠BAP=∠DCE=90°,AP=CE=2,根据SAS证得△BAP≌△DCE,由题意得:
AP=16-2t=2,解得t=7.所以,当t的值为1或7秒时,△ABP和△DCE全等.
8.D 【解析】共有6类,
①△ABC≌△BCD≌△CDE≌△DEA≌△EAB,②△AD1B≌△AC1E≌△BE1C≌△CA1D≌△DB1E≌△AC1E,③△AC1D1≌△BD1E1≌△CE1A1≌△DB1A1≌△EB1C1,④△AD1E≌△AC1B≌△BE1A≌△BD1C≌△CA1B≌△DA1E≌△DB1C≌△CE1D≌△EC1D≌△EB1A,⑤△ADE1≌△BDC1≌△CED1,⑥△ADC≌△BDE≌△CAE≌△DAB≌△EBC,共6类.
9.C 【解析】∵AE=DF,∴AE+EF=DF+EF,∴AF=DE,∵AB∥CD,∴∠A=∠D,在△BAF和△CDE中,
,∴△BAF≌△CDE(SAS),在△BAE和△CDF中,
,∴△BAE≌△CDF(SAS),∴BE=CF,∠AEB=∠DFC,∴∠BEF=∠CFE,在△BEF和△CFE中,
,
∴△BEF≌△CFE(SAS),即全等三角形有3对.
10.AB=DC(答案不唯一) 【解析】答案不唯一,可以是AB=DC或BD=AC或∠ACB=∠DBC或∠ABC=∠DCB,以及∠ABD=∠DCA等.
11.SSS证明△COM≌△CON 【解析】由图可知,CM=CN,又OM=ON,OC为公共边,∴△COM≌△CON,∴∠AOC=∠BOC,即OC即是∠AOB的平分线.
12.∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180° 【解析】如解图,以O为圆心,以OD为半径作弧,交OB于E2,连接PE2,∵在△E2OP和△DOP中,
,∴△E2OP≌△DOP(SAS),∴E2P=PD,即此时点E2符合条件,此时∠OE2P=∠ODP;以P为圆心,以PD为半径作弧,交OB于另一点E1,连接PE1,则此点E1也符合条件PD=PE1,∵PE2=PE1=PD,∴∠PE2E1=∠PE1E2,∵∠OE1P+∠E2E1P=180°,∵∠OE2P=∠ODP,∴∠OE1P+∠ODP=180°,∴∠OEP与∠ODP所有可能的数量关系是:
∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°.
第12题解图
13.
【解析】如解图,∵∠ACB=90°,AC=1,BC=
,∴tan∠ABC=
=
=
,∴∠ABC=30°,∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°,∴∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°,∴A′B⊥CB,∵∠ACB=90°,AC=1,∠ABC=30°,∴AB=2AC=2,∵A′B=AB=2,BO=BO′,A′O′=AO,∴△BOO′是等边三角形,∴BO=OO′,∠BOO′=∠BO′O=60°,∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°,∴C、O、A′、O′四点共线,在Rt△A′BC中,A′C=
=
,∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C=
.
第13题解图
14.直角三角形,直角三角形或钝角三角形 【解析】已知:
△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形,AB=A1B1,BC=B1C1,∠C=∠C1.求证:
△ABC≌△A1B1C1.证明:
过B作BD⊥AC于D,过B1作B1D1⊥A1C1于D1,则∠BDA=∠B1D1A1=∠BDC=∠B1D1C1=90°,在△BDC和△B1D1C1中,
,∴△BDC≌△B1D1C1,∴BD=B1D1,在Rt△BDA和Rt△B1D1A1中,
,∴Rt△BDA≌Rt△B1D1A1(HL),∴∠A=∠A1,在△ABC和△A1B1C1中,
,∴△ABC≌△A1B1C1(AAS).同理可得:
当这两个三角形都是直角三角形时,它们也会全等.如解图:
△ACD与△ACB中,CD=CB,AC=AC,∠A=∠A,但△ACD与△ACB不全等.故当这两个三角形其中一个三角形是锐角三角形,另一个是钝角三角形时,它们一定不全等.
第14题解图
15.证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠ABE=∠CDF,
∵BE=DF,
∴△ABE≌△CDF(SAS);
16.证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=CD;∠A=∠C,
又∵DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,
∴∠AED=∠CFD=90°,
在△ADE和△CDF中,
∵
,
∴△ADE≌△CDF(AAS).
17.证明:
∵∠1=∠2,
∴AO=BO,
在△AOC和△BOD中,
,
∴△AOC≌△BOD(SAS),
∴∠C=∠D.
18.解:
∵∠BAC=∠DAM,即∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠NAM,
∴∠BAD=∠NAM,
在△ABD和△ANM中,
,
∴△ABD≌△ANM(SAS),
∴∠B=∠ANM.
19.证明:
∵DE⊥AB,CF⊥AB,
∴∠AFC=∠BED=90°,
又∵AE=BF,
∴AE+EF=BF+EF,
∴AF=BE.
在△ACF和△BDE中,
,
∴△ACF≌△BDE(SAS),
∴∠A=∠B,
∴AC∥BD.
20.证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠A=∠ABC=90°,
∴∠AFB+∠ABF=90°,
∵BF⊥CE,垂足为G,
∴∠BEC+∠ABF=90°,
∴∠AFB=∠BEC,
在△AFB和△BEC中,
,
∴△AFB≌△BEC(AAS),
∴AF=BE.
21.证明:
∵∠ACB=∠ECD=60°,
∴∠ACE=∠BCD,
在△ACE与△BCD中,
,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴∠CAE=∠CBD,
又∵∠AOB+∠CBD+∠BPO=180°,
∠BCA+∠CAE+∠APC=180°,
∠BPO=∠APC,
∴∠AOB=∠BCA=60°.
22.
(1)证明:
∵△ACB和△DCE是等腰直角三角形,
∴∠ACB=∠DCE=90°,
∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,
∴∠BCD=∠ACE,
在△ACE和△BCD中,
,
∴△ACE≌△BCD(SAS),
∴AE=BD;
(2)解:
△ACB≌△DCE,△AON≌△DOM,△AOB≌△DOE,△NCB≌△MCE.
23.
(1)证明:
因为AD平分∠CAB,∠C=90°,DE⊥AB,
所以DC=DE,
在△ACD和△AED中,
,
∴△ACD≌△AED(HL).
(2)解:
由
(1)得△ACD≌△AED,
所以AE=AC=5,CD=ED,
C△ABC=AC+AB+BC
=AC+(AE+EB)+(BD+DC)
=AC+AC+(EB+BD+DE)
=AC+AC+C△DEB
=5+5+8
=18.
24.
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CD,∠ABC=∠DCB=90°,
∵△EBC是等边三角形,
∴EB=EC,∠EBC=∠ECB=60°,
∴∠ABC-∠EBC=∠DCB-∠ECB=30°,即∠ABE=∠DCE,
在△ABE和△DCE中,
,
∴△ABE≌DCE(SAS);
(2)解:
∵四边形ABCD是正方形,△EBC是等边三角形,
∴△ABE、△CDE、△ADE都是等腰三角形,
∵∠ABE=∠DCE=30°,
∴∠EAB=(180°-30°)÷2=75°,
同理∠CDE=75°,
∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°,
∴∠AED=180°-2×15°=150°.
25.解:
(1)AAS;
(2)证明:
如解图,过点D作DE⊥AB于点E,过点D作DF⊥AC于点F.
∵∠BED=∠CFD=90°,∠B=∠C,BD=CD,∴△BDE≌△CDF(AAS),
∴BE=CF,DE=DF,
在Rt△AED和Rt△AFD中,∠AED=∠AFD=90°,
∵AD=AD,DE=DF,
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),
∴AE=AF,
∴AE+BE=AF+CF,
即AB=AC.
第25题解图
26.解:
(1)证明:
∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形,
∴CE=CD,AC=BC,∠ACB=∠ECD=90°,∠B=∠BAC=45°,
∴∠ACE=∠BCD=90°-∠ACD,
在△ACE和△BCD中,
,
∴△BCD≌△ACE(SAS);
(2)∵△BCD≌△ACE,
∴BD=AE=12,∠EAC=∠B=45°,
∴∠EAD=45°+45°=90°,
在Rt△EAD中,由勾股定理得:
AD=
=
=9,
∴AB=BD+AD=12+9=21.
27.解:
(1)①∵∠ACB=∠DCE,
∴∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,
,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE,∠CEB=∠ADC=180°-∠CDE=120°,
∴∠AEB=∠CEB-∠CED=60°;
②∵△ACD≌△BCE,
∴AD=BE.
(2)猜想:
①∠AEB=90°,②AE=BE+2CM,
理由:
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,
∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,
,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等腰直角三角形,
∴∠CDE=∠CED=45°,
∵点A,D,E在同一直线上,
∴∠ADC=135°,
∴∠BEC=135°,
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°,
∵CD=CE,CM⊥DE,
∴DM=ME,
∵∠DCE=90°,
∴DM=ME=CM,
∴AE=AD+DE=BE+2CM.
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