中考专题最值问题之将军饮马.docx
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中考专题最值问题之将军饮马
【模型解析】
中考专题——最值问题之将军饮马
班级姓名.
总结:
以上四图为常见的轴对称类最短路程问题,最后都转化到:
“两点之间,线段最短”解决。
特点:
①动点在直线上;②起点,终点固定;
方法:
作定点关于动点所在直线的对称点。
【例题分析】
例1.如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上,顶点B的坐标为(3,3),
点C的坐标为(
1,0),点
2
P为斜边OB上的一动点,则PA+PC的最小值为.
例2.如图,在五边形ABCDE中,∠BAE=120°,∠B=∠E=90°,AB=BC=1,AE=DE=2,在BC、DE上分别找一点M、N.
(1)当△AMN的周长最小时,∠AMN+∠ANM=;
(2)求△AMN的周长最小值.
例3.如图,正方形ABCD的边长为4,点E在边BC上且CE=1,长为2的线段MN在AC上运动.
(1)求四边形BMNE周长最小值;
(2)
当四边形BMNE的周长最小时,则tan∠MBC的值为.
例4.在平面直角坐标系中,已知点A(一2,0),点B(0,4),点E在OB上,且∠OAE=∠OBA.如图,将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′,连接A'B、BE'.当AB+BE'取得最小值时,求点E'的坐标.
例5.如图,已知正比例函数y=kx(k>0)的图像与x轴相交所成的锐角为70°,定点A的坐标为(0,4),P为y轴上的一个动点,M、N为函数y=kx(k>0)的图像上的两个动点,则AM+MP+PN的最小值为.
【巩固训练】
1.
如图1所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为.
图1图2图3图4
2.如图2,在菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,点E、F、P分别是边AB、BC、AC上的动点,PE+PF的最小值是.
3.如图3,在边长为2的等边△ABC中,D为BC的中点,E是AC边上一点,则BE+DE的最小值为.
4.如图4,钝角三角形ABC的面积为9,最长边AB=6,BD平分∠ABC,点M、N分别是BD、BC
上的动点,则CM+MN的最小值为.
5.如图5,在△ABC中,AM平分∠BAC,点D、E分别为AM、AB上的动点,
(1)若AC=4,S△ABC=6,则BD+DE的最小值为
(2)若∠BAC=30°,AB=8,则BD+DE的最小值为.
(3)若AB=17,BC=10,CA=21,则BD+DE的最小值为.
6.
如图6,在△ABC中,AB=BC=4,S△ABC=4一点,则PK+QK的最小值为.
,点P、Q、K分别为线段AB、BC、AC上任意
图6图7图8图9
7.如图7,AB是⊙O的直径,AB=8,点M在⊙O上,∠MAB=20°,N是弧MB的中点,P是直径AB上的一动点,则PM+PN的最小值为.
8.如图8,在锐角△ABC中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是
AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是.
9.如图9,圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为
cm.
10.如图10,菱形OABC中,点A在x轴上,顶点C的坐标为(1,
OC、OB上,则CE+DE+DB的最小值是.
),动点D、E分别在射线
图10图11图12图13
11.
如图11,点A(a,1)、B(-1,b)都在双曲线y=-3(x<0)上,点P、Q分别是x轴、y轴上
x
的动点,当四边形PABQ的周长取最小值时,PQ所在直线的解析式是.
12.如图12,点P是∠AOB内任意一点,OP=5cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,△PMN周长的最小值是5cm,则∠AOB的度数是.
13.如图13,∠AOB=30°,点M、N分别在边OA、OB上,且OM=1,ON=3,点P、Q分别在边OB、OA上,则MP+PQ+QN的最小值是.
14.如图14,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB边的中点,过D作DE⊥BC于点E.
(1)点P是边BC上的一个动点,在线段BC上找一点P,使得AP+PD最小,在下图中画出点P;
(2)在
(1)的条件下,连接CD交AP于点Q,求AQ与PQ的数量关系;
图14
15.在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,G为边AD的中点.
(1)如图1,若E为AB上的一个动点,当△CGE的周长最小时,求AE的长.
(2)如图2,若E、F为边AB上的两个动点,且EF=4,当四边形CGEF的周长最小时,求AF
的长.
16.如图,抛物线y=-1x2+2x+4交y轴于点B,点A为x轴上的一点,OA=2,过点A作直线MN⊥AB
2
交抛物线与M、N两点.
(1)求直线AB的解析式;
(2)将线段AB沿y轴负方向平移t个单位长度,得到线段A1B1,求MA1+MB1取最小值时实数t
的值.
中考专题——最值问题之将军饮马参考答案
例1.解:
作A关于OB的对称点D,连接CD交OB于P,连接AP,过D作DN⊥OA于N,则此时PA+PC的值最小,
∵DP=PA,∴PA+PC=PD+PC=CD,∵B(3,
),∴AB=
,OA=3,
∵tan∠AOB=AB=3,∴∠AOB=30°,∴OB=2AB=2,
OA3
1133
由三角形面积公式得:
×OA×AB=
2
×OB×AM,∴AM=
2
,∴AD=2×
2
=3,
2
∵∠AMB=90°,∠B=60°,∴∠BAM=30°,∵∠BAO=90°,∴∠OAM=60°,
∵DN⊥OA,∴∠NDA=30°,∴AN=1AD=
2
3,由勾股定理得:
2
DN=33,
2
∵C(
1,0),∴CN=3﹣1﹣
22
3=1,在Rt△DNC中,由勾股定理得:
DC=,
22
即PA+PC的最小值是31.
2
例2.解:
作A关于BC和ED的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于M,交ED于N,则A′A″即为
△AMN的周长最小值.
⑴作EA延长线的垂线,垂足为H,∠BAE=120°,∴∠AA′A″+∠AA″A′=60°,
∠AA′A″=∠A′AM,∠AA″A′=∠EAN,∴∠CAN=120°-∠AA′A″-∠AA″A′=60°,也就是说∠AMN+∠ANM=180°-60°=120°.
⑵过点A′作EA延长线的垂线,垂足为H,
∵AB=BC=1,AE=DE=2,∴AA′=2BA=2,AA″=2AE=4,则Rt△A′HA中,∵∠EAB=120°,∴∠HAA′=60°,
∵A′H⊥HA,∴∠AA″H=30°,∴AH=1AA′=1,∴A′H=
2
,A″H=1+4=5,
∴A′A″=2,
例3.解:
作EF∥AC且EF=于P,
,连结DF交AC于M,在AC上截取MN=
,延长DF交BC
作FQ⊥BC于Q,作出点E关于AC的对称点E′,则CE′=CE=1,将MN平移至E′F′处,
则四边形MNE′F′为平行四边形,
当BM+EN=BM+FM=BF′时,四边形BMNE的周长最小,由∠FEQ=∠ACB=45°,可求得FQ=EQ=1,
∵∠DPC=∠FPQ,∠DCP=∠FQP,∴△PFQ∽△PDC,
∴PQ
PQ+QE+EC
=PQ,∴
CD
PQPQ+2
1
=,解得:
PQ=
4
2,∴PC=8,
33
由对称性可求得tan∠MBC=tan∠PDC=2.
3
例4.【提示】
将△AEO向右平移转化为△AEO不动,点B向左平移,则点B移动的轨迹为一平行于x轴的直线,所以作点E关于该直线的对称点E1,连接AE1,与该直线交点F即为最小时点B的位置,求出BF长度即可求出点E向右平移的距离.
例5.解:
如图所示,直线OC、y轴关于直线y=kx对称,直线OD、直线y=kx关于y轴对称,点
A′是点A关于直线y=kx的对称点.
作A′E⊥OD垂足为E,交y轴于点P,交直线y=kx于M,作PN⊥直线y=kx垂足为N,
∵PN=PE,AM=A′M,∴AM+PM+PN=A′M+PM+PE=A′E最小(垂线段最短),在RT△A′EO中,∵∠A′EO=90°,OA′=4,∠A′OE=3∠AOM=60°,
∴OE=1OA′=2,A′E==2.
2
∴AM+MP+PN的最小值为2.
【巩固训练】答案
1.解:
连接BD,
∵点B与D关于AC对称,∴PD=PB,∴PD+PE=PB+PE=BE最小.
∵正方形ABCD的面积为12,∴AB=2又∵△ABE是等边三角形,∴BE=AB=2
,
,故所求最小值为2.
2.解:
∵四边形ABCD是菱形,对角线AC=6,BD=8,∴AB=5,
作E关于AC的对称点E′,作E′F⊥BC于F交AC于P,连接PE,则E′F即为PE+PF的最
小值,∵1⋅AC⋅BD=AD⋅E′F,∴E′F=24,∴PE+PF的最小值为24.
255
3.解:
作B关于AC的对称点B′,连接BB′、B′D,交AC于E,此时BE+ED=B′E+ED=B′D,根据两点之间线段最短可知B′D就是BE+ED的最小值,
∵B、B′关于AC的对称,∴AC、BB′互相垂直平分,∴四边形ABCB′是平行四边形,
∵三角形ABC是边长为2,D为BC的中点,∴AD⊥BC,AD=,BD=CD=1,BB′=2AD=2,
作B′G⊥BC的延长线于G,∴B′G=AD=,
在Rt△B′BG中,BG=3,∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2,在Rt△B′DG中,B′D=.故BE+ED的最小值为7.
4.解:
过点C作CE⊥AB于点E,交BD于点M,过点M作MN⊥BC于N,
∵BD平分∠ABC,ME⊥AB于点E,MN⊥BC于N,∴MN=ME,
∴CE=CM+ME=CM+MN是最小值.
∵三角形ABC的面积为9,AB即CM+MN的最小值为3.
=6,∴1
2
×6⋅CE=9,∴CE=3.
5.
提示:
作点E关于AM的对称点E′,BH⊥AC于H,易知BD+DE的最小值即为BH的长.答案:
(1)3;
(2)4;(3)8.
6.解:
如图,过A作AH⊥BC交CB的延长线于H,
∵AB=CB=4,S△ABC=4,∴AH=2,
∴cos∠HAB=AH=23=3,∴∠HAB=30°,∴∠ABH=60°,∴∠ABC=120°,
AB42
∵∠BAC=∠C=30°,
作点P关于直线AC的对称点P′,过P′作P′Q⊥BC于Q交AC于K,则P′Q的长度=PK+QK的最小值,
∴∠P′AK=∠BAC=30°,∴∠HAP′=90°,∴∠H=∠HAP′=∠P′QH=90°,
∴四边形AP′QH是矩形,∴P′Q=AH=2,
即PK+QK的最小值为2.
7.解:
作点N关于AB的对称点N′,连接OM、ON、ON′、MN′,
则MN′与AB的交点即为PM+PN的最小时的点,PM+PN的最小值=MN′,
∵∠MAB=20°,∴∠MOB=2∠MAB=2×20°=40°,
∵N是弧MB的中点,∴∠BON=1
2
∠MOB=
1×40°=20°,
2
由对称性,∠N′OB=∠BON=20°,∴∠MON′=∠MOB+∠N′OB=40°+20°=60°,
∴△MON′是等边三角形,∴MN′=OM=OB=1AB=1⨯8=4,
22
∴PM+PN的最小值为4,
8.解:
如图,作BH⊥AC,垂足为H,交AD于M′点,过M′点作M′N′⊥AB,垂足为N′,则BM′+M′N′为所求的最小值.
∵AD是∠BAC的平分线,∴M′H=M′N′,∴BH是点B到直线AC的最短距离,
∵AB=4,∠BAC=45°,∴BH=AB⋅sin45°=4×2=2.
2
∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=2.
9.解:
沿过A的圆柱的高剪开,得出矩形EFGH,
过C作CQ⊥EF于Q,作A关于EH的对称点A′,连接A′C交EH于P,连接AP,则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离,
∵AE=A′E,A′P=AP,∴AP+PC=A′P+PC=A′C,
∵CQ=
1×18
2
cm=9cm,A′Q=12cm﹣4cm+4cm=12cm,
在Rt△A′QC中,由勾股定理得:
A′C=15cm,故答案为:
15.
10.解:
连接AC,作B关于直线OC的对称点E′,连接AE′,交OC于D,交OB于E,此时CE+DE+BD的值最小,
∵四边形OCBA是菱形,∴AC⊥OB,AO=OC,即A和C关于OB对称,
∴CE=AE,∴DE+CE=DE+AE=AD,
∵B和E′关于OC对称,∴DE′=DB,∴CE+DE+DB=AD+DE′=AE′,
过C作CN⊥OA于N,∵C(1,),∴ON=1,CN=,
由勾股定理得:
OC=2,即AB=BC=OA=OC=2,∴∠CON=60°,∴∠CBA=∠COA=60°,
∵四边形COAB是菱形,∴BC∥OA,∴∠DCB=∠COA=60°,
∵B和E′关于OC对称,∴∠BFC=90°,∴∠E′BC=90°﹣60°=30°,
∴∠E′BA=60°+30°=90°,CF=1BC=1,由勾股定理得:
BF=
2
=E′F,
在Rt△EBA中,由勾股定理得:
AE′=4,即CE+DE+DB的最小值是4.
11.解:
把点A(a,1)、B(﹣1,b)代入y=﹣3(x<0)得a=﹣3,b=3,则A(﹣3,1)、B(﹣1,
x
3),作A点关于x轴的对称点C,B点关于y轴的对称点D,所以C点为(﹣3,﹣1),D点为(1,
3),连结CD分别交x轴、y轴于P点、Q点,此时四边形PABQ的周长最小,
设直线CD的解析式为y=kx+b,则⎧-3k+b=-1,解得⎧k=1,
所以直线CD的解析式为y=x+2.
⎨k+b=3
⎨b=2
12.解:
分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,分别交OA、OB于点M、N,连接OC、OD、PM、PN、MN,如图所示:
∵点P关于OA的对称点为D,关于OB的对称点为C,∴PM=DM,OP=OD,∠DOA=∠POA;
∵点P关于OB的对称点为C,∴PN=CN,OP=OC,∠COB=∠POB,
∴OC=OP=OD,∠AOB=
1∠COD,
2
∵△PMN周长的最小值是5cm,∴PM+PN+MN=5,∴DM+CN+MN=5,即CD=5=OP,
∴OC=OD=CD,即△OCD是等边三角形,∴∠COD=60°,∴∠AOB=30°;
13解:
作M关于OB的对称点M′,作N关于OA的对称点N′,连接M′N′,即为MP+PQ+QN的最小值.
根据轴对称的定义可知:
∠N′OQ=∠M′OB=30°,∠ONN′=60°,
∴△ONN′为等边三角形,△OMM′为等边三角形,∴∠N′OM′=90°,
∴在Rt△M′ON′中,M′N′=
.故答案为.
14.解:
(1)作点A关于BC的对称点A′,连DA′交BC于点P.
(2)由
(1)可证得PA垂直平分CD,∴AQ=CQ=3PQ
15.解:
(1)∵E为AB上的一个动点,
∴作G关于AB的对称点M,连接CM交AB于E,那么E满足使△CGE的周长最小;
∵在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,G为边AD的中点,∴AG=AM=4,MD=12,
而AE∥CD,∴△AEM∽△DCM,∴AE:
CD=MA:
MD,∴AE=CD⨯MA=2;
MD
(2)∵E为AB上的一个动点,
∴如图,作G关于AB的对称点M,在CD上截取CH=4,然后连接HM交AB于E,接着在EB上截取EF=4,那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小.
∵在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,G为边AD的中点,
∴AG=AM=4,MD=12,而CH=4,∴DH=2,
而AE∥CD,∴△AEM∽△DHM,∴AE:
HD=MA:
MD,∴AE=HD⨯MA
MD
=2,
3
∴AF
=4+
2=14.
33
16.解:
(1)依题意,易得B(0,4),A(2,0),则AB解析式:
y=-2x+4
(2)∵AB⊥MN
∴直线MN:
y=1x-1
2
⎧y=-1x2+2x+4
⎪
与抛物线联立可得:
⎨
⎪y=
⎩
2
1x-1
2
解得:
M(-2,-2)
将AB向负方向平移t个单位后,A1(2,-t),B1(0,4-t)则A1关于直线x=-2的对称点A2为(-6,-t)
当A2、M、B1三点共线时,MA1+MB1取最小值
∴t=14
3
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