复变函数14套题目和答案 复变函数作业答案.docx
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复变函数14套题目和答案复变函数作业答案
复变函数14套题目和答案复变函数作业答案
《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题
(一)一、判断题(20分):
1.若f(z)在z0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z0解析.
()2.有界整函数必在整个复平面为常数.
()3.若收敛,则与都收敛.
()4.若f(z)在区域D内解析,且,则(常数).
()5.若函数f(z)在z0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.
()6.若z0是的m阶零点,则z0是1/的m阶极点.
()7.若存在且有限,则z0是函数f(z)的可去奇点.
()8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数,则.
()9.
若f(z)在区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C.
()10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D内恒等于常数.()二.填空题(20分)1.
__________.(为自然数)2.
_________.
3.函数的周期为___________.
4.设,则的孤立奇点有__________.
5.幂级数的收敛半径为__________.
6.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.
7.若,则______________.
8.________,其中n为自然数.
9.
的孤立奇点为________
.
10.若是的极点,则.
三.计算题(40分):
1.
设,求在内的罗朗展式.
2.
3.
设,其中,试求4.
求复数的实部与虚部.
四.
证明题.(20分)1.
函数在区域内解析.
证明:
如果在内为常数,那么它在内为常数.
2.
试证:
在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线上岸取正值的那支在的值.
《复变函数》考试试题
(二)1、判断题.(20分)1.
若函数在D内连续,则u(_,y)与v(_,y)都在D内连续.
()2.
cosz与sinz在复平面内有界.
()3.
若函数f(z)在z0解析,则f(z)在z0连续.
()4.
有界整函数必为常数.
()5.
如z0是函数f(z)的本性奇点,则一定不存在.
()6.
若函数f(z)在z0可导,则f(z)在z0解析.
()7.
若f(z)在区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C.
()8.
若数列收敛,则与都收敛.
()9.
若f(z)在区域D内解析,则|f(z)|也在D内解析.
()10.
存在一个在零点解析的函数f(z)使且.
()二.
填空题.
(20分)1.
设,则2.设,则________.
3.
_________.(为自然数)4.
幂级数的收敛半径为__________
.
5.
若z0是f(z)的m阶零点且m>0,则z0是的_____零点.
6.
函数ez的周期为__________.
7.
方程在单位圆内的零点个数为________.
8.
设,则的孤立奇点有_________.
9.
函数的不解析点之集为________.
10.
.
三.
计算题.
(40分)1.
求函数的幂级数展开式.
2.
在复平面上取上半虚轴作割线.
试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.
3.
计算积分:
,积分路径为
(1)单位圆()的右半圆.
4.
求.
四.
证明题.
(20分)1.
设函数f(z)在区域D内解析,试证:
f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析.
2.
试用儒歇定理证明代数基本定理.
《复变函数》考试试题(三)一.
判断题.
(20分).
1.
cosz与sinz的周期均为.
()2.
若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件,则f(z)在z0解析.
()3.
若函数f(z)在z0处解析,则f(z)在z0连续.
()4.
若数列收敛,则与都收敛.
()5.
若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数,则数f(z)在区域D内为常数.
()6.
若函数f(z)在z0解析,则f(z)在z0的某个邻域内可导.
()7.
如果函数f(z)在上解析,且,则.
()8.
若函数f(z)在z0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.
()9.
若z0是的m阶零点,则z0是1/的m阶极点.
()10.
若是的可去奇点,则.
()二.
填空题.
(20分)1.
设,则f(z)的定义域为___________.
2.
函数ez的周期为_________.
3.
若,则__________.
4.
___________.
5.
_________.(为自然数)6.
幂级数的收敛半径为__________.
7.
设,则f(z)的孤立奇点有__________.
8.
设,则.
9.
若是的极点,则.
10.
.
三.
计算题.
(40分)1.
将函数在圆环域内展为Laurent级数.
2.
试求幂级数的收敛半径.
3.
算下列积分:
,其中是.
4.
求在|z|<1内根的个数.
四.
证明题.
(20分)1.
函数在区域内解析.
证明:
如果在内为常数,那么它在内为常数.
2.
设是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个正数R及M,使得当时,证明是一个至多n次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题(四)一.
判断题.
(20分)1.
若f(z)在z0解析,则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件.
()2.
若函数f(z)在z0可导,则f(z)在z0解析.
()3.
函数与在整个复平面内有界.
()4.
若f(z)在区域D内解析,则对D内任一简单闭曲线C都有.
()5.
若存在且有限,则z0是函数的可去奇点.
()6.
若函数f(z)在区域D内解析且,则f(z)在D内恒为常数.
()7.
如果z0是f(z)的本性奇点,则一定不存在.
()8.
若,则为的n阶零点.
()9.
若与在内解析,且在内一小弧段上相等,则.
()10.
若在内解析,则.
()二.
填空题.
(20分)1.
设,则.
2.
若,则______________.
3.
函数ez的周期为__________.
4.
函数的幂级数展开式为__________
5.
若函数f(z)在复平面上处处解析,则称它是___________.
6.
若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D内的_____________.
7.
设,则.
8.
的孤立奇点为________.
9.
若是的极点,则.
10.
_____________.
三.
计算题.
(40分)1.
解方程.
2.
设,求3.
.
4.
函数有哪些奇点?
各属何类型(若是极点,指明它的阶数).
四.
证明题.
(20分)一.
证明:
若函数在上半平面解析,则函数在下半平面解析.
2.
证明方程在内仅有3个根.
《复变函数》考试试题(五)二.
判断题.(20分)1.
若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数,则它在D内有任意阶导数.
()2.
若函数f(z)在区域D内的解析,且在D内某个圆内恒为常数,则在区域D内恒等于常数.
()3.
若f(z)在区域D内解析,则|f(z)|也在D内解析.
()4.
若幂级数的收敛半径大于零,则其和函数必在收敛圆内解析.
()5.
若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件,则f(z)在z0解析.
()6.
若存在且有限,则z0是f(z)的可去奇点.
()7.
若函数f(z)在z0可导,则它在该点解析.
()8.
设函数在复平面上解析,若它有界,则必为常数.
()9.
若是的一级极点,则.
()10.
若与在内解析,且在内一小弧段上相等,则.
()二.
填空题.(20分)1.
设,则.
2.
当时,为实数.
3.
设,则.
4.
的周期为___.
5.
设,则.
6.
.
7.
若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D内的_____________。
8.
函数的幂级数展开式为_________.
9.
的孤立奇点为________.
10.
设C是以为a心,r为半径的圆周,则.(为自然数)三.
计算题.
(40分)1.
求复数的实部与虚部.
2.
计算积分:
,在这里L表示连接原点到的直线段.
3.
求积分:
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