学年高中数学 第1章 常用逻辑用语 14 全称量词与存在量词同步精品学案 新人教A版选修21.docx
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学年高中数学第1章常用逻辑用语14全称量词与存在量词同步精品学案新人教A版选修21
§1.4 全称量词与存在量词
知识点一 全称命题与特称命题的判断
判断下列语句是全称命题,还是特称命题:
(1)凸多边形的外角和等于360°;
(2)有的向量方向不定;
(3)对任意角α,都有sin2α+cos2α=1;
(4)有些素数的和仍是素数;
(5)若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线互相垂直.
分析 先看是否有全称量词和存在量词,当没有时,要结合命题的具体意义进行判断.
解
(1)可以改写为所有的凸多边形的外角和等于360°,故为全称命题.
(2)含有存在量词“有的”,故是特称命题.
(3)含有全称量词“任意”,故是全称命题.
(4)含有存在量词“有些”,故为特称命题.
(5)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称命题.
知识点二 判断全称或特称命题的真假
试判断以下命题的真假:
(1)∀x∈R,x2+2>0;
(2)∀x∈N,x4≥1;
(3)∃x∈Z,x3<1;
(4)∃x∈Q,x2=3.
分析 要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,却只要能举出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).
要判定一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个x=x0,使p(x0)成立即可;否则,这一特称命题就是假命题.
解
(1)由于∀x∈R,都有x2≥0,因而有x2+2≥2>0,
即x2+2>0.所以命题“∀x∈R,x2+2>0”是真命题.
(2)由于0∈N,当x=0时,x4≥1不成立.
所以命题“∀x∈N,x4≥1”是假命题.
(3)由于-1∈Z,当x=-1时,能使x3<1.
所以命题“∃x∈Z,x3<1”是真命题.
(4)由于使x2=3成立的数只有±
,而它们都不是有理数.因此,没有任何一个有理数的平方能等于3.
所以命题“∃x∈Q,x2=3”是假命题.
知识点三 全称或特称命题的否定
写出下列命题的否定,并判断其真假:
(1)p:
∀x∈R,x2-x+
≥0;
(2)q:
所有的正方形都是矩形;
(3)r:
∃x∈R,x2+2x+2≤0;
(4)s:
至少有一个实数x,使x3+1=0.
解
(1)綈p:
∃x∈R,x2-x+
<0.(假)
这是由于∀x∈R,x2-x+
=
2≥0恒成立.
(2)綈q:
至少存在一个正方形不是矩形.(假)
(3)綈r:
∀x∈R,x2+2x+2>0.(真)
这是由于∀x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0成立.
(4)綈s:
∀x∈R,x3+1≠0.(假)
这是由于x=-1时,x3+1=0.
考题赏析
1.(海南,宁夏高考)已知命题p:
∀x∈R,sinx≤1,则( )
A.綈p:
∃x∈R,sinx≥1
B.綈p:
∀x∈R,sinx≥1
C.綈p:
∃x∈R,sinx>1
D.綈p:
∀x∈R,sinx>1
解析 命题p是全称命题,全称命题的否定是特称命题.
答案 C
2.(山东高考)命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是( )
A.不存在x∈R,x3-x2+1≤0
B.存在x∈R,x3-x2+1≤0
C.存在x∈R,x3-x2+1>0
D.对任意的x∈R,x3-x2+1>0
解析 全称命题的否定是特称命题.
答案 C
1.给出下列几个命题:
①至少有一个x0,使x
+2x0+1=0成立;
②对任意的x,都有x2+2x+1=0成立;
③对任意的x,都有x2+2x+1=0不成立;
④存在x0,使x
+2x0+1=0成立.
其中是全称命题的个数为( )
A.1B.2C.3D.0
答案 B
解析 命题②③都含有全称量词“任意的”,故②③是全称命题.
2.将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题,下列说法正确的是( )
A.∀x,y∈R,都有x2+y2≥2xy
B.∃x0,y0∈R,使x
+y
≥2x0y0
C.∀x>0,y>0,都有x2+y2≥2xy
D.∃x0<0,y0<0,使x
+y
≤2x0y0
答案 A
3.全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是( )
A.所有被5整除的整数都不是奇数
B.所有奇数都不能被5整除
C.存在一个被5整除的整数不是奇数
D.存在一个奇数,不能被5整除
答案 C
解析 全称命题的否定是特称命题.
4.已知命题p:
对任意x∈R,有cosx≤1,则( )
A.綈p:
存在x∈R,使cosx≥1
B.綈p:
对任意x∈R,有cosx≥1
C.綈p:
存在x∈R,使cosx>1
D.綈p:
对任意x∈R,有cosx>1
答案 C
5.已知命题p:
“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:
“∃x∈R,x2+2ax+2-a=0”,则命题“p且q”是真命题的充要条件( )
A.a≤-2或a=1B.a≤-2或1≤a≤2
C.a≥1D.-2≤a≤1
答案 A
解析 p真即a≤x2在1≤x≤2范围内恒成立,因x2∈[1,4],所以a≤1;
q真等价于Δ=4a2-4(2-a)≥0恒成立.
即a2+a-2≥0.所以a≥1或a≤-2.
要使p且q为真则a的取值范围为:
a=1或a≤-2,故选A.
6.命题“∀n∈N*,∃m∈N,使m2 答案 ∃n∈N*,∀m∈N,使m2≥n 7.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称命题是________. 答案 ∀a,b∈R,使a2+b2+2ab=(a+b)2 8.用符号“∀”与“∃”表示下面的命题: (1)实数的绝对值大于等于0; (2)存在实数对,使两数的平方和小于1; (3)任意的实数a,b,c,满足a2+b2+c2≥ab+ac+bc. 解 (1)∀x∈R,|x|≥0. (2)∃x0,y0∈R,使x +y <1. (3)∀a,b,c∈R,a2+b2+c2≥ab+ac+bc. 9.写出下列命题的否定: (1)若一个四边形是菱形,则它的四条边相等; (2)被6整除的数能被4整除; (3)∀x∈R,x2-3≠0; (4)∀x∈R,∃y∈R,x+y=0. 解 (1)存在一个菱形,它的四条边不全相等. (2)存在被6整除的数,它不能被4整除. (3)∃x0∈R,x -3=0. (4)∃x∈R,∀y∈R,x+y≠0. 讲练学案部分 1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词 . 知识点一 判断全称命题的真假 判断下列全称命题的真假: (1)∀x∈{x|x是有理数},x2是有理数; (2)对所有的正实数p, 为正数,且 (3)对实数x,若x2-6x-7=0,则x2-6x-7≥0. 解 (1)真命题. (2)假命题.如: p= 时, = ,此时 >p. (3)真命题. 【反思感悟】 要判定一个全称命题是真命题,必须对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,却只要能举出集合M中的一个x0,使p(x0)不成立即可. 判断下列全称命题的真假: (1)所有的素数是奇数; (2)∀x∈R,x2+1≥1; (3)对每一个无理数x,x2也是无理数. 解 (1)2是素数,但2不是奇数. 所以,全称命题“所有的素数是奇数”是假命题. (2)∀x∈R,总有x2≥0,因而x2+1≥1. 所以,全称命题“∀x∈R,x2+1≥1”是真命题. (3) 是无理数,但( )2=2是有理数.所以,全称命题“对每一个无理数x,x2也是无理数”是假命题. 知识点二 特称命题的真假判断 判断下列特称命题的真假: (1)有一个实数x0,使x +2x0+3=0; (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3)有些整数只有两个正因数. 解 (1)由于∀x∈R,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,因此使x2+2x+3=0的实数x不存在.所以,特称命题“有一个实数x0,使x +2x0+3=0”是假命题. (2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的,因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线.所以,特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题. (3)由于存在整数3只有两个正因数1和3,所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题. 【反思感悟】 要判定特称命题“∃x0∈M,p(x0)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个特称命题是假命题. 指出下列命题中,哪些是全称命题,哪些是特称命题,并判断真假: (1)若a>0,且a≠1,则对任意实数x,ax>0; (2)对任意实数x1,x2,若x1 (3)∃T0∈R,使|sin(x+T0)|=|sinx|; (4)∃x0∈R,使x +1<0. 解 (1) (2)是全称命题,(3)(4)是特称命题. (1)∵ax>0(a>0,a≠1)恒成立,∴命题 (1)是真命题. (2)存在x1=0,x2=π,x1 ∴命题 (2)是假命题. (3)y=|sinx|是周期函数,π就是它的一个周期, ∴命题(3)是真命题. (4)对任意x∈R,x2+1>0. ∴命题(4)是假命题. 知识点三 全(特)称命题的判断 判断下列语句是全称命题还是特称命题. (1)有一个实数a,a不能取对数; (2)对所有不等式的解集A,都有A⊆R; (3)有的向量方向不定; (4)三角形的内角和为180°. 解 (1)特称命题; (2)全称命题; (3)特称命题; (4)全称命题. 因为 (1)含有存在量词“有一个”; (2)含有全称量词“所有”;(3)含有存在量词“有的”;(4)从题意知是指所有. 【反思感悟】 在判断命题是全称命题或者特称命题时,当命题中不含量词时,要根据题意是所有的意思还是存在的意思来判断. 判断下列语句是全称命题还是特称命题. (1)实数的平方大于或等于0; (2)方程ax2+2x+1=0(a<0)至少有一个负根; (3)二次函数的图象是抛物线. 解 (1)是全称命题; (2)是特称命题;(3)是全称命题. 课堂小结: 1.全称命题与特称命题的表述 同一个全称命题或特称命题,由于自然语言的不同,可以有不同的表述方法.现列表总结如下.在实际应用中可以灵活地选择. 命题 全称命题 “∀x∈A,p(x)” 特称命题 “∃x0∈A,p(x0)” 表 述 方 法 ①所有的x∈A,p(x)成立 ①存在x0∈A,使p(x0)成立 ②对一切x∈A,p(x)成立 ②至少有一个x0∈A,使p(x0)成立 ③对每一个x∈A,p(x)成立 ③对有些x0∈A,使p(x0)成立 ④任选一个x∈A,使p(x)成立 ④对某个x0∈A,使p(x0)成立 ⑤凡x∈A,都有p(x)成立 ⑤有一个x0∈A,使p(x0)成立 2.判定命题是全称命题还是特称命题,主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词;另外,有些全称命题并不含有全称量词,这时我们就要根据命题涉及的意义去判断. 3.全(特)称命题真假的判断 (1)全称命题是真命题,必须确定对集合M中的每一个元素都成立,若是假命题,举一个反例即可. (2)特称命题是真命题,只要在限定集合M中,至少找到一个元素使得命题成立,若是假命题,则对集合M中的每一个元素都不成立. 一、选择题 1.下列命题不是“∃x0∈R,x >3”的表述方法的是( ) A.有一个x0∈R,使x >3 B.有些x0∈R,使x >3 C.任选一个x∈R,使x2>3 D.至少有一个x0∈R,使x >3 答案 C 解析 “任选一个x∈R,使x2>3”是全称命题,不能用符号“∃”表示,故选C. 2.下列命题是真命题的是( ) A.∀x∈R,x2+2x+1=0 B.∃x0∈R,- ≥0 C.∀x∈N*,log2x>0 D.∃x0∈R,cosx0<2x0-x -3 答案 B 解析 当x0=-1时,- =0,所以命题“∃x0∈R,- ≥0”正确,故选B. 3.下列命题是全称真命题的是( ) A.∀x∈R,x2>0 B.∀x∈Q,x2∈Q C.∃x0∈Z,x >1 D.∀x,y∈R,x2+y2>0 答案 B 解析 A,B,D是全称命题,当x=0时,x2=0;当x=0,y=0时,x2+y2=0,因此A,D为假命题.故选B. 4.下列语句不是全称命题的是( ) A.任何一个实数乘以零都等于零 B.自然数都是正整数 C.高二 (一)班绝大多数同学是团员 D.每一个向量都有大小 答案 C 解析 “高二 (一)班绝大多数同学是团员”,即“高二 (一)班有的同学不是团员”,这是特称命题.故选C. 5.给出下列命题: ①存在实数x0,使x >1;②全等三角形必相似;③有些相似三角形全等;④至少有一个实数a,使ax2-ax+1=0的根为负数.其中特称命题有( ) A.1个B.2个 C.3个D.4个 答案 C 解析 ①③④是特称命题,②是全称命题. 6.下列命题正确的是( ) A.对所有的正实数t, 为正且 B.存在实数x0,使x -3x0-4=0 C.不存在实数x,使x<4且x2+5x-24=0 D.存在实数x0,使得|x0+1|≤1且x >4 答案 B 解析 t= 时 = ,此时 >t,所以A错;由x2-3x-4=0,得x=-1或x=4,因此当x0=-1或x0=4时,x -3x0-4=0,故B正确;由x2+5x-24=0,得x=-8或x=3,所以C错;由|x+1|≤1,得-2≤x≤0,由x2>4,得x<-2或x>2,所以D错. 二、填空题 7.填上适当的量词符号“∀”“∃”,使下列命题为真命题. (1)________x∈R,使x2+2x+1≥0; (2)________α,β∈R,使cos(α-β)=cosα-cosβ; (3)________a,b∈R,使方程组 ,有唯一解. 答案 (1)∀ (2)∃ (3)∃ 8.将下列命题用含有“∀”或“∃”的符号语言来表示. (1)任意一个整数都是有理数,________. (2)实数的绝对值不小于0,________. (3)存在一实数x0,使x +1=0,________. 答案 (1)∀x∈Z,x∈Q (2)∀x∈R,|x|≥0 (3)∃x0∈R,x +1=0 三、解答题 9.判断下列命题是否是全称命题或特称命题? 若是,并判断其真假. (1)∃x0,x0-2≤0; (2)矩形的对角线互相垂直平分; (3)三角形两边之和大于第三边; (4)有些素数是奇数. 解 (1)特称命题,真命题; (2)全称命题,假命题; (3)全称命题,真命题; (4)特称命题,真命题. 10.试用不同的表述写出全称命题“矩形都是正方形”. 解 所有的矩形都是正方形.一切矩形都是正方形.每一个矩形都是正方形.任一个矩形都是正方形.凡是矩形都是正方形. 1.4.3 含有一个量词的命题的否定 知识点一 全称命题的否定 写出下列全称命题的否定: (1)p: ∀x>1,log2x>0; (2)p: ∀T=2kπ,k∈Z,sin(x+T)=sinx; (3)p: 直线l⊥平面α,则对任意l′⊂α,l⊥l′. 解 (1)綈p: ∃x0>1,log2x0≤0. (2)綈p: ∃T0=2kπ,k∈Z,sin(x+T0)≠sinx. (3)綈p: 直线l⊥平面α,则∃l′⊂α,l与l′不垂直. 【反思感悟】 全称命题“∀x∈M,p(x)”的否定是“∃x0∈M,綈p(x0)”,全称命题的否定是特称命题. 写出下列命题的否定,并判断其真假: (1)p: 不论m取何实数,方程x2+mx-1=0必有实数根; (2)p: 菱形的对角线互相垂直; (3)p: 三角形的内角和为180°. 解 (1)这一命题可表述为p: 对任意的实数m,方程x2+mx-1=0必有实数根,其否定为綈p: 存在一个实数m,使方程x2+mx-1=0没有实数根.因为该方程的判别式Δ=m2+4>0恒成立,故綈p为假命题. (2)綈p: 有的菱形对角线不垂直. 显然綈p为假命题. (3)綈p: 三角形的内角和不全为180°.(或存在一个三角形,其内角和不等于180°)显然綈p为假命题. 知识点二 特称命题的否定 写出下列特称命题的否定: (1)p: ∃x0>1,使x -2x0-3=0; (2)p: 若an=-2n+10,则∃n∈N,使Sn<0; (3)p: a,b是异面直线,∃A∈a,B∈b,使AB⊥a,AB⊥b. 解 (1)綈p: ∀x>1,x2-2x-3≠0; (2)綈p: 若an=-2n+10,则对∀n∈N,有Sn≥0; (3)綈p: a,b是异面直线,则∀A∈a,B∈b,有AB不与a垂直,或不与b垂直. 【反思感悟】 特称命题“∃x0∈M,p(x0)”的否定是“∀x∈M,綈p(x)”,特称命题的否定是全称命题.遇到“且”命题否定时变为“或”命题,遇到“或”命题否定时变为“且”命题. 写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)p: 有些三角形的三条边相等; (2)p: 存在一个四边形不是平行四边形; (3)p: ∃x0∈R,3x0<0. 解 (1)綈p: 所有三角形的三条边不全相等. 显然綈p为假命题. (2)綈p: 所有的四边形都是平行四边形. 綈p是假命题. (3)綈p: ∀x∈R.3x≥0 綈p为真命题. 知识点三 全称命题、特称命题的应用 已知函数f(x)=x2-2x+5. (1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由. (2)若存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)>0成立,求实数m的取值范围. 分析 可考虑用分离参数法,转化为m>-f(x)对任意x∈R恒成立和存在一个实数x0,使m>f(x0)成立. 解 (1)不等式m+f(x)>0可化为m>-f(x), 即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4. 要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立, 只需m>-4即可. 故存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时,只需m>-4. (2)不等式m-f(x0)>0可化为m>f(x0),若存在一个实数x0,使不等式m>f(x0)成立,只需m>f(x)min. 又f(x)=(x-1)2+4,∴f(x)min=4, ∴m>4. 所以,所求实数m的取值范围是(4,+∞). 【反思感悟】 对任意的实数x,a>f(x)恒成立,只需a>f(x)max.若存在一个实数x0,使a>f(x0)成立,只需a>f(x)min. 若方程cos2x+2sinx+a=0有实数解,求实数a的取值范围. 解 ∵cos2x+2sinx+a=0, ∴a=2sin2x-1-2sinx=2(sin2x-sinx)-1, ∴a=2(sinx- )2- . 又-1≤sinx≤1,∴- ≤2(sinx- )2- ≤3. 故当- ≤a≤3时,方程a=2(sinx- )2- 有实数解,所以,所求实数a的取值范围是[- ,3]. 课堂小结: 1.全称命题和特称命题的否定,其模式是固定的,即相应的全称量词变为存在量词,存在量词变为全称量词.具有性质p变为具有性质瘙_綈_p. 2.实际应用中,若从正面证明全称命题“x∈M,p(x)”不容易,可证其反面“x∈M“x0∈M,綈p(x0)”是假命题,反之亦然. 一、选择题 1.“a和b都不是偶数”的否定形式是( ) A.a和b至少有一个是偶数 B.a和b至多有一个是偶数 C.a是偶数,b不是偶数 D.a和b都是偶数 答案 A 解析 在a、b是否为偶数的四种情况中去掉a和b都不是偶数还有三种情况,即a偶b奇,a奇b偶,a偶b偶,故选A. 2.命题“某些平行四边形是矩形”的否定命题是( ) A.某些平行四边形不是矩形 B.任何平行四边形是矩形 C.每一个平行四边形都不是矩形 D.以上都不对 答案 C 解析 特称命题的否定是把存在量词变为全称量词,然后否定结论.所以选C. 3.命题“原函数与反函数的图象关于y=x对称”的否定是( ) A.原函数与反函数的图象关于y=-x对称 B.原函数不与反函数的图象关于y=x对称 C.存在一个原函数与反函数的图象不关于y=x对称 D.存在原函数与反函数的图象关于y=x对称 答案 C 解析 要把隐含的全称量词找出变为存在量词,然后否定结论. 4.命题“有的函数没有解析式”的否定是( ) A.有的函数有解析式 B.任何函数都没有解析式 C.任何函数都有解析式 D.多数函数有解析式 答案 C 5.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称命题是( ) A.∃a,b∈R,使a2+b2+2ab=(a+b)2 B.∃a<0,b>0,使a2+b2+2ab=(a+b)2 C.∀a>0,b>0,使a2+b2+2ab=(a+b)2 D.∀a,b∈R,使a2+b2+2ab=(a+b)2 答案 D 解析 因a2+b2+2ab=(a+b)2本身隐含着对任意的实数a,b等式都成立,等式本身就是一个全称命题,只是没用量词表达. 6.以下三个命题: ①∀α∈R,在[α,α+π]上函数y=sinx都能取到最大值1; ②若∃a∈R,且a≠0,f(x+a)=-f(x)对∀x∈R成立,则f(x)为周期函数; ③∃x∈(- π,- π),使sinx A.0B.1C.2D.3 答案 B 解析 ①错,因为当α= π时,y=sinx在[ π, π]上的最大值为 .③错,在同一坐标系中,画出y=sinx和y=cosx的图象,可得出: ∀x∈(- π,- π),sinx>cosx.②正确,用x+a替换x,则f(x+2a)=-f(x+a)=f(x),故函数f(x)的一个周期为2a. 二、填空题 7.给出下列四个命题: ①有理数是实数;②有些平行四边形不是菱形;③∀x∈R,x2-2x>0;④有一个素数含有三个正因数.以上命题的否定为真命题的序号依次是________(填序号). 答案 ③④ 解析 ①是真命题,故其否定为假命题,②是真命题,故其否定为假命题,③④都是假命题,故其否定是真命题. 8.写出命题“若a和b都大于0,则a+b>0”的否定为 ________________________________________________________________________. 答案 存在a和b都大于0,使a+b≤0成立 三、解答题 9.写出下列命题的否定,并判断其真假: (1)q: 存在一个实数x0,使得x +x0+1≤0; (2)r: 等圆的面积相等,周长相等; (3)s: 对任意角α,都有sin2α+cos2α=1. 解 (1)这一命题的否定形式是綈q: 对所有实数x,都有x2+x+1>
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