学年高中数学苏教版选修22教学案第1章 11 112 瞬时变化率导Word下载.docx
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一质点的运动方程为S=8-3t2,其中S表示位移,t表示时间.
该质点在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度是多少?
该质点在[1,1+Δt]这段时间内的平均速度为
=-6-3Δt.
Δt的变化对所求平均速度有何影响?
Δt越小,平均速度越接近常数-6.
1.平均速度
运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度.
2.瞬时速度
一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体位移S(t)的平均变化率
无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时速度,也就是位移对于时间的瞬时变化率.
3.瞬时加速度
一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体速度v(t)的平均变化率
无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时加速度,也就是速度对于时间的瞬时变化率.
导 数
1.导数
设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),若Δx无限趋近于0时,比值
=
无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处可导,并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0).
2.导数的几何意义
导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.
3.导函数
(1)若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导,则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数,记作f′(x),在不引起混淆时,导函数f′(x)也简称f(x)的导数.
(2)f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x=x0处的函数值.
1.利用导数的几何意义,可求曲线上在某点处的切线的斜率,然后由点斜式写出直线方程.
2.函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x=x0处的函数值,所以求函数在一点处的导数,一般先求出函数的导函数,再计算这点的导函数值.
求曲线上某一点处的切线
[例1] 已知曲线y=x+
上的一点A
,用切线斜率定义求:
(1)点A处的切线的斜率;
(2)点A处的切线方程.
[思路点拨] 先计算
,再求其在Δx趋近于0时无限逼近的值.
[精解详析]
(1)∵Δy=f(2+Δx)-f
(2)=2+Δx+
-
+Δx,
∴
+
+1.
当Δx无限趋近于零时,
无限趋近于
,
即点A处的切线的斜率是
(2)切线方程为y-
(x-2),
即3x-4y+4=0.
[一点通] 根据曲线上一点处的切线的定义,要求曲线过某点的切线方程,只需求出切线的斜率,即在该点处,Δx无限趋近于0时,
无限趋近的常数.
1.曲线y=-
x2-2在点P
处的切线的斜率为________.
解析:
设P
,Q
,则割线PQ的斜率为kPQ=
=-
Δx-1.
当Δx无限趋近于0时,kPQ无限趋近于-1,所以曲线y=-
处的切线的斜率为-1.
答案:
-1
2.已知曲线y=2x2+4x在点P处的切线的斜率为16,则P点坐标为________.
设P点坐标为(x0,y0),则
=4x0+4+2Δx.
当Δx无限趋近于0时,4x0+4+2Δx无限趋近于4x0+4,
因此4x0+4=16,即x0=3,
所以y0=2×
32+4×
3=18+12=30.
即P点坐标为(3,30).
(3,30)
3.已知曲线y=3x2-x,求曲线上一点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程.
解:
设A(1,2),B(1+Δx,3(1+Δx)2-(1+Δx)),
则kAB=
=5+3Δx,
当Δx无限趋近于0时,5+3Δx无限趋近于5,所以曲线y=3x2-x在点A(1,2)处的切线斜率是5.
切线方程为y-2=5(x-1),即5x-y-3=0.
瞬时速度
[例2] 一质点按规律S(t)=at2+1做直线运动(位移单位:
m,时间单位:
s),若该质点在t=2s时的瞬时速度为8m/s,求常数a的值.
[思路点拨] 先求出质点在t=2s时的平均速度,再根据瞬时速度的概念列方程求解.
[精解详析] 因为ΔS=S(2+Δt)-S
(2)=a(2+Δt)2+1-a·
22-1=4aΔt+a(Δt)2,所以
=4a+aΔt.
当Δt无限趋近于0时,
无限趋近于4a.
所以t=2s时的瞬时速度为4am/s.
故4a=8,即a=2.
[一点通] 要计算物体的瞬时速度,只要给时间一个改变量Δt,求出相应的位移的改变量ΔS,再求出平均速度
,最后计算当Δt无限趋近于0时,
无限趋近常数,就是该物体在该时刻的瞬时速度.
4.一做直线运动的物体,其位移S与时间t的关系是S=3t-t2,则此物体在t=2时的瞬时速度为________.
由于ΔS=3(2+Δt)-(2+Δt)2-(3×
2-22)=3Δt-4Δt-(Δt)2=-Δt-(Δt)2,
所以
=-1-Δt.
无限趋近于常数-1.
故物体在t=2时的瞬时速度为-1.
5.如果一个物体的运动方程S(t)=
试求该物体在t=1和t=4时的瞬时速度.
当t=1时,S(t)=t2+2,
则
=2+Δt,
当Δt无限趋近于0时,2+Δt无限趋近于2,
所以v
(1)=2;
∵t=4∈[3,+∞),
∴S(t)=29+3(t-3)2=3t2-18t+56,
=3·
Δt+6,
∴当Δt无限趋近于0时,3·
Δt+6→6,即
→6,
所以v(4)=6.
导数及其应用
[例3] 已知f(x)=x2-3.
(1)求f(x)在x=2处的导数;
(2)求f(x)在x=a处的导数.
[思路点拨] 根据导数的定义进行求解.深刻理解概念是正确解题的关键.
[精解详析]
(1)因为
=4+Δx,
当Δx无限趋近于0时,4+Δx无限趋近于4,
所以f(x)在x=2处的导数等于4.
(2)因为
=2a+Δx,
当Δx无限趋近于0时,2a+Δx无限趋近于2a,
所以f(x)在x=a处的导数等于2a.
[一点通] 由导数的定义知,求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤如下:
(1)求函数值的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率
;
(3)令Δx无限趋近于0,求得导数.
6.函数y=x+
在x=1处的导数是________.
∵函数y=f(x)=x+
∴Δy=f(1+Δx)-f
(1)
=1+Δx+
-1-1=
,当Δx→0时,
→0,
即y=x+
在x=1处的导数为0.
7.设f(x)=ax+4,若f′
(1)=2,则a=________.
∵
=a,
∴f′
(1)=a,即a=2.
2
8.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh时,原油的温度(单位:
℃)为f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).求函数y=f(x)在x=6处的导数f′(6),并解释它的实际意义.
当x从6变到6+Δx时,函数值从f(6)变到f(6+Δx),函数值y关于x的平均变化率为:
=5+Δx.
当x→6时,即Δx→0,平均变化率趋近于5,
所以f′(6)=5,导数f′(6)=5表示当x=6h时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度.也就是说,如果保持6h时温度的变化速度,每经过1h时间,原油温度将升高5℃.
1.利用导数的几何意义求过某点的切线方程
(1)若已知点(x0,y0)在已知曲线上,则先求出函数y=f(x)在点x0处的导数,然后根据直线的点斜式方程,得切线方程y-y0=f′(x0)(x-x0).
(2)若题中所给的点(x0,y0)不在曲线上,首先应设出切点坐标,然后根据导数的几何意义列出等式,求出切点坐标,进而求出切线方程.
2.f′(x0)与f′(x)的异同
区别
联系
f′(x0)
f′(x0)是具体的值,是数值
在x=x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x=x0处的函数值,因此求函数在某一点处的导数,一般先求导函数,再计算导函数在这点的函数值
f′(x)
f′(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数,是函数
[对应课时跟踪训练
(二)]
一、填空题
1.一质点运动的方程为S=5-3t2,若该质点在时间段[1,1+Δt]内相应的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度为________.
∵当Δt无限趋近于0时,-3Δt-6无限趋近于常数-6,∴该质点在t=1时的瞬时速度为-6.
-6
2.函数f(x)=1-3x在x=2处的导数为________.
Δy=f(2+Δx)-f
(2)=-3Δx,
=-3,
则Δx趋于0时,
=-3.
故f(x)在x=2处的导数为-3.
-3
3.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f
(1))处的切线方程是y=
x+2,则f
(1)+f′
(1)=________.
由题意知f′
(1)=
,f
(1)=
+2=
所以f
(1)+f′
(1)=
=3.
3
4.曲线f(x)=
x2-2在点
处的切线的倾斜角为________.
Δx+1.
∴当Δx无限趋近于0时,
无限趋近于常数1,即切线的斜率为1.
∴切线的倾斜角为
5.已知曲线y=2ax2+1过点P(
,3),则该曲线在P点处的切线方程为________.
∵y=2ax2+1过点P(
,3),
∴3=2a2+1,即a2=1.
又∵a≥0,∴a=1,即y=2x2+1.
∴P(1,3).
又
=4+2Δx.
无限趋近于常数4,
∴f′
(1)=4,即切线的斜率为4.
由点斜式可得切线方程为y-3=4(x-1),
即4x-y-1=0.
4x-y-1=0
二、解答题
6.已知质点运动方程是S(t)=
gt2+2t-1(g是重力加速度,常量),求质点在t=4s时的瞬时速度(其中s的单位是m,t的单位是s).
gΔt+4g+2.
∵当Δt→0时,
→4g+2
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