版《创新设计》一轮图书第一章 第1节.docx
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版《创新设计》一轮图书第一章第1节
第1节 集 合
最新考纲 1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题;2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义;
3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
知识梳理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性:
确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法:
列举法、描述法、图示法.
2.集合间的基本关系
(1)子集:
若对任意x∈A,都有x∈B,则A⊆B或B⊇A.
(2)真子集:
若A⊆B,且集合B中至少有一个元素不属于集合A,则AB或BA.
(3)相等:
若A⊆B,且B⊆A,则A=B.
(4)空集的性质:
∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U,则集合A的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A,或x∈B}
{x|x∈A,且x∈B}
{x|x∈U,且x∉A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A.
(2)A∪A=A,A∪∅=A,A∪B=B∪A.
(3)A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A.
[常用结论与微点提醒]
1.若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个.
2.子集的传递性:
A⊆B,B⊆C⇒A⊆C.
3.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB.
4.∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( )
(2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( )
(3)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( )
(4)含有n个元素的集合有2n个真子集.( )
解析
(1)错误.{x|y=x2+1}=R,{y|y=x2+1}=[1,+∞),{(x,y)|y=x2+1}是抛物线y=x2+1上的点集.
(2)错误.当x=1时,不满足互异性.
(3)正确.(A∩B)⊆A⊆(A∪B).
(4)错误.含有n个元素的集合有2n-1个真子集.
答案
(1)×
(2)× (3)√ (4)×
2.(必修1P7练习2改编)若集合A={x∈N|x≤
},a=2
,则下列结论正确的是( )
A.{a}⊆AB.a⊆AC.{a}∈AD.a∉A
解析 因为a=2
不是自然数,而集合A是不大于
的自然数构成的集合,所以a∉A.
答案 D
3.(2017·全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则( )
A.A∩B=
B.A∩B=∅
C.A∪B=
D.A∪B=R
解析 因为B={x|3-2x>0}=
,A={x|x<2},所以A∩B=
,A∪B={x|x<2}.
答案 A
4.(2018·河北“五个一”名校联盟质检)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,7},B={x|x=log2(a+1),a∈A},则(∁UA)∩(∁UB)=( )
A.{1,3}B.{5,6}C.{4,5,6}D.{4,5,6,7}
解析 A={1,3,7},B={x|x=log2(a+1),a∈A}={1,2,3},又U={1,2,3,4,5,6,7},∴∁UA={2,4,5,6},∁UB={4,5,6,7},∴(∁UA)∩(∁UB)={4,5,6}.
答案 C
5.(2017·全国Ⅲ卷改编)已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},则A∩B的元素个数为________.
解析 集合A表示圆心在原点的单位圆,集合B表示直线y=x,易知直线y=x和圆x2+y2=1相交,且有2个交点,故A∩B中有2个元素.
答案 2
考点一 集合的基本概念
【例1】
(1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1B.3C.5D.9
(2)若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=( )
A.
B.
C.0D.0或
解析
(1)当x=0,y=0,1,2时,x-y=0,-1,-2;
当x=1,y=0,1,2时,x-y=1,0,-1;
当x=2,y=0,1,2时,x-y=2,1,0.
根据集合中元素的互异性可知,B的元素为-2,-1,0,1,2,共5个.
(2)若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.
当a=0时,x=
,符合题意;
当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0,得a=
,
所以a的取值为0或
.
答案
(1)C
(2)D
规律方法 1.第
(1)题易忽视集合中元素的互异性误选D.第
(2)题集合A中只有一个元素,要分a=0与a≠0两种情况进行讨论,此题易忽视a=0的情形.
2.用描述法表示集合,先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点集还是其他的集合.
【训练1】
(1)若x∈A,则
∈A,就称A是伙伴关系集合,集合M=
的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )
A.1B.3C.7D.31
(2)设集合A={x|(x-a)2<1},且2∈A,3∉A,则实数a的取值范围为________.
解析
(1)具有伙伴关系的元素组是-1,
,2,所以具有伙伴关系的集合有3个:
{-1},
,
.
(2)由题意得
解得
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