高考数学专题十四数形结合思想教师版含高考试题docx.docx
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2015高考数学专题十四:
数形结合思想(教师版含14年高考试题
2015高考数学专题十四:
数形结合思想
(教师版含13、14年高考题)
数形结合的思想在每年的高考中都有所体现,它常用来:
研究方程根的情况,讨论函数的值域(最值)及求变量的取值范围等.对这类内容的选择题、填空题,
数形结合特别有效.从今年的高考题来看,数形结合的重点是研究“以形助数”,但“以数定形”在今后的高考中将会有所加强,应引起重视,复习中应提高用数
形结合思想解题的意识,画图不能太草,要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系.
1.应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化
(1)集合的运算及韦恩图;
(2)函数及其图象;
(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象;
(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线;
(5)对于研究距离、角或面积的问题,直接从几何图形入手进行求解即可;
(6)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题,可通过函数的图象求解(函数的零点、顶点是关键点),做好知识的迁移与综合运用.
热点一利用数形结合思想讨论方程的根
例1(2014·山东)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)
有两个不相等的实根,则实数
k的取值范围是()
1
1
A.(0,)
B.(,1)
2
2
C.(1,2)D.(2,+∞)
答案B
解析先作出函数f(x)=|x-2|+1的图象,如图所示,
当直线g(x)=kx与直线AB平行时斜率为1,当直线g(x)=kx过A点时斜率
2
1
k的范围为(
1
为,故f(x)=g(x)有两个不相等的实根时,
,1).
2
2
思维升华用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法,其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两个熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解的个数.
x2+bx+c,x≤0,
训练1
(1)设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=
2,x>0,
-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为()
A.1B.2
C.3D.4
答案C
解析由f(-4)=f(0),f(-2)=-2,
x2+4x+2,x≤0,
解得b=4,c=2,∴f(x)=
2,x>0.
x2+4x+2,x≤0,
作出函数f(x)=与y=x的图象,如图,
2,x>0
由图知交点个数有3个,故选C.
(2)若定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]时,
3
lgx,x>0,
1,x=0,
f(x)=1-x2,函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间1
-,x<0,
x
[-5,5]内零点的个数是(
)
A.5
B.7
C.8
D.10
[解析]依题意得,函数f(x)是以2为周期的函数,在同一坐标系下画出函
数y=f(x)与函数y=g(x)的图象,结合图象得,当x∈[-5,5]时,它们的图象
的公共点共有8个,即函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数是
8.
[答案]C
热点二
利用数形结合思想解不等式、求参数范围
例
2
(1)
已知奇函数f
x
的定义域是
x
x≠,x∈
R}
,且在
(0
,+∞
上单调递
()
{|
0
)
增,若f
(1)
=0,则满足x·f(x)<0
的x的取值范围是
.
1
(2)
若不等式|x-2a|≥x+a-1对x∈R恒成立,则a的取值范围是
.
2
4
答案
(1)(-1,0)∪(0,1)
1
(2)-∞,
2
解析
(1)
作出符合条件的一个函数图象草图即可,由图可知
x·fx
)<0
的x的
(
取值范围是(-1,0)∪(0,1).
(2)
1
1
作出y=|x-2a|和y=x+a-1的简图,依题意知应有
2a≤2-2a,故a≤.
2
2
思维升华求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题,往往可以避免烦琐的运算,获得简捷的解答.
训练2
(1)设A={(x,y)|x2+(y-1)2=1},B={(x,y)|x+y+m≥0},则使
A?
B成立的实数m的取值范围是.
(2)若不等式9-x2≤k(x+2)-2的解集为区间[a,b],且b-a=2,则k
=________.
答案
(1)[
2-1,+∞)
(2)2
解析
(1)
集合A是一个圆x2+(y-1)2=1上的点的集合,集合B是一个不等
式x+y+m≥0表示的平面区域内的点的集合,
要使A?
B,则应使圆被平面区域所包含(如图),即直线x+y+m=0应与圆相
5
|m+1|
切或相离(在圆的下方),而当直线与圆相切时有=1,又m>0,
2
所以m=2-1,
故m的取值范围是m≥2-1.
(2)令y1=9-x2,
y2=k(x+2)-2,在同一个坐标系中作出其图象,
因9-x2≤k(x+2)-2的解集为[a,b]且b-a=2.
结合图象知b=3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(1,22).
又因为点(-2,-
2)在直线上,
22+
2
所以k=
=2.
1+2
热点三利用数形结合思想解最值问题
例3
(1)已知P是直线l:
3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A、B是切点,C是圆心,则四边形PACB面积的
最小值为.
x-2y+1≥0,
(2)已知点P(x,y)的坐标x,y满足则x2+y2-6x+9的取|x|-y-1≤0,
值范围是()
A.[2,4]B.[2,16]
C.[4,10]D.[4,16]
答案
(1)22
(2)B
解析
6
(1)从运动的观点看问题,当动点P沿直线3x+4y+8=0向左上方或右下方无
11
穷远处运动时,直角三角形PAC的面积SRt△PAC=|PA|·|AC|=|PA|越来越大,
2
2
从而S四边形PACB也越来越大;当点P从左上、右下两个方向向中间运动时,
S四
边形PACB变小,显然,当点P到达一个最特殊的位置,即
CP垂直直线l时,S四
边形PACB应有唯一的最小值,
此时|PC|=
|3×1+4×1+8|
=3,
32+42
从而|PA|=
|PC|2-|AC|2=22.
1
所以(S四边形PACB)min=2××|PA|×|AC|=22.
2
(2)
画出可行域如图,所求的x2+y2-6x+9=(x-3)2+y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方,由图形知最小值为Q到射线x-y-1=0(x≥0)的距离d的平方,最大值为|QA|2=16.
|3-0-1|
∵d2=()2=
(2)2=2.
12+-12
∴取值范围是[2,16].
思维升华
(1)在几何的一些最值问题中,可以根据图形的性质结合图形上点的
条件进行转换,快速求得最值.
(2)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,就要考虑用数形结合的思想方法来解题,即所谓的几何法求解.
(1)(2013·重庆)设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线
x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为()
A.6B.4C.3D.2
7
x-y+
≤,
1
0
(2)若实数x、y满足x>0,
y
则的最小值是______.
y≤2,
x
答案
(1)B
(2)2
解析
(1)由题意,知圆的圆心坐标为(3,-1),圆的半径长为2,|PQ|的最小值为圆心到直线x=-3的距离减去圆的半径长,所以|PQ|min=3-(-3)-2=
4.故选B.
(2)可行域如图所示.
y
又的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k.
x
由图知,过点A的直线OA的斜率最小.
x-y+1=0,
联立得A(1,2),
y=2,
2-0y
所以kOA==2.所以的最小值为2.
1-0x
a2-ab,a≤b,
模拟演练5对于实数a和b,定义运算“*”:
a*b=设
b2-ab,a>b.
f(x)=(2x-1)*(x-1),且关于x的方程f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的
实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是.
8
[解析]
(1)由定义可知,
2x-1x,x≤0,
f(x)=
-x-1x,x>0.
作出函数f(x)的图象,如图所示.
1
由图可知,当0 4 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3. 不妨设x1 易知x2>0, 1 且x2+x3=2×=1,2 1 ∴x2x3<. 4 1 2x-1x=, 令 4 x<0, 9 1-3 1+ 3 解得x= 或x= (舍去). 4 4 1-3 1- 3 ∴ 4 16 1-3 [答案]( ,0) 16 4.运用数形结合思想解决解析几何中的问题 在数形结合时,既要进行几何直观的分析,又要进行代数抽象的探索,两方 面相辅相成,仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多 时候是很难行得通的. 例如,在解析几何中,我们主要是运用代数的方法来研究几何问题,但是在 许多时候,若能充分地挖掘利用图形的几何特征,将会使得复杂的问题简单化. 【例6】已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2 -2x-2y+1=0的两条切线,A,B是切点,C是圆心,求四边形PACB面积的最小值. 【解】根据题意,画出图形如下图, 10 当动点P沿直线3x+4y+8=0向左上方或向右下方无穷远处运动时,Rt△ 11 PAC的面积SRt△PAC=|PA|·|AC|=|PA|越来越大,从而S四边形PACB也越来越 22 大; 当点P从左上、右下两个方向向中间运动时,S四边形PACB变小,显然,当点 P到达一个最特殊的位置, 即CP垂直于直线3x+4y+8=0时,S四边形PACB应有唯一的最小值, |3×1+4×1+8| 此时|PC|==3, 32+42 从而|PA|=|PC|2-|AC|2=22. 1 ∴(S四边形PACB)min=2××|PA|×|AC|=22. 2 规律总结: 1.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何 意义等都实现以形助数的途径,当试题中涉及这些问题的数量关系时,我们可以 通过图形分析这些数量关系,达到解题的目的. 2.有些图形问题,单纯从图形上无法看出问题的结论,这就要对图形进行数量 上的分析,通过数的帮助达到解题的目的. 3.利用数形结合解题,有时只需把图象大致形状画出即可,不需要精确图象. 4.数形结合思想常用模型: 一次、二次函数图象;斜率公式;两点间的距离公式(或向量的模);点到直线的距离公式等. 练习题 真题感悟 1.(2013·重庆)已知圆C1: (x-2)2+(y-3)2=1,圆C2: (x-3)2+(y-4)2 =9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN| 的最小值为() A.52-4B.17-1 C.6-22D.17 答案A 解析设P(x,0),设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1′(2,-3),那么|PC1|+|PC2| 11 =|PC1′|+|PC2|≥|C1′C2|=2-3 2+-3-4 2=52. 而|PM|+|PN|=|PC1|+|PC2|-4≥5 2-4. 2.(2014·江西)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若 以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为() 43 A.πB.π 54 5 C.(6-25)πD.π 4 答案 A 解析 ∵∠AOB=90°,∴点O在圆C上. 设直线2x+y-4=0 与圆C相切于点D, 则点C与点O间的距离等于它到直线2x+y-4=0 的距离, ∴点C在以O为焦点,以直线 2x+y-4=0为准线的抛物线上, ∴当且仅当O,C,D共线时,圆的直径最小为|OD|. |2×0+0-4| 4 又|OD|= = 5 , 5 ∴圆C的最小半径为 2 , 5 ∴圆C面积的最小值为π( 2 4 )2=π. 5 5 -x2+2x,x≤0, 3.(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)= 若|f(x)|≥ax,则 lnx+1 ,x>0. a的取值范围是( ) A.(-∞,0]B.(-∞,1] C.[-2,1]D.[-2,0] 答案 D 解析 函数y=|f(x)|的图象如图. 12 ①当a=0时,|f(x)|≥ax显然成立. ②当a>0时,只需在x>0时, ln(x+1)≥ax成立. 比较对数函数与一次函数y=ax的增长速度. 显然不存在a>0使ln(x+1)≥ax在x>0上恒成立.③当a<0时,只需在x<0时,x2-2x≥ax成立.即a≥x-2成立,所以a≥-2.综上所述: -2≤a≤0.故选D. 4.(2014·天津)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰 有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为. 答案(0,1)∪(9,+∞) 解析设y1=f(x)=|x2+3x|,y2=a|x-1|, 在同一直角坐标系中作出y1=|x2+3x|,y2=a|x-1|的图象如图所示. 由图可知f(x)-a|x-1|=0有4个互异的实数根等价于y1=|x2+3x|与y2=a|x-1|的图象有4个不同的交点,且4个交点的横坐标都小于1, y=-x2-3x, 所以有两组不同解. y=a1-x 消去y得x2+(3-a)x+a=0有两个不等实根, 所以=(3-a)2-4a>0,即a2-10a+9>0, 解得a<1或a>9. 又由图象得a>0,所以09. 押题练习 13 1.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是() A.1B.2C.3D.4 答案B 解析 (数形结合法) ∵a>0,∴a2+1>1. 而y=|x2-2x|的图象如图, ∴y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点. 2.不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围 为() A.(-∞,-1]∪[4,+∞)B.(-∞,-2]∪[5,+∞) C.[1,2]D.(-∞,1]∪[2,+∞) 答案A -4 x<-3 , 解析 f(x)=|x+3|-|x-1|= 2x+2 -3≤x<1, 画出函数f(x) 4 x≥1. 的图象,如图,可以看出函数f(x)的最大值为4,故只要a2-3a≥4即可,解得a≤-1或a≥4.正确选项为A. 3.经过P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)的线段总有公 共点,则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为,________. 14 答案[-1,1] π 3π [0,]∪[ ,π) 4 4 解析 如图所示,结合图形: 为使l与线段AB总有公共点,则kPA≤k≤kPB,而kPB>0,kPA<0,故k<0时,倾斜角α为钝角,k=0时,α=0,k>0时,α为锐角. -2--1 又kPA==-1, 1-0 -1-1 kPB==1,∴-1≤k≤1. 1-2 π 又当0≤k≤1时,0≤α≤; 4 当-1≤k<0 3π π 3π 时, ≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈[0, ]∪[ ,π). 4 4 4 2x+3y-6≤0, 4.(2013·山东)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组x+y-2≥0, y≥0 所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是. 答案2 解析由题意知原点O到直线x+y-2=0的距离为|OM|的最小值. 2 所以|OM|的最小值为=2. 2 5.(2013·江西)过点(2,0)引直线l与曲线y=1-x2相交于A、B两点, O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率为. 3 答案- 3 15 1 1 1 解析 ∵S△AOB= |OA||OB|sin∠AOB=sin∠AOB≤. 2 2 2 π 当∠AOB=时,S△AOB面积最大. 2 2 此时O到AB的距离d=. 2 设AB方程为y=k(x- 2)(k<0),即kx-y- 2k=0. |2k| 2 3 由d= = 得k=-. k2+1 2 3 x2 y2 6.[2014·四川高考]已知椭圆C: + b2 =1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0), a2 6 离心率为. 3 (1)求椭圆C的标准方程; (2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于 P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积. c 6 [解] (1)由已知可得,= ,c
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