物理学第三版刘克哲 张承琚课后习题解答第十章.docx
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物理学第三版刘克哲张承琚课后习题解答第十章
[物理学10章习题解答]
10-3两个相同的小球质量都是m,并带有等量同号电荷q,各用长为l的丝线悬挂于同一点。
由于电荷的斥力作用,使小球处于图10-9所示的位置。
如果θ角很小,试证明两个小球的间距x可近似地表示为
图10-9
.
解小球在三个力的共同作用下达到平衡,这三个力分别是重力mg、绳子的张力t和库仑力f。
于是可以列出下面的方程式
(1)
(2)
(3)
因为θ角很小,所以
.
利用这个近似关系可以得到
(4)
. (5)
将式(5)代入式(4),得
由上式可以解得
.
得证。
10-4在上题中,如果l=120cm,m=0.010kg,x=5.0cm,问每个小球所带的电量q为多大?
解在上题的结果中,将q解出,再将已知数据代入,可得
.
10-5氢原子由一个质子和一个电子组成。
根据经典模型,在正常状态下,电子绕核作圆周运动,轨道半径是r0=5.29⨯10-11m。
质子的质量m=1.67⨯10-27kg,电子的质量m=9.11⨯10-31kg,它们的电量为±e=1.60⨯10-19c。
(1)求电子所受的库仑力;
(2)电子所受库仑力是质子对它的万有引力的多少倍?
(3)求电子绕核运动的速率。
解
(1)电子与质子之间的库仑力为
.
(2)电子与质子之间的万有引力为
.
所以
.
(3)质子对电子的高斯引力提供了电子作圆周运动的向心力,所以
从上式解出电子绕核运动的速率,为
.
10-6边长为a的立方体,每一个顶角上放一个电荷q。
图10-10
(1)证明任一顶角上的电荷所受合力的大小为
.
(2) f的方向如何?
解立方体每个顶角上放一个电荷q,由于对称性,每个电荷的受力情况均相同。
对于任一顶角上的电荷,例如b角上的qb,它所受到的力
、
和
大小也是相等的,即
.
首先让我们来计算
的大小。
由图10-10可见,
、
和
对
的作用力不产生x方向的分量;
对
的作用力f1的大小为
f1的方向与x轴的夹角为45︒。
对
的作用力f2的大小为
f2的方向与x轴的夹角为0︒。
对
的作用力f3的大小为
f3的方向与x轴的夹角为45︒。
对
的作用力f4的大小为
f4的方向与x轴的夹角为α,
。
于是
.
所受合力的大小为
.
(2) f的方向:
f与x轴、y轴和z轴的夹角分别为α、β和γ,并且
.
10-7计算一个直径为1.56cm的铜球所包含的正电荷电量。
解根据铜的密度可以算的铜球的质量
.
铜球的摩尔数为
.
该铜球所包含的原子个数为
.
每个铜原子中包含了29个质子,而每个质子的电量为1.602⨯10-19c,所以铜球所带的正电荷为
.
10-8一个带正电的小球用长丝线悬挂着。
如果要测量与该电荷处于同一水平面内某点的电场强度e,我们就把一个带正电的试探电荷q0引入该点,测定f/q0。
问f/q0是小于、等于还是大于该点的电场强度e?
解这样测得的f/q0是小于该点的电场强度e的。
因为正试探电荷使带正电的小球向远离试探电荷的方向移动,q0受力f减小了。
10-9根据点电荷的电场强度公式
当所考查的点到该点电荷的距离r接近零时,则电场强度趋于无限大,这显然是没有意义的。
对此应作何解释?
解当r→0时,带电体q就不能再视为点电荷了,只适用于场源为点电荷的场强公式不再适用。
这时只能如实地将该电荷视为具有一定电荷体密度的带电体。
10-10离点电荷50cm处的电场强度的大小为2.0n⋅c-1。
求此点电荷的电量。
解由于
所以有
.
10-11有两个点电荷,电量分别为5.0⨯10-7c和2.8⨯10-8c,相距15cm。
求:
(1)一个电荷在另一个电荷处产生的电场强度;
(2)作用在每个电荷上的力。
图10-11
解已知
=5.0⨯10-7c、
=2.8⨯10-8c,它们相距r=15cm,如图10-11所示。
(1)
在点b产生的电场强度的大小为
方向沿从a到b的延长线方向。
在点a产生的电场强度的大小为
,
方向沿从b到a的延长线方向。
(2)
对
的作用力的大小为
方向沿从b到a的延长线方向。
对
的作用力的大小为
.
方向沿从a到b的延长线方向。
10-12求由相距l的±q电荷所组成的电偶极子,在下面的两个特殊空间内产生的电场强度:
(1)轴的延长线上距轴心为r处,并且r>>l;
图10-12
(2)轴的中垂面上距轴心为r处,并且r>>l。
解
(1)在轴的延长线上任取一点p,如图10-12所示,该点距轴心的距离为r。
p点的电场强度为
.
在r>>l的条件下,上式可以简化为
图10-13
.
(1)
令
(2)
这就是电偶极子的电矩。
这样,点p的电场强度可以表示为
.(3)
(2)在轴的中垂面上任取一点q,如图10-13所示,该点距轴心的距离为r。
q点的电场强度为
也引入电偶极子电矩,将点q的电场强度的大小和方向同时表示出来:
.
10-13有一均匀带电的细棒,长度为l,所带总电量为q。
求:
(1)细棒延长线上到棒中心的距离为a处的电场强度,并且a>>l;
(2)细棒中垂线上到棒中心的距离为a处的电场强度,并且a>>l。
解
图10-14
(1)以棒中心为坐标原点建立如图10-14所示的坐标系。
在x轴上到o点距离为a处取一点p,在x处取棒元dx,它所带电荷元为λdx,该棒元到点p的距离为a-x,它在p点产生的电场强度为
.
整个带电细棒在p点产生的电场强度为
图10-15
方向沿x轴方向。
(2)坐标系如图10-15所示。
在细棒中垂线(即y轴)上到o点距离为a处取一点p,由于对称性,整个细棒在p点产生的电场强度只具有y分量ey。
所以只需计算ey就够了。
仍然在x处取棒元dx,它所带电荷元为λdx,它在p点产生电场强度的y分量为
.
整个带电细棒在p点产生的电场强度为
方向沿x轴方向。
图10-16
10-14一个半径为r的圆环均匀带电,线电荷密度为λ。
求过环心并垂直于环面的轴线上与环心相距a的一点的电场强度。
解以环心为坐标原点,建立如图10-16所示的坐标系。
在x轴上取一点p,p点到盘心的距离为a。
在环上取元段dl,元段所带电量为dq=λdl,在p点产生的电场强度的大小为
.
由于对称性,整个环在p点产生的电场强度只具有x分量ex。
所以只需计算ex就够了。
所以
.
10-15一个半径为r的圆盘均匀带电,面电荷密度为σ。
求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距a的一点的电场强度。
图10-17
解取盘心为坐标原点建立如图10-17所示的坐标系。
在x轴上取一点p,p点到盘心的距离为a。
为计算整个圆盘在p点产生的电场强度,可先在圆盘上取一宽度为dr的圆环,该圆环在p点产生的电场强度,可以套用上题的结果,即
的方向沿x轴方向。
整个圆盘在p点产生的电场强度,可对上式积分求得
.
图10-18
10-16一个半径为R的半球面均匀带电,面电荷密度为σ。
求球心的电场强度。
解以球心o为坐标原点,建立如图10-18所示的坐标系。
在球面上取宽度为dl的圆环,圆环的半径为r。
显然
圆环所带的电量为
.
根据题10-14的结果,该圆环在球心产生的电场强度为
方向沿x轴的反方向。
由图中可见,
将这些关系代入上式,得
.
所以
e的方向沿x轴的反方向。
10-19如果把电场中的所有电荷分为两类,一类是处于高斯面s内的电荷,其量用q表示,它们共同在高斯面上产生的电场强度为e',另一类是处于高斯面s外的电荷,它们共同在高斯面上产生的电场强度为e",显然高斯面上任一点的电场强度e=e'+e"。
试证明:
(1)
;
(2)
。
解高斯面的电通量可以表示为
.
显然,上式中的第一项是高斯面内部电荷对高斯面电通量的贡献,第二项是高斯面外部电荷对高斯面电通量的贡献。
高斯定理表述为“通过任意闭合曲面s的电通量,等于该闭合曲面所包围的电量除以ε0,而与s以外的电荷无关。
”可见,高斯面s以外的电荷对高斯面的电通量无贡献。
这句话在数学上应表示为
.
(1)
所以,关系式
的成立是高斯定理的直接结果。
因为
于是可以把高斯定理写为
.
将式
(1)代入上式,即得
.
(2)
图10-19
10-20一个半径为r的球面均匀带电,面电荷密度为σ。
求球面内、外任意一点的电场强度。
解由题意可知,电场分布也具有球对称性,可以用高斯定理求解。
在球内任取一点,到球心的距离为r1,以r1为半径作带电球面的同心球面s1,如图10-19所示,并在该球面上运用高斯定理,得
由此解得球面内部的电场强度为
.
在球外任取一点,到球心的距离为r2,以r2为半径作带电球面的同心球面s2,如图10-19所示,并在该球面上运用高斯定理,得
即
.
由此解得
e2的方向沿径向向外。
10-21一个半径为R的无限长圆柱体均匀带电,体电荷密度为ρ。
求圆柱体内、外任意一点的电场强度。
图10-20
解显然,电场的分布具有轴对称性,圆柱体内、外的电场强度呈辐射状、沿径向向外,可以用高斯定理求解。
在圆柱体内部取半径为r1、长度为l的同轴柱面s1(见图10-20)作为高斯面并运用高斯定理
.
上式左边的积分实际上包含了三项,即对左底面、右底面和侧面的积分,前两项积分由于电场强度与面元相垂直而等于零,只剩下对侧面的积分,所以上式可化为
于是得
方向沿径向向外。
用同样的方法,在圆柱体外部作半径为r2、长度为l的同轴柱面s2,如图10-20所示。
在s2上运用高斯定理,得
.
根据相同的情况,上面的积分可以化为
由上式求得
方向沿径向向外。
10-22两个带有等量异号电荷的平行平板,面电荷密度为±σ,两板相距d。
当d比平板自身线度小得多时,可以认为两平行板之间的电场是匀强电场,并且电荷是均匀分布在两板相对的平面上。
(1)求两板之间的电场强度;
(2)当一个电子处于负电板面上从静止状态释放,经过1.5⨯10-8s的时间撞击在对面的正电板上,若d=2.0cm,求电子撞击正电板的速率。
解
图10-21
(1)在题目所说情况下,带等量异号电荷的两平行板构成了一个电容器,并且电场都集中在两板之间的间隙中。
作底面积为δs的柱状高斯面,使下底面处于两板间隙之中,而上底面处于两板间隙之外,并且与板面相平行,如图10-21所示。
在此高斯面上运用高斯定理,得
由此解得两板间隙中的电场强度为
.
(2)根据题意可以列出电子的运动学方程
.
两式联立可以解得
.
10-24一个半径为r的球体均匀带电,电量为q,求空间各点的电势。
解先由高斯定理求出电场强度的分布,再由电势的定义式求电势的分布。
在球内:
,根据高斯定理,可列出下式
解得
方向沿径向向外。
在球外:
,根据高斯定理,可得
解得
方向沿径向向外。
球内任意一点的电势:
(
).
球外任意一点的电势:
(
).
10-25点电荷+q和-3q相距d=1.0m,求在它们的连线上电势为零和电场强度为零的位置。
图10-22
解
(1)电势为零的点:
这点可能处于+q的右侧,也可能处于+q的左侧,先假设在+q的右侧x1处的p1点,如图10-22所表示的那样可列出下面的方程式
.
从中解得
.
在+q左侧x2处的p2点若也符合电势为零的要求,则有
.
解得
.
(2)电场强度为零的点:
由于电场强度是矢量,电场强度为零的点只能在+q的左侧,并设它距离+q为x,于是有
.
解得
.
图10-23
10-26两个点电荷q1=+40⨯10-9c和q2=-70⨯10-9c,相距10cm。
设点a是它们连线的中点,点b的位置离q1为8.0cm,离q2为6.0cm。
求:
(1)点a的电势;
(2)点b的电势;
(3)将电量为25⨯10-9c的点电荷由点b移到点a所需要作的功。
解根据题意,画出图10-23。
(1)点a的电势:
.
(2)点b的电势:
.
(3)将电荷q从点b移到点a,电场力所作的功为
电场力所作的功为负值,表示外力克服电场力而作功。
图10-24
10-27一个半径为r的圆盘均匀带电,面电荷密度为σ。
求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距a的一点的电势,再由电势求该点的电场强度。
解以盘心为坐标原点、以过盘心并垂直于盘面的轴线为x轴,建立如图10-24所示的坐标系。
在x轴上任取一点p,点p的坐标为x。
在盘上取半径为r、宽为dr的同心圆环,该圆环所带电荷在点p所产生的电势可以表示为
.
整个圆盘在点p产生的电势为
.
由电势求电场强度
.
图10-25
10-28一个半径为r的球面均匀带电,球面所带总电量为q。
求空间任意一点的电势,并由电势求电场强度。
解在空间任取一点p,与球心相距r。
在球面上取薄圆环,如图10-25中阴影所示,该圆环所带电量为
.
该圆环在点p产生的电势为
.
(1)
式中有两个变量,a和θ,它们之间有下面的关系:
微分得
.
(2)
将上式代入式
(1),得
.
如果点p处于球外,
,点p的电势为
.(3)
其中
q=4πr2σ.
如果点p处于球内,
,点p的电势为
. (4)
由电势求电场强度:
在球外,
方向沿径向向外。
在球内,
:
.
图10-26
10-30如图10-26所示,金属球a和金属球壳b同心放置,它们原先都不带电。
设球a的半径为r0,球壳b的内、外半径分别为r1和r2。
求在下列情况下a、b的电势差:
(1)使b带+q;
(2)使a带+q;
(3)使a带+q,使b带-q;
(4)使a带-q,将b的外表面接地。
解
(1)使b带+q:
这时a和b等电势,所以
.
(2)使a带+q:
这时b的内表面带上了-q,外表面带上了+q,a、b之间的空间的电场为
方向沿径向由内向外。
所以
.
(3)使a带+q,使b带-q:
这时b的内表面带-q,外表面不再带电,a、b之间的空间的电场不变,所以电势差也不变,即与(3)的结果相同。
(4)使a带-q,将b的外表面接地:
这时b的内表面感应了+q,外表面不带电,a、b之间的空间的电场为
方向沿径向由外向内。
所以
.
10-31两平行的金属平板a和b,相距d=5.0mm,两板面积都是s=150cm2,带有等量异号电荷±q=2.66⨯10-8c,正极板a接地,如图10-27所示。
忽略边缘效应,问:
图10-27
(1) b板的电势为多大?
(2)在a、b之间且距a板1.0mm处的电势为多大?
解
(1)可以证明两板之间的电场强度为
.
于是可以求得b板的电势,为
.
(2)根据题意,a板接地,电势为零,两板之间的任何一点的电势都为负值。
所求之点处于a、b之间、且到a板的离距为
处,所以该点的电势为
.
图10-28
10-32三块相互平行的金属平板a、b和c,面积都是200cm2,a、b相距4.0mm,a、c相距2.0mm,b、c两板都接地,如图10-28所示。
若使a板带正电,电量为3.0⨯10-7c,略去边缘效应,求:
(1) b、c两板上感应电荷的电量;
(2) a板的电势。
解
(1) a板带电后,电荷将分布在两个板面上,其面电荷密度分别为σ1和σ2。
由于静电感应,b板与a板相对的面上面电荷密度为-σ1,c板与a板相对的面上面电荷密度为-σ2。
c板和b板都接地,电势为零。
所以
即
.
(1)
式中e1和d1是a、b之间的电场强度和板面间距,e2和d2是a、c之间的电场强度和板面间距。
另外
.
(2)
式
(1)、
(2)两式联立,可以解得
.
b板上的电量为
c板上的电量为
.
(2) a板的电势
.
10-33如图10-29所示,空气平板电容器是由两块相距0.5mm的薄金属片a、b所构成。
若将此电容器放在一个金属盒k内,金属盒上、下两壁分别与a、b都相距0.25mm,电容器的电容变为原来的几倍?
图10-29
解设原先电容器的电容为c0,放入金属盒中后,形成了如图10-30所示的电容器的组合。
根据题意,有
.
图10-30
ca与cb串联的等效电容为
.
cab与c0并联的等效电容c就是放入金属盒中后的电容:
.
可见,放入金属盒中后,电容增大到原来的2倍。
10-34一块长为l、半径为r的圆柱形电介质,沿轴线方向均匀极化,极化强度为p,求轴线上任意一点由极化电荷产生的电势。
图10-31
解以圆柱体轴线的中点为坐标原点建立如图10-31所示的坐标系,x轴沿轴线向右。
根据公式
圆柱体的右端面(a端面)的极化电荷密度为+σ',b端面的极化电荷密度为-σ'。
它们在轴线上任意一点(坐标为x)产生的电势可以套用题10-27的结果。
a面上的极化电荷在该点产生的电势为
.
b面上的极化电荷在该点产生的电势为
.
该点的电势应为以上两式的叠加,即
.
10-35厚度为2.00mm的云母片,用作平行板电容器的绝缘介质,其相对电容率为2。
求当电容器充电至电压为400v时,云母片表面的极化电荷密度。
解云母片作为平行板电容器的电介质,厚度等于电容器极板间距。
根据极板间电压,可以求得云母片内的电场强度:
.
云母片表面的极化电荷密度为
.
10-36平行板电容器两极板的面积都是s=3.0⨯10-2m2,相距d=3.0mm。
用电源对电容器充电至电压u0=100v,然后将电源断开。
现将一块厚度为b=1.0mm、相对电容率为εr=2.0的电介质,平行地插入电容器中,求:
(1)未插入电介质时电容器的电容c0;
(2)电容器极板上所带的自由电荷q;
(3)电容器极板与电介质之间的空隙中的电场强度e1;
(4)电介质内的电场强度e2;
(5)两极板之间的电势差u;
(6)插入电介质后电容器的电容c。
解
(1)未插入电介质时电容器的电容为
.
(2)电容器极板上所带的自由电荷为
.
(3)电容器极板与电介质之间的空隙中的电场强度为
.
(4)电介质内的电场强度为
.
(5)两极板之间的电势差为
.
(6)插入电介质后电容器的电容为
.
10-37半径为r的均匀电介质球,电容率为ε,均匀带电,总电量为q。
求:
(1)电介质球内、外电位移的分布;
(2)电介质球内、外电场强度和电势的分布;
(3)电介质球内极化强度的分布;
(4)球体表面和球体内部极化电荷的电量。
解电介质球体均匀带电,电荷体密度为
.
(1)电介质球内、外电位移的分布
球内,即
:
,
方向沿径向向外。
球外,即
:
方向沿径向向外。
(2)电介质球内、外电场强度和电势的分布
电场强度的分布
球内,即
:
方向沿径向向外。
球外,即
:
方向沿径向向外。
电势的分布
球内,即
:
.
球外,即
:
.
(3)电介质球内极化强度的分布
球内,即
:
方向沿径向向外。
在球外p=0。
(4)球体表面和球体内部极化电荷的电量
球体表面的极化电荷密度为
极化电荷的总量为
.
因为整个球体的极化电荷的代数和为零,所以球体内部的极化电荷总量为-q'。
10-38一个半径为r、电容率为ε的均匀电介质球的中心放有点电荷q,求:
(1)电介质球内、外电位移的分布;
(2)电介质球内、外电场强度和电势的分布;
(3)球体表面极化电荷的密度。
解
(1)电介质球内、外电位移的分布
方向沿径向向外。
无论在电介质内还是在球外的真空中上式都是适用的。
(2)电场强度的分布
:
方向沿径向向外。
:
方向沿径向向外。
电势的分布
:
.
:
.
(3)球体表面极化电荷的密度
紧贴点电荷的电介质极化电荷总量为
.
电介质球表面上的极化电荷总量为
所以电介质表面的极化电荷密度为
.
10-39图10-32中a是相对电容率为εr的电介质中离边界极近的一点,已知电介质外的真空中的电场强度为e,其方向与界面法线n的夹角为α,求:
(1) a点的电场强度;
(2)点a附近的界面上极化电荷密度。
解
图10-32
(1)求解点a的电场强度可以分别求出点a电场强度的切向分量
和法向分量
,而这两个分量可以根据边界条件求得。
根据电场强度的切向分量的连续性可得
.
根据电位移矢量的法向分量的连续性可得
.
点a的电场强度的大小为
,
电场强度的方向与表面法向n的夹角α'满足下面的关系
.
(2)点a附近的界面上极化电荷密度为
.
10-40一平行板电容器内充有两层电介质,其相对电容率分别为εr1=4.0和εr2=2.0,厚度分别为d1=2.0mm和d2=3.0mm,极板面积为s=5.0⨯10-3m2,两板间的电势差为u0=200v。
(1)求每层电介质中的电场能量密度;
(2)求每层电介质中的总电场能;
(3)利用电容与电场能的关系,计算电容器中的总能量。
解
(1)两板间的电势差可以表示为
所以
.
于是可以求得电介质中的电场强度
.
电介质中的能量密度为
.
(2)第一层电介质中的总电场能为
.
第二层电介质中的总电场能为
.
(3)题意所表示的电容器相当于两个电容器的串联,这两个电容器的电容分别为
和
.
它们串联的等效电容为
.
电容器中的总能量为
.
也可以利用上面的结果来计算
.
两种计算
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- 物理学第三版刘克哲 张承琚课后习题解答第十章 物理学 第三 版刘克哲 张承琚 课后 习题 解答 第十