第2章《特殊三角形》常考题集0623 等腰三角形的判定.docx
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第2章《特殊三角形》常考题集0623等腰三角形的判定
《特殊三角形》常考题集(06):
2.3等腰三角形的判定
一、选择题
1.(2010•宁波)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的角平分线,则图中等腰三角形共有( )
A.
5个
B.
6个
C.
7个
D.
8个
2.(2010•鞍山)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2BC,在直线BC或AC上取一点P,使得△PAB为等腰三角形,则符合条件的点P共有( )
A.
4个
B.
5个
C.
6个
D.
7个
3.(2008•大庆)如图,在△ABC中,AC=BC>AB,点P为△ABC所在平面内一点,且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB,△PBC,△PAC均是等腰三角形,则满足上述条件的所有点P的个数为( )
A.
3
B.
4
C.
6
D.
7
4.(2006•贵港)小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形,其中两条较长直角边在同一直线上,则图中等腰三角形的个数是( )
A.
4
B.
3
C.
2
D.
1
5.(2004•宿迁)如图,在下列三角形中,若AB=AC,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )
A.
(1)
(2)(3)
B.
(1)
(2)(4)
C.
(2)(3)(4)
D.
(1)(3)(4)
6.若△ABC的三边a,b,c满足(a﹣b)(b﹣c)(c﹣a)=0,那么△ABC的形状是( )
A.
等腰三角形
B.
直角三角形
C.
等边三角形
D.
锐角三角形
7.△ABC中AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于D,则图中的等腰三角形有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
(第7题)
4个
8.如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高,那么这个三角形一定是( )
A.
直角三角形
B.
等边三角形
C.
等腰三角形
D.
等腰直角三角形
9.在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,若AC平分∠DAB,AB=AE,AC=AD.那么在下列四个结论中:
(1)AC⊥BD;
(2)BC=DE;(3)∠DBC=
∠DAB;(4)△ABE是正三角形,其中正确的是( )
A.
(1)和
(2)
B.
(2)和(3)
C.
(3)和(4)
D.
(1)和(4)
二、填空题
10.如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,则图中等腰三角形有 _________ 个.
11.△ABC中,AD⊥BC于D,且BD=CD,若AB=3,则AC= _________ .
12.如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,DE∥BC,则图中等腰三角形有 _________ 个.
13.(2005•绵阳)如图,在△ABC中,BC=5cm,BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,且PD∥AB,PE∥AC,则△PDE的周长是 _________ cm.
解答题
14.(2008•金华)如图,在△ABC和△DCB中,AC与BD相交于点O.AB=DC,AC=BD.
(1)求证:
△ABC≌△DCB;
(2)△OBC的形状是 _________ .(直接写出结论,不需证明)
15.(2008•乌鲁木齐)在一次数学课上,王老师在黑板上画出图,如图,并写下了四个等式:
①AB=DC,②BE=CE,③∠B=∠C,④∠BAE=∠CDE.要求同学从这四个等式中选出两个作为条件,推出△AED是等腰三角形.请你试着完成王老师提出的要求,并说明理由.(写出一种即可)
16.(2008•温州)文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时,画出图形,写出“已知”,“求证”(如图),她们对各自所作的辅助线描述如下:
文文:
“过点A作BC的中垂线AD,垂足为D”;
彬彬:
“作△ABC的角平分线AD”.
数学老师看了两位同学的辅助线作法后,说:
“彬彬的作法是正确的,而文文的作法需要订正.”
(1)请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里;
(2)根据彬彬的辅助线作法,完成证明过程.
17.(2008•内江)如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F,试判断△AFC的形状,并说明理由.
18.(2006•南充)已知:
如图,OA平分∠BAC,∠1=∠2.
求证:
△ABC是等腰三角形.
19.(2006•兰州)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的一点,BE与CD交于点O,给出下列四个条件:
①∠DBO=∠ECO;②∠BDO=∠CEO;③BD=CE;④OB=OC.
(1)上述四个条件中,哪两个可以判定△ABC是等腰三角形?
(2)选择第
(1)题中的一种情形为条件,试说明△ABC是等腰三角形.
20.(2006•莱芜)两个全等的含30°,60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置,E,A,C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC.试判断△EMC的形状,并说明理由.
21.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在BC、AB、AC边上,且BE=CF,AD+EC=AB.
(1)求证:
△DEF是等腰三角形;
(2)当∠A=40°时,求∠DEF的度数;
(3)△DEF可能是等腰直角三角形吗?
为什么?
(4)请你猜想:
当∠A为多少度时,∠EDF+∠EFD=120°,并请说明理由.
22.如图,请在下列四个等式中,选出两个作为条件,推出△AED是等腰三角形,并予以证明.(写出一种即可)
等式:
①AB=DC,②BE=CE,③∠B=∠C,④∠BAE=∠CDE.
已知:
求证:
△AED是等腰三角形.
证明:
23.已知:
点D是△ABC的边BC的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且BF=CE.
求证:
△ABC是等腰三角形.
24.已知,如图△ABC中,AB=AC,D点在BC上,且BD=AD,DC=AC.将图中的等腰三角形全都写出来.并求∠B的度数.
25.如图,在△ABC中,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,DE过O且平行于BC,已知△ADE的周长为10cm,BC的长为5cm,求△ABC的周长.
26.如图,已知AB=AC,D是AB上一点,DE⊥BC于E,ED的延长线交CA的延长线于F,试说明△ADF是等腰三角形的理由.
27.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,且DE=
,△ABF是△ADE的旋转图形.
(1)旋转中心是哪一点?
(2)旋转了多少度?
(3)AF的长度是多少?
(4)如果连接EF,那么△AEF是怎样的三角形?
《特殊三角形》常考题集(06):
2.3等腰三角形的判定
1.D 2.C 3.C4.B5.D 6.A7.C8.C9.B
10.311.312.513.5
14.
(1)证明:
在△ABC和△DCB中
,
∴△ABC≌△DCB(SSS).
(2)解:
∵△ABC≌△DCB,
∴∠OBC=∠OCB.
∴OB=OC.
∴△OBC为等腰三角形.
15.解:
已知:
①③(或①④,或②③,或②④)
证明:
在△ABE和△DCE中,
∵
,
∴△ABE≌△DCE,
∴AE=DE,
即△AED是等腰三角形.
16.
(1)解:
作辅助线不能同时满足两个条件;
(2)证明:
作△ABC的角平分线AD.
∴∠BAD=∠CAD,
又∵∠B=∠C,AD=AD,
∴△ABD≌△ACD.
∴AB=AC.
17.解:
△AFC是等腰三角形.理由如下:
在△BAD与△BCE中,
∵∠B=∠B,∠BAD=∠BCE,BD=BE,
∴△BAD≌△BCE,
∴BA=BC,∠BAC=∠BCA,
∴∠BAC﹣∠BAD=∠BCA﹣∠BCE,即∠FAC=∠FCA.
∴AF=CF,
∴△AFC是等腰三角形.
18.证明:
作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,
∵AO平分∠BAC,
∴∠3=∠4,
∴OE=OF(角平分线上的点到角两边的距离相等).
∵∠1=∠2,
∴OB=OC.
∴Rt△OBE≌Rt△OCF(HL).
∴∠5=∠6.
∴∠1+∠5=∠2+∠6.
即∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.
∴△ABC是等腰三角形.
19.解:
(1)①③,①④,②③和②④;
(2)以①④为条件,理由:
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB.
又∵∠DBO=∠ECO,
∴∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB,即∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形.
20.解:
连接MA.
∵∠EAD=30°,∠BAC=60°,
∴∠DAB=90°,
∵△EDA≌△CAB,
∴DA=AB,ED=AC,
∴△DAB是等腰直角三角形,又M为BD的中点,
∴∠MDA=∠MBA=45°,AM⊥BD(三线合一),
AM=
BD=MD,(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
∴∠EDM=∠MAC=105°,
在△MDE和△CAM中,
ED=AC,∠MDE=∠CAM,MD=AM
∴△MDE≌△CAM.
∴∠DME=∠AMC,ME=MC,
又∵∠DMA=90°,
∴∠EMC=∠EMA+∠AMC=∠EMA+∠DME=∠DMA=90°.
∴△MEC是等腰直角三角形.
21.
(1)证明:
AB=AC
∴∠B=∠C.
在△DBE和△ECF中
,
∴△DBE≌△ECF(SAS).
∴DE=EF.
∴DEF是等腰三角形.
(2)解:
∠A=40°,∠B=∠C,
∴∠B=∠C=70°.
∴∠BDE+∠DEB=110°.
△DBE≌△ECF.
∴∠FEC=∠BDE,
∴∠FEC+∠DEB=110°,
∴∠DEF=70°.
(3)解:
假设△DEF是等腰直角三角形即∠DEF=90°,
∴∠BDE+∠DEB=90°.
∴∠B=∠C=90°.
∴这与三角形的内角和定理相矛盾,
∴△DEF不可能是等腰直角三角形.
(4)解:
∠EDF+∠EFD=120°,即∠DEF=60°,
∴∠FEC+∠DEB=120°,即∠B=60°.
∵AB=AC,
∴∠A=60°.
22.解:
已知:
①③(或①④,或②③,或②④)
证明:
在△ABE和△DCE中
∵
∴△ABE≌△DCE;
∴AE=DE;
△AED是等腰三角形.
23.证明:
∵D是BC的中点,
∴BD=CD,
∵DE⊥AC,DF⊥AB,
∴△BDF与△CDE为直角三角形,
在Rt△BDF和Rt△CDE中,
,
∴Rt△BFD≌Rt△CED(HL),
∴∠B=∠C,
∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形.
24.解:
图中等腰三角形有△ABC,△ADB,△ADC
∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形;
∵BD=AD,DC=AC
∴△ADB和△ADC是等腰三角形;
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵BD=AD,DC=AC
∴∠B=∠BAD,∠ADC=∠DAC=2∠B,
在△ACD中,
∵∠ADC=∠DAC=2∠B,∠C=∠B,
∴5∠B=180°
∴∠B=36°.
25.解:
∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,
∴∠DBO=∠OBC,∠ECO=∠OCB,
∵DE∥BC,
∴∠DOB=∠OBC,∠EOC=∠OCB,
∴∠DBO=∠DOB,
∠ECO=∠EOC,
∴BD=OD,CE=EO(等角对等边)
∵AD+DE+AE=10cm,
∴AD+BD+CE+EA=10cm,
又BC的长为5cm,所以△ABC的周长是:
AD+BD+CE+EA+BC=10+5=15cm.
26.证明:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C(等边对等角).(1分)
∵DE⊥BC于E,
∴∠FEB=∠FEC=90°.
∴∠B+∠EFB=∠C+∠EFC=90°.
∴∠EFC=∠EDB(等角的余角相等).(2分)
∵∠EDB=∠ADF(对顶角相等),
∴∠EFC=∠ADF.(2分)
∴△ADF是等腰三角形.
27.解:
观察图形,由△ADE到△ABF的旋转可知:
(1)旋转中心是点A;
(2)顺时针旋转90°;
(3)由旋转可知BF=DE=
.
由勾股定理得:
AF=
=
.
(4)等腰直角三角形.
由旋转可知;AE与AF是对应边,
∴AE=AF,∠EAF=90°,
则△AEF是等腰直角三角形.
第2章《特殊三角形》常考题集(20):
2.7直角三角形全等的判定
1.A2.D3.D4.B5.A6.D7.B8.B9.A10.D11.D12.D13.A14.B15.B16.B17.B18.D19.D20.B21.D22.A23.B24.B25.D26.B27.B28.C29.D30.B
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