专题06 函数的奇偶性周期性与对称性备战高考数学理一轮复习考点通.docx
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专题06函数的奇偶性周期性与对称性备战高考数学理一轮复习考点通
专题6函数的奇偶性、周期性与对称性
基础知识要夯实
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数:
对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
3.函数的周期性
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
(4)函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
①若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).
②若f(x+a)=
,则T=2a(a>0).
③若f(x+a)=-
,则T=2a(a>0).
(5)对称性的三个常用结论
①若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
②若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
③若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.
基本技能要落实
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y=x2在x∈(0,+∞)时是偶函数.( )
(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.( )
(3)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.( )
(4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.( )
【答案】
(1)×
(2)× (3)√ (4)√
【解析】
(1)由于偶函数的定义域关于原点对称,故y=x2在(0,+∞)上不具有奇偶性,
(1)错.
(2)由奇函数定义可知,若f(x)为奇函数,其在x=0处有意义时才满足f(0)=0,
(2)错.
(3)由周期函数的定义,(3)正确.
(4)由于y=f(x+b)的图象关于(0,0)对称,根据图象平移变换,知y=f(x)的图象关于(b,0)对称,正确.
2.(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是( )
A.y=x2sinxB.y=x2cosx
C.y=|lnx|D.y=2-x
【答案】B
【解析】根据偶函数的定义知偶函数满足f(-x)=f(x)且定义域关于原点对称,A选项为奇函数;B选项为偶函数;C选项定义域为(0,+∞),不具有奇偶性;D选项既不是奇函数,也不是偶函数.
3.(2020·衡水模拟)下列函数既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y=x3B.y=x
C.y=|x|D.y=|tanx|
【答案】C
【解析】对于A,y=x3为奇函数,不符合题意;
对于B,y=x
是非奇非偶函数,不符合题意;
对于D,y=|tanx|是偶函数,但在区间(0,+∞)上不单调递增.
4.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f
(2)=________.
【答案】12
【解析】∵x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,且f(x)在R上为奇函数,
∴f
(2)=-f(-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12.
5.(2019·上海崇明二模)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则当x∈[1,2]时,f(x)=________.
【答案】log2(3-x)
【解析】当x∈[1,2]时,x-2∈[-1,0],2-x∈[0,1],
又f(x)在R上是以2为周期的偶函数,
∴f(x)=f(x-2)=f(2-x)=log2(2-x+1)=log2(3-x).
核心素养要做实
考点一 判断函数的奇偶性
【例1】判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=
+
;
(2)f(x)=
【解析】
(1)由
得x2=3,解得x=±
,
即函数f(x)的定义域为{-
,
},
从而f(x)=
+
=0.
因此f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
∵当x<0时,-x>0,
则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);
当x>0时,-x<0,
则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x);
综上可知:
对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x)成立,∴函数f(x)为奇函数.
【思维升华】判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:
(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
【迁移应用】
(1)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )
A.y=x+sin2xB.y=x2-cosx
C.y=2x+
D.y=x2+sinx
【答案】D
【解析】对于A,定义域为R,f(-x)=-x+sin2(-x)=-(x+sin2x)=-f(x),为奇函数;对于B,定义域为R,f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cosx=f(x),为偶函数;对于C,定义域为R,f(-x)=2-x+
=2x+
=f(x),为偶函数;对于D,y=x2+sinx既不是偶函数也不是奇函数.
考点二 函数的周期性及其应用
【例2】
(1)(一题多解)(2020·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f
(1)=2,则f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(50)=( )
A.-50B.0C.2D.50
(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________.
【答案】
(1)C
(2)7
【解析】
(1)法一 ∵f(x)在R上是奇函数,且f(1-x)=f(1+x).
∴f(x+1)=-f(x-1),即f(x+2)=-f(x).
因此f(x+4)=f(x),则函数f(x)是周期为4的函数,
由于f(1-x)=f(1+x),f
(1)=2,
故令x=1,得f(0)=f
(2)=0
令x=2,得f(3)=f(-1)=-f
(1)=-2,
令x=3,得f(4)=f(-2)=-f
(2)=0,
故f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,
所以f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f
(1)+f
(2)=2.
法二 取一个符合题意的函数f(x)=2sin
,则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列.
故f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(50)=12×[f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)]+f
(1)+f
(2)=12×[2+0+(-2)+0]+2+0=2.
(2)因为当0≤x<2时,f(x)=x3-x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且f(0)=0,
则f(6)=f(4)=f
(2)=f(0)=0.
又f
(1)=0,∴f(3)=f(5)=f
(1)=0,
故函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点有7个.
【思维升华】1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时,应根据周期性或奇偶性,由待求区间转化到已知区间.
2.若f(x+a)=-f(x)(a是常数,且a≠0),则2a为函数f(x)的一个周期.第
(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数,优化了解题过程.
【迁移应用】
(1)(2020·南充二模)设f(x)是周期为4的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=x(1+x),则f
=( )
A.-
B.-
C.
D.
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=________.
【答案】
(1)A
(2)6
【解析】
(1)∵f(x)是周期为4的奇函数,
∴f
=-f
=-f
,
又0≤x≤1时,f(x)=x(1+x),
故f
=-f
=-
f
=-
.
(2)∵f(x+4)=f(x-2),
∴f[(x+2)+4]=f[(x+2)-2],即f(x+6)=f(x),
∴f(919)=f(153×6+1)=f
(1),
又f(x)在R上是偶函数,
∴f
(1)=f(-1)=6-(-1)=6,即f(919)=6.
考点三 函数性质的综合运用
多维探究
角度1 函数单调性与奇偶性
【例3-1】(2020·石家庄模拟)设f(x)是定义在[-2b,3+b]上的偶函数,且在[-2b,0]上为增函数,则f(x-1)≥f(3)的解集为( )
A.[-3,3]B.[-2,4]C.[-1,5]D.[0,6]
【答案】B
【解析】 因为f(x)是定义在[-2b,3+b]上的偶函数,
所以有-2b+3+b=0,解得b=3,
由函数f(x)在[-6,0]上为增函数,得f(x)在(0,6]上为减函数.故f(x-1)≥f(3)⇒f(|x-1|)≥f(3)⇒|x-1|≤3,故-2≤x≤4.
【思维升华】1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.
2.本题充分利用偶函数的性质f(x)=f(|x|),避免了不必要的讨论,简化了解题过程.
角度2 函数的奇偶性与周期性
【例3-2】
(1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+5)=f(x),且当x∈
时,f(x)=x3-3x,则f(2018)=( )
A.2B.-18C.18D.-2
(2)(2020·洛阳模拟)已知函数y=f(x)满足y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函数,且f
(1)=
,设F(x)=f(x)+f(-x),则F(3)=( )
A.
B.
C.πD.
【答案】
(1)D
(2)B
【解析】
(1)∵f(x)满足f(x+5)=f(x),
∴f(x)是周期为5的函数,
∴f(2018)=f(403×5+3)=f(3)=f(5-2)=f(-2),
∵f(x)是奇函数,且当x∈
时,f(x)=x3-3x,
∴f(-2)=-f
(2)=-(23-3×2)=-2,故f(2018)=-2.
(2)由y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函数知f(-x)=f(x),且f(x+2)=f(-x+2),则f(x+2)=f(x-2).
∴f(x+4)=f(x),则y=f(x)的周期为4.
所以F(3)=f(3)+f(-3)=2f(3)=2f(-1)=2f
(1)=
.
答案
(1)D
(2)B
【思维升华】周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行交换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.
【迁移应用】
(1)(2020·重庆九校模拟)已知奇函数f(x)的图象关于直线x=3对称,当x∈[0,3]时,f(x)=-x,则f(-16)=________.
(2)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是单调递增函数.如果实数t满足f(lnt)+f
≤2f
(1),那么t的取值范围是________.
【答案】
(1)2
(2)
【解析】
(1)根据题意,函数f(x)的图象关于直线x=3对称,则有f(x)=f(6-x),
又由函数为奇函数,则f(-x)=-f(x),
则有f(x)=-f(6-x)=f(x-12),
则f(x)的最小正周期是12,
故f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f
(2)=-(-2)=2.
(2)由于函数f(x)是定义在R上的偶函数,
所以f(lnt)=f
,
由f(lnt)+f
≤2f
(1),
得f(lnt)≤f
(1).
又函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调递增函数,
所以|lnt|≤1,即-1≤lnt≤1,故
≤t≤e.
达标检测要扎实
1.下列函数中,既是偶函数,又在(0,1)上单调递增的函数是( )
A.y=|log3x|B.y=x3
C.y=e|x|D.y=cos|x|
【答案】C
【解析】对于A选项,函数定义域是(0,+∞),故是非奇非偶函数,显然B项中,y=x3是奇函数.
对于C选项,函数的定义域是R,是偶函数,且当x∈(0,+∞)时,函数是增函数,故在(0,1)上单调递增,正确.
对于D选项,y=cos|x|在(0,1)上单调递减.
2.(一题多解)(2019·河北“五个一”名校联盟二模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=
,则g(-8)=( )
A.-2B.-3C.2D.3
【答案】A
【解析】法一 当x<0时,-x>0,且f(x)为奇函数,
则f(-x)=log3(1-x),所以f(x)=-log3(1-x).
因此g(x)=-log3(1-x),x<0,
故g(-8)=-log39=-2.
法二 由题意知,g(-8)=f(-8)=-f(8)=-log39=-2.
3.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(-2,0)时,f(x)=2x2,则f(2019)等于( )
A.-2B.2C.-98D.98
【答案】B
【解析】由f(x+4)=f(x)知,f(x)是周期为4的函数,
f(2019)=f(504×4+3)=f(3),
又f(x+4)=f(x),∴f(3)=f(-1),
由-1∈(-2,0)得f(-1)=2,
∴f(2019)=2.
4.(一题多解)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为( )
A.a
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