函数单调性奇偶性周期性和对称性的综合应用.docx
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函数单调性奇偶性周期性和对称性的综合应用
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函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用
例1、设f(x)是定义在R上的奇函数,且yfX的图象关于直线X1对称,则f
2
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)+f⑸=_0.
【考点分析】本题考查函数的周期性
解析:
f0f0得f00,假设fn0
1
因为点(n,0)和点(n1,0)关于x-对称,所以fn1fnfn0
2
因此,对一切正整数n都有:
fn0
从而:
f1f2f3f4f50。
本题答案填写:
0
例2、(2006福建卷)已知f(x)是周期为2的奇函数,当Ox1时,f(x)lgx.
635
设af(—),bf(-),cf(-),则
522
(A)abc(B)bac(C)cba(D)cab
解:
已知f(x)是周期为2的奇函数,当0x1时,f(x)lgx.
64431151
设af(6)f(-)f(-),bf(|)f(;)f(p,cf(|)f(-)<0,/
55522222
cab,选D.
例3、(安徽卷理)函数fx对于任意实数x满足条件f
【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值,中档题。
—得fx4
x
15,则ff5
解析:
由fx2
1
f(x),所以f(5)f
(1)5,则
x2
11
ff5f(5)f
(1)
f(12)5
【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外,一
1
般都比较灵活。
本题应直观理解fx2“只要加2,则变倒数,加两次则回原位”则一通尽通也。
例4、设f
x是
上的奇函数,
fx2fx,当0 时,fxx, 贝f(7.5) 等于( ) A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5 解析: 由f x2 fxf7.5 f5.5f3.5f1.5f 0.5,又fx 是奇函数,故f0.5f0.50.5,故选择B。 例5、(福建卷)f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,且f (2)0,贝昉程 f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是(B) A.5B.4C.3D.2 解析: 由f(x)的周期性知,f (2)f5f1f1f40 即至少有根1,2,4,5。 故选择B。 例6、(广东卷)设函数f(x)在(,)上满足f(2x)f(2x),f(7x)f(7x), 且在闭区间[0,7]上,只有f (1)f(3)0. (I)试判断函数yf(x)的奇偶性; (U)试求方程f(x)=0在闭区间]-2005,2005]上的根的个数,并证明你的 结论. 解: 由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x) 得函数yf(x)的对称轴为 x2和x7, 从而知函数yf(x)不是奇函数, 由f(2x)f 由f(7x)f f(x) f(x 又f(3) f(0) (II)由 f(2x) f(7x) 10),从而知函数y 0,而f(7) f(2x) f(7x) 2x)f(x) 7x)f(x) ff((144xx))f(4x)f(14x) f(14x) f(x)的周期为T10 0,故函数 yf(x)是非奇非偶函数; f(x)f(x) ff((144xx))f(4x)f(14 f(14x) f(x)f(x10) (II)又f(3)f(0)0,f(11)f(13)f(7)f(9)0 故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数yf(x)在[0,2005]上有 402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数yf(x)在[-2005,2005]上有802个解. 例7、若f(x)是偶函数, g(x)是奇函数,它们有相同的定义域,且 f(x)g(x) 解: Vf(x) 1 x1 1 g(x)①,二f(x)g(x) x1 ,求f(x),g(x)的表达式。 是偶函数f(x)f(x),g(x)是奇函数g(x)g(x), •••①' f(x)g(x) ①+②得: f(x) ①-②得: g(x) 1 1②, x1 1 2 x1 x x1 例8、已知函数f(X) x3x,xR (1)指出f(x) 在定义域R的奇偶性与单调性;(只须写出结论,无须证明) (2)若a,b,c€R,且a+b>0,b+c>0,c+a>0, 证明: f(a)+f(b)+f(c)>0。 (12分) 解: (1)f(x)是定义域R上的奇函数且为增函数。 (2)由a+b>0得a>-b,由增函数f(a)>f(-b),且奇函数f(-b)=-f(b), 得f(a)+f(b)>0。 同理可得f(b)+f(c)>0,f(c)+f(a)>0。 相加得: f(a)+f(b)+f(c)>0 例9、.设函数f(x)的定义域关于原点对称,且对于定义域内任意的为X2,有 5g盅孟,试判断f(x奇偶性,并证明你的结论。 (12分) 解: •••f(XiX2)1ggf(X2Xi) f(X2)f(Xi) 1f(Xi)f(X2) f(Xi)f(X2) 1f(Xi)f(X2) f(X2)f(Xi) f(XiX2), 设XXiX2,贝UXX2Xi,.・.f(-X)=-f(X); 又Tf(X)的定义域关于原点对称,•••f(X)为奇函数 X f(y) 例I0、•设f(x)的定义域为(0,+%),且在(0,+%)是递增的,f(_)f(X) y (1)求证: f(i)=0,f(xy)=f(x)+f(y); i (2)设f (2)=i,解不等式f(x)f()2。 (i2分) x3 X 证明: (i)f(—)f(x)f(y),令x=y=i, y 则有: f(i)=f(i)-f(i)=0, Xi f(xy)f(7)f(x)f()f(x)[f(i)f(y)]f(x)f(y)。 1y y i (2)解: Tf(x)f()f(x)[f(i)f(x3)] x3 f(x)f(x3)f(x23x), ••2=2X仁2f (2)=f (2)+f (2)=f(4), i2 •••f(x)f()2等价于: f(x23x)f(4)①, x3 且x>0,x-3>0[由f(x)定义域为(0,+%)可得]。 Tx(x3)X23x0,4>0,又f(X)在(0,+%)上为增函数, •••①x23x4ix4。 又X>3, •••原不等式解集为: {x|3 例11、.如图1-3-1由A城运物到B城,先走一段水路AD,再走一段公路DB,已知水路运费是公路运费的一半,AC=40公里,BC=30公里,问码头D建在何 处才能使运费最省? (12分) WI-3-1 解: 设AD=x公里,则CD=40-x公里,BD.(40一灭)2一302公里。 设每公里的水路费用m,则每公里的路费为2m,由A城到B城的货物的总运费为: Mmx2m、_(40x)2302①。 令yM显然要求M最小值,只要求y最小值m 即可。 把①整理得: 3x22(160y)x(10000y2)0①’,对方程①’ 04(16y)212(10000y)20y4030.3或y4030.30(舍 去)。 把y4030亦代入①’解得x10(4V3)23(公里)。 2 f(x1)。 答: 将码头建在离A城约23公里处,运费最省 例12、.已知f(x)x2c,且f[f(x)] (1)设g(x)=f[f (x)],求g(x)的解析式; (2)设(x)g(x)f(x),试问是否存在实数入,使(X)在(-X,-1)递减, 且在(-1,0)上递增? 解: (1)Vf(x)x2 c,• f(x2 1) /22 (x1)c, •g(x)f[f(x)] f(x2 c) (x2 c)2c。 2 又f[f(x)]f(x 1) (x2 1)2 22 c(xc)cc1 22 •••g(x)(x1)1。 (2)(x)g(x)f(x)(x21)21(x2c)x4 (2)x22 任取x1x2, 贝(x1) 4 (x2)x14(2 )x12 4 x2 (2 )x22 (x12 x2)(Xi2x;2)①。 (x)在( 1)上递减x2 x1 1 22 x1x2 2 x1 x20,XiX2且(x) 递减①<0, 又x12x220, 贝: x12 x2220恒成立 2 x1 x222, x2x1 11x12x22 2 x1 2 x2 2 4 4①' 。 (x)在( -1,0)上递增 1 x2 x1 0x12 2 x2 22 xix20。 x1x2且 (x)递增①>0 ,又 2 x1 2 x2 0, 贝x12x22 20恒成立 2 x1 2 x22,1x2 x1 0 0 22 x121 2 x1 2 x22244 ②’,由①’、②’知4。 [解题点拨]本题综合性较强,考查的是复合函数解析式求法、恒等式成立的条件、复合函数单调性等知识点。 对于第 (2)问,通常可用函数单调性定义来求解,也可以从复合函数角度结合二次函数性质来求解。 作业: 1、f(x)为(,)上的减函数,aR,贝U() (A)f(a)f(2a)(B)f(a2)f(a)(C)f(a21)f(a)(D)f(a2a)f(a) 2、如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数,且最小值为5, 那么在区间[-7,-3]上是() A•增函数且最小值为—5 B.增函数且最大值为—5 C.减函数且最小值为—5 D•减函数且最大值为—5 3、定义在[1,1]上的函数yf(x)是减函数,且是奇函数,若f(a2a1)f(4a5)0,求实数a的范围。 4、已知二次函数f(x)ax2bx满足f(1x)f(1x),且方程f(x)x有两个相等实根,若函数f(x)在定义域为[m,n]上对应的值域为[2m,2n],求m,n的值。 5、已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)2x的解集为(1,3)。 (I)若方程f(x)6a0有两个相等的根,求f(x)的解析式; (U)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围。 设f(x)x22ax,(0x1)的最大值M(a),最小值m(a)。 试求M(a),m(a)的表达式, 并求出函数M(a)的最值。
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- 关 键 词:
- 函数 调性 奇偶性 周期性 对称性 综合 应用
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