函数奇偶性周期性对称性一.docx
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函数奇偶性周期性对称性一
函数奇偶性、周期性、对称性
(一)
函数的奇偶性、周期性、对称性
一、函数的奇偶性
1.函数奇偶性的定义:
函数f(x)的定义域必须关于原点对称,对定义域内的任意一个x都满足
①f(-x)=f(x)Û函数f(x)为偶函数;
②f(-x)=-f(x)Ûf(-x)+f(x)=0Û函数f(x)为奇函数.
2.奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称;反过来如果一个函数的图像
关于原点对称,则该函数为奇函数,若该函数的图像关于y轴对称,该函数为偶函数.
3.函数奇偶性的性质
①既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,xÎD,其中定义域D是
关于原点对称的非空数集.
②奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同.即奇函数f(x)在
区间[a,b](0£a
③偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.即偶函数f(x)在
区间[a,b](0£a
④任意定义在R上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和.即
f(x)=f(x)+f(-x)+f(x)-f(-x).
22
二、函数的周期性
1.函数的周期性定义:
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得定义域内的每一
个个x值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期,应注意nT(nÎZ且n¹0)也是函数的周期.
2.最小正周期:
如果在周期函数f(x)的所有周期中,存在一个最小的正数,那么这个最
小的正数就叫做f(x)的最小正周期.并非所有的函数都有最小正周期,如f(x)=c(c为常数),任意一个实数x都是该函数的一个周期,却没有最小正周期.
三、函数的对称性
1.函数轴对称:
如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称,该直线称为该函数的对称轴.
2.中心对称:
如果一个函数的图像沿一个点旋转180°,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心.
【必记结论】
1.奇函数f(x)若在x=0处有定义,则必有f(0)=0,但若不能判断奇函数f(x)的定义
域中一定有x=0,则不能使用f(0)=0,求取参数的值.
2.函数
f(x)的定义域关于原点对称,则函数F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数,函数
F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数.
3.几类函数的周期(约定a>0)问题:
①若函数f(x)满足:
f(x+a)=f(x-a)或f(x+a)=-f(x)或
f(x+a)=k
f(x)
(f(x)¹0,k¹0),或f(x+a)=-k
f(x)(f(x)¹0,k¹0),或
f(x+a)=1-f(x)或f(x+a)+f(x)=b等,则f(x)的周期T=2a;
1+f(x)
②若y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a¹b)对称,则函数y=f(x)是周期为
2a-b的周期函数;
③若y=f(x)的图象关于(a,0)对称,同时关于点(b,0)对称,(b¹a),则函数
y=f(x)是周期为2|b-a|;
④若y=f(x)的图象关于x=a对称,同时关于点(b,0)对称,(b¹a),则函数
y=f(x)是周期为4|b-a|.
4.函数y=f(x)的图像的对称性
①函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称Ûf(a+x)=f(a-x)Ûf(2a-x)=f(x).
②函数y=f(x)的图像关于点(a,0)对称Ûf(x)=
-
f(2a-
x)Ûf(a+x)=-f(a-x).
③函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图像关于直线x=b+a
2
对称.
④若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(a+x)+f(b-x)+c=0,则函数y=f(x)的图像关于点(a+b,-c)成中心对称图形.
22
5.高中涉及对称性问题的几个基本函数的对称轴、对称中心的问题
①常数函数:
既是轴对称又是中心对称,其中直线上的所有点均为它的对称中心,与该直线相垂直的直线均为它的对称轴.
②一次函数:
既是轴对称又是中心对称,其中直线上的所有点均为它的对称中心,与该直线相垂直的直线均为它的对称轴.
③二次函数f(x)=ax2+bx+c(a¹0):
是轴对称,不是中心对称,其对称轴方程为x=-b.
2ak④反比例函数y=(k¹0):
既是轴对称又是中心对称,其中原点为它的对称中心,xy=x与y=-x均为它的对称轴.推广:
函数a(cx+d)+b-adb-ad
y=ax+b=cc
=a+cc2
,由函数图象的平移知识易知:
函数cx+dcx+dcx+dcd
a
x+2的对称中心为(-,).(思考:
如何快速作出函数y=cc
2x+5的图象?
找对称中心,化分母变量的系数为正,并将分母为零点时的自变量的值代入分子,看正负,从而快速画出图形.)
⑤函数y=a|x-b|+c的图象关于直线x=b对称.
b+c⑥函数y=|ax-b|+|ax-c|(a¹0)的对称轴为x=
aa=b+c;22ay=|ax-b|-|ax-c|(a¹0)的对称中心为(b+c,0).
2a
⑦函数y=x+a(a¹0)是奇函数,图象关于原点(0,0)对称.
x
⑧函数y=Asin(x+)+k、y=Acos(x+)+k的图象既是轴对称图形,也是中
心对称图形,它们的对称轴在函数取得最值(最大或最小)时取到,它们的对称中心是“平衡点”.
⑨三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a¹0)的图象是中心对称图形,对称中心为(-b
3a
f(-b))(二阶导数为零时的自变量的取值为对称中心的横坐标,在该点的函3a数值是对称中心的纵坐标).
⑩绝对值函数:
这里主要说的是y=f(|x|)和y=|f(x)|两类.前者显然是偶函数,它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方,是否仍然具备对称性,这也没有一定的结论,例如y=lnx就没有对称性,而y=|sinx|却仍然是轴对称.
6.两个函数图像的对称性
①互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称.如指数函数y=ax与对数函数
y=logax的图象关于直线y=x对称.
②函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图像关于直线x=b-a
2
对称.
③函数y=f(a+wx)与函数y=f(b-wx)的图像关于直线x=b-a
2w
对称.
【解题方法】
1.定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件.
2.函数奇偶性的判断方法:
①定义法判断,步骤:
1)求出函数的定义域;2)判断定义域是否关于原点对称;3)
根据定义域化简函数的解析式,并求出f(-x);4)
判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明,否则要举出反例,若在函数f(x)的定义域内有f(-m)¹f(m),则可以断定f(x)不是偶函数,同样,若在函数f(x)的定义域内有f(-m)¹-f(m),则可以断定f(x)不是奇函数);
(1)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(-x)与f(x)的关系,只有对各段上的x都满足相同的关系时,才能判断其奇偶性.
(2)对于抽象函数奇偶性的判断,应充分利用定义,巧妙赋值,通过合理、灵活地变形配凑来判定.
②函数的图像法判断(函数的图像是否关于原点对称;函数的图像是否关于y轴对称);
③函数f(x),g(x)的公共定义域关于原点对称
1)若函数f(x),g(x)都为奇函数或都为偶函数,则函数F(x)=f(x)g(x)为偶函数;
2)若函数f(x),g(x)其中一个为奇函数,另一个为偶函数,则函数F(x)=为奇函数;
f(x)g(x)
3)若函数f(x),g(x)都为奇函数,则函数F(x)=f(x)+g(x)为奇函数;
4)若函数f(x),g(x)都为偶函数,则函数F(x)=f(x)+g(x)为偶函数.
复合函数y=f[g(x)]的奇偶性原理:
内偶则偶,两奇为奇.
3.已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数:
常采用待定系数法,利用f(x)±f(x)=0产生关于字母的恒等式,由系数的对等性可得知字母的值.
4.如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|),通常在求解与偶函数、单调性有关的不
等式时,利用此公式进行转化所求解的不等式.
5.周期性与奇偶性相结合的综合问题中,周期性起到转换自变量值的作用,奇偶性起到调节符号作用.
6.对抽象函数的周期性、对称性问题的总结
①当括号里面x前面的符号一正一负时告诉我们的就是对称性,其中的对称为多少我们可以用特殊值代入来猜测,这里并不主张记结论,因为很容易与后面的结论相混淆.
②而当x前面的符号相同时告诉我们的是周期性.
③当x前面的符号相同,同时告诉我们奇偶性时我们也可以推出对称性,因为奇偶性有制造负号的能力.
7.证明一个函数y=f(x)关于直线x=a对称的步骤:
①设函数y=f(x)图像上的任意点(x,y);②找到点(x,y)关于直线x=a的对称点(2a-x,y);③设法证明点(2a-x,y)也在函数y=f(x)的图像上;④下结论.
8.证明一个函数y=f(x)关于点(a,b)对称的步骤:
①设函数y=f(x)图像上的任意点(x,y);②找到点(x,y)关于点(a,b)的对称点(2a-x,2b-y);③设法证明点(2a-x,2b-y)也在函数y=f(x)的图像上;④下结论.
9.对于证明两个函数的图像关于直线x=a对称或关于点(a,b)对称的方法参照一个函数的
证明方法进行即可.
10.已知定义在R上的周期函数f(x),周期为T,函数f(x)的一个对称中心为(a,b)或对
TT称轴为x=a,则点(k×+a,b)必是函数f(x)的对称中心,直线x=k×+a必是函22数f(x)的对称轴(每相邻两个对称中心之间相差半周期,每相邻两条对称轴之间相差
半周期,只要有有一个对称中心,根据周期就可求出所有的对称中心,只要知道一条对称轴,就可以根据周期找出所有的对称轴,但是由对称中心及周期,却不能找出对称轴,同样由对称轴及周期,也不能找到对称中心).
11.若函数y=f(x)有对称中心,则函数y=f(x)的对称中心求解类型有:
①若函数y=的横坐标;
②若函数y=坐标;
f(x)的定义域有对称中心,则对称中心的横坐标就是定义域的对称中心
f(x)的值域有对称中心,则对称中心的纵坐标就是值域的对称中心的纵
③若函数y=f(x)的定义域与值域都是R,则设对称中心为(a,b),由
f(a+x)+f(a-x)=2b确定参数a,b的值即可.
④上些具体函数的对称中心问题:
三次函数的对称中心,可通过二阶导数为零求出,对于一些明显可以来奇函数平移得来的函数,可以借用奇函数的性质与平移方法得到函数的对称中心.
注:
函数y=1+
1+L+
1的对称中心为æ-n,0ö.
xx+1x+nç2÷èø【易错提醒】
1.判断函数的奇偶性,务必先判断函数的定义域是否关于原点对称.如函数
f(x)=x2(x<1),该函数是没有奇偶性,但如果没有判断函数的定义域,而直接
f(-x)=(-x)2=x2=f(x),容易得出错误的结论:
f(x)=x2(x<1)是偶函数.
2.奇函数f(x)在x=0处可以没有定义,如f(x)=定义,则f(0)=0.
1;但如果奇函数f(x)在x=0处有x
3.周期函数f(x)的定义域至少有一边是无界的.如:
命题“函数f(x)=sinx在
[-1000,1000]是周期函数”是错误的;命题“函数f(x)=sinx在[0,+¥)是最小正
周期为2的周期函数”是正确的,该函数没有负周期;命题“函数f(x)=sinx在(-¥,0]是周期为-2的周期函数”是正确的,但该函数却没有最小正周期.
4.有对称性(对称轴x=a,对称中心(a,b))的一个或两个函数的定义域必须关于x=a
对称.
5.在具体练习中,务必注意一个函数的对称性还是两个函数对称性,这两者是有区别的.如函数y=f(x)满足f(2-x)=f(4+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=2+4=3对称;函数y=2x=2-4=-1对称.
2
f(2-x)的图象与函数y=f(x+4)的图象则关于直线
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- 函数 奇偶性 周期性 对称性