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第七章空间解析几何与向量代数
第一节空间直角坐标系
教学目的:
将学生的思维由平面引导到空间,使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。
教学重点:
1.空间直角坐标系的概念
2.空间两点间的距离公式
教学难点:
空间思想的建立
教学内容:
一、空间直角坐标系
1.将数轴(一维)、平面直角坐标系(二维)进一步推广建立空间直角坐标系
(三维)如图
7-1,其符合右手规则。
即以右手握住
z轴,当右手的四个手指
从正向
x轴以
角度转向正向
y轴时,大拇指的指向就是
z轴的正向。
2
间直角坐标系共有
八个卦限,各轴名称分别为:
轴、
y轴、
轴,坐标面分
别为
xoy面、
yoz面、
zox面。
坐标面以及卦限的划分如图
7-2所示。
图7-
1右手规则演示
图7-2空间直角坐标系图
图7-3
空间两点
M1M2
的距离图
3.空间点M(x,y,z)的坐标表示方法。
通过坐标把空间的点与一个有序数组
一一对应起来。
注意:
特殊点的表示
a)在原点、坐标轴、坐标面上的点;
b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。
4.空间两点间的距离。
若
M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间任意两点,
则M1M2的距离(见图
7-3),利用直角三角形勾股定理为:
d2
2
2
2
M1M2
M1NNM2
2
2
2
M1p
pNNM2
而M1Px2x1
PNy2y1
NM2z2
z1
所以
d
M1M2
(x2
x1)2
(y2y1)2
(z2z1)2
特殊地:
若两点分别为
M(x,y,z),o(0,0,0)
d
oM
x2
y2
z2
例1:
求证以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个
等腰三角形。
2
(4
7)2
(3
1)2
(1
2)
2
14
证明:
M1M2
M2M3
2
7)2
(2
1)2
(3
2)2
6
(5
2
4)2
(2
3)2
(3
1)2
6
M3M1(5
由于
M2M3
M3M1,原结论成立。
例2:
设P在x轴上,它到P(0,
2,3)的距离为到点
P2(0,1,1)
的距离的两倍,
1
求点P的坐标。
解:
因为P在x轴上,设P点坐标为(x,0,0)
PP1
x2
2
PP2x21
2
x2
11
32
2
x2
2
12
PP1
2PP2
x2
112x2
2
x
1
所求点为:
(1,0,0),(1,0,0)
小结:
空间直角坐标系(轴、面、卦限)
空间两点间距离公式
作业:
第二节向量及其运算
教学目的:
使学生对(自由)向量有初步了解,为后继内容的学习打下基础。
教学重点:
1.向量的概念2.向量的运算
教学难点:
向量平行与垂直的关系
教学内容:
一、向量的概念
1.向量:
既有大小,又有方向的量。
在数学上用有向线段来表示向量,其长度
表示向量的大小,其方向表示向量的方向。
在数学上只研究与起点无关的自由向量(以后简称向量)。
量的表示方法有:
a、i、F、OM等等。
向量相等ab:
如果两个向量大小相等,方向相同,则说(即经过平移后能完全重合的向量)。
量的模:
向量的大小,记为a、OM。
模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。
零向量的方向是任意的。
量平行a//b:
两个非零向量如果它们的方向相同或相反。
零向量与如何向量都平行。
负向量:
大小相等但方向相反的向量,记为a
二、向量的运算
1.加减法abc:
加法运算规律:
平行四边形法则(有时也称三角形法则),其满足的运算规律有交
换率和结合率见图7-4
2.abc即a(b)c
bca
3.向量与数的乘法
a:
设
是一个数,向量
a与的乘积
a规定为
(1)
0时,
a与a同向,|
a|
|a|
(2)
0时,
a
0
(3)
0时,
a与a反向,|
a||
||a|
其满足的运算规律有:
结合率、分配率。
设
a0
表示与非零向量
a同方向的单位
向量,那么a0
a
a
定理1:
设向量a≠0,那么,向量
b平行于a的充分必要条件是:
存在唯一的
实数λ,使b=a
例1:
在平行四边形
ABCD中,设AB
a,AD
b,
试用a和b表示向量MA、MB、MC和MD,这
里M是平行四边形对角线的交点。
(见图
7-5)
图7-4
解:
a
b
AC
2AM,于是MA
1(a
b)
1(a
2
由于MC
MA,
于是MC
b)
2
1
又由于
a
b
BD
2MD,于是MD
(ba)
2
1
由于MB
MD,
于是MB
a)
(b
2
小结:
本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识,引导学生
对向量(自由向量)有清楚的理解,并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算。
作业:
第三节向量的坐标
教学目的:
进一步介绍向量的坐标表示式、为空间曲面等相关知识打好基础。
教学重点:
1.向量的坐标表示式
2.向量的模与方向余弦的坐标表示式
教学难点:
1.向量的坐标表示
2.向量的模与方向余弦的坐标表示式
教学内容:
一、向量在轴上的投影
1.几个概念
(1)轴上有向线段的值:
设有一轴
u,AB是轴u上的有向线段,如果数
满
足
AB,且当AB与轴u同向时
是正的,当AB与轴u反向时
是负
的,那么数
叫做轴u上有向线段
AB的值,记做AB,即
AB。
设e是与
u轴同方向的单位向量,则
AB
e
设A、B、C是u轴上任意三点,不论三点的相互位置如何,总有ACAB
BC
两向量夹角的概念:
设有两个非零向量
a和b,任取空间一点
O,作OA
a,
OB
b,规定不超过
的AOB称为向量a和b的夹角,记为(a,b)
空间一点A在轴u上的投影:
通过点
A作轴u的垂直平面,该平面与轴
u的交
点A'
叫做点A在轴u上的投影。
向量AB在轴u上的投影:
设已知向量
AB的起点A和终点B在轴u上的投影
分别为点A'
和B',那么轴u上的有向线段的值
A'B'叫做向量AB在轴u上的
投影,记做PrjuAB。
2.投影定理
性质
1:
向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角
的余弦:
PrjuAB
ABcos
性质2:
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和,即
Prju(a1a2)Prja1Prja2
性质3:
向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。
即
Prju(a)Prja
二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标
1.向量在坐标系上的分向量与向量的坐
标
通过坐标法,使平面上或空间的点与
有序数组之间建立了一一对应关系,
同样地,为了沟通数与向量的研究,
需要建立向量与有序数之间的对应关
系。
设a=M1M2是以M1(x1,y1,z1)
为起点、M2(x2,y2,z2)为终点的向
量,i、j、k分别表示图7-5
沿x,y,z轴正向的单位向量,并称它们为这一坐标系的基本单位向量,由图7
-5,并应用向量的加法规则知:
M1M2(x2x1)i+(y2y1)j+(z2z1)k
或a=axi+ayj+azk
上式称为向量a按基本单位向量的分解式。
有序数组ax、ay、az与向量a一一对应,向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐标,并记为
a={ax,ay,az}。
上式叫做向量a的坐标表示式。
于是,起点为M1(x1,y1,z1)终点为M2(x2,y2,z2)的向量可以表示为
M1M2{x2x1,y2y1,z2z1}
特别地,点M(x,y,z)对于原点O的向径
OM{x,y,z}
注意:
向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。
向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az,
向量a在坐标轴上的分向量是三个向量axi、ayj、azk.
2.向量运算的坐标表示
设a{ax,ay,az},b{bx,by,bz}即aaxiayjazk,
bbxibyjbzk
则
加法:
减法:
a
b(ax
bx)i
(ay
by)j
(az
bz)k
a
b(ax
bx)i(ay
by)j
(az
bz)k
乘数:
a
(ax)i
(ay)j
(az)k
或
ab
{ax
bx,ay
by,az
bz}
ab{axbx,ay
by,az
bz}
a{ax,ay,az}
平行:
若a≠0时,向量b//a相当于b
a,即
{bx,by,bz}
{ax,ay,az}
也相当于向量的对应坐标成比例即
bx
by
bz
ax
ay
az
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式
设a
{ax,ay,az},可以用它与三个
坐标轴的夹角
、、
(均大于等于
0,
小于等于
)来表示它的方向,称
、、
为非零向量
a的方向角,见图7-6,其余弦
表示形式cos、cos、cos称为方向余
弦。
模
aax2
ay2
az2
方向余弦
ax
M1M2
cos
acos
由性质
1知ay
M1M2
cos
acos,当a
ax2
ay2
az2
0时,
az
M1M2
cos
acos
有
cos
ax
ax
a
ax2
ay2
az2
cos
ay
ay
a
ax2
ay2
az2
cos
az
az
a
ax2
ay2
az2
任意向量的方向余弦有性质:
cos2cos2cos21
与非零向量a同方向的单位向量为:
a0
a
1
a
{ax,ay,az}{cos,cos,cos}
a
例子:
已知两点
M1(2,2,2)、M2(1,3,0),计算向量
M1M2的模、方向余弦、
方向角以及与M1M2同向的单位向量。
解:
M1M2
={1-2,3-2,
0-
2}={-1,1,-
2}
M1M2
(1)2
12
(2)2
2
cos
1
,cos
1
2
2
,cos
2
2
2
,
,
3
334
设a0
为与M1M2同向的单位向量,由于a0
{cos,cos,cos}
即得
a0
{
1,1,
2}
2
2
2
小结:
本节介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向量在坐标轴上的分向量与
向量的坐标(注意分向量与向量的坐标的区别)、向量的模与方向余弦的坐标
表示式等概念。
作业:
第四节数量积向量积
教学目的:
让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用,掌握向量平行、垂直等重要的结论,为空间曲面等相关知识打好基础。
教学重点:
1.数量积、向量积的概念及其等价的表示形式
2.向量平行、垂直的应用
教学难点:
1.活学活用数量积、向量积的各种形式
2.向量平行与垂直的相应结论
教学内容:
一、数量积:
定义:
ab
abcos,式中
为向量a与b的夹角。
物理上:
物体在常力
F作用下沿直线位移
s,力F所作的功为
WFscos
其中
为F与s的夹角。
性质:
Ⅰ.aa
a
2
Ⅱ.两个非零向量a与b垂直ab的充分必要条件为:
ab0
Ⅲ.abba
Ⅳ.
(ab)c
a
c
b
c
Ⅴ.
(a)c
(a
c)
为数
几个等价公式:
Ⅰ.坐标表示式:
设
a
{a
a
a
z
},b{b
b
b}则
x
y
x
y
z
abaxbx
ayby
azbz
Ⅱ.投影表示式:
a
b
aPrjab
bPrjba
Ⅲ.两向量夹角可以由
cos
a
b
式求解
ab
例子:
已知三点
M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2),求
AMB
提示:
先求出向量
MA及MA,应用上求夹角的公式。
二、向量积:
概念:
设向量
c是由向量
a与b按下列方式定义:
c
的模c
absin
,式中
为向量a与b的夹角。
c的方向垂直与
a与b的平面,指向按右手规则从
a转向b。
※注意:
数量积得到的是一个数值,而向量积得到的是向量。
公式:
c
a
b
性质:
Ⅰ.a
a
0
Ⅱ.两个非零向量a与b平行a∥b的充分必要条件为:
a
b0
Ⅲ.
a
b
b
a
Ⅳ.
(a
b)
c
a
c
b
c
Ⅴ.
(
a)
c
a
(
c)
(a
c)
为数
几个等价公式:
Ⅰ.坐标表示式:
设
a
{a
a
y
a
},b{b
b
b}则
x
z
x
y
z
ab(aybz
azby)i(azbx
axbz)j(axby
aybx)k
i
j
k
Ⅱ.行列式表示式:
a
b
ax
ay
az
bx
by
bz
例子:
已知三角形
ABC的顶点分别为:
A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7),求三角形
ABC的面积。
解:
根据向量积的定义,SABC
由于AB={2,2,2},AC={1,2,4}
1ABACsinC1ABAC
22
i
j
k
因此ABAC22
2
4i
6j
2k
1
2
4
于是SABC
1
AB
AC
1
42
(6)2
22
14
2
2
小结:
向量的数量积(结果是一个数量)向量的向量积(结果是一个向量)(注意共线、共面的条件)
作业:
第五节曲面及其方程
教学目的:
介绍各种常用的曲面,为下学期学习重积分、线面积
分打下基础。
学生应该会写出常用的曲面方程,并对已知曲面方
程能知道所表示曲面的形状。
教学重点:
1.球面的方程
2.旋转曲面的方程
教学难点:
旋转曲面
教学内容:
一、曲面方程的概念
实例:
水桶的表面、台灯的罩子面等,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹。
曲面方程的定义:
如果曲面S与三元方程
F(x,y,z)0
(1)
有下述关系:
曲面S上任一点的坐标都满足方程
(1)
不在曲面S上的点的坐标都不满足方程
(1)
那么,方程
(1)就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程
(1)的图形。
3.几种常见曲面
(1)球面
例1:
建立球心在M0(x0,y0,z0)、半径为R的球面的方程。
解:
设M0(x0,y0,z0)是球面上的任一点,那么
M0MR
即:
(xx0)2
(yy0)2
(zz0)2
R
或:
(xx0)2
(yy0)2
(zz0)2
R2
特别地:
如果球心在原点,那么球面方程为(讨论旋转曲面)x2
y2
z2
R2
(2)线段的垂直平分面(平面方程)
例2:
设有点
A(1,2,3)和B(2,1,4)
,求线段AB的垂直平分面的方程。
解:
由题意知道,所求平面为与A和B等距离的点的轨迹,设M(x,y,z)是
所求平面上的任一点,由于|MA||MB|,那么
x12
y22
z32
x22
y12
z42
化简得所求方程
2x6y2z
70
研究空间曲面有两个基本问题:
已知曲面作为点的轨迹时,求曲面方程。
(2)已知坐标间的关系式,研究曲面形状。
旋转曲面
定义:
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面,旋转曲线和定直线依次叫旋转曲面的母线和轴。
二、旋转曲面的方程
设在yoz坐标面上有一已知曲线f(y,z)=0
C,它的方程为
把这曲线绕
z轴旋转一周,就得到一个以
z轴为轴的旋转曲面,设M1(0,y1,z1)
为曲线
C上的任一点,那么有
f(y1,z1)=0
(2)
当曲线
C绕
z轴旋转时,点
M1也绕
z轴旋转到另一点
M(x,y,z),这时
z=z1
保持不变,且点
M到
z轴的距离
dx2
y2
y1
将z1=z,
y1
x2
y2
代入(
2)式,就有螺旋曲面的方程为
f(
x2
y2,z)
0
旋转曲面图绕哪个轴旋转,该变量不变,另外的变量将缺的变量补上改成正负二者的完全平方根的形式。
常用旋转曲面:
锥
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