初等数论练习题答案.docx
- 文档编号:25587723
- 上传时间:2023-06-10
- 格式:DOCX
- 页数:33
- 大小:298.06KB
初等数论练习题答案.docx
《初等数论练习题答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初等数论练习题答案.docx(33页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
初等数论练习题答案
初等数论练习题一
一、填空题
1、d(2420)=12;0(2420)=_880_
2、设比n是大于1的整数,若是质数,则a=_2.
3、模9的绝对最小完全剩余系是_卜4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}.
4、同余方程9x+12=0(mod37)的解是x三11(mod37)。
5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t,y=700+18ttZ。
.
6、分母是正整数m的既约真分数的个数为—(山)_。
7、18100被172除的余数是_殛。
9、若p是素数,则同余方程L1l(modp)的解数为p-1。
二、计算题
1、解同余方程:
3
疋11X20
0(modlO5)o
解:
因105=
35
7,
同余方程3x2
11X
20
0(mod3)的解为x
1(mod3),
同余方程3x2
11X
38
0(mod5)的解为x
0,3(mod5),
同余方程3x2
11X
20
0(mod7啲解为x
2,6(mod7),
故原同余方程有4解。
作同余方程组:
x(mod3),xb2(mod5),xb3(mod7),
其中®=1,b2=0,3,b3=2,6,
由子定理得原同余方程的解为x13,55,58,100(mod105)o
2.判断同余方程/三42(mod107)是否有解?
3.
*3x7237
)=
(二)
(一)(―-)
107107107107
23I。
,2
v(—)=-1,(—)=(-1)22(ArL)=-<±)=L
10710733
.-.(—)=1
107
故同余方程x2三42(mod107)有解。
3、求(12715C+34)23除以ill的最小非负余数。
解:
易知1271=50(mod111)0
由502=58(mod111),503三58X50三14(mod111),509=143=80(mod
111)知502G=(509)彳x50三803X50三803x50三68x50三70(mod111)从而505C=16(mod11l)o
故(12715C+34)2c=(16+34)20=502G=70(mod111)
三、证明题
1、已知p是质数,(a,p)=1,证明:
(1)当Q为奇数时,apl+(p-l)A=O(modp);
(2)当a为偶数时,衣三°(modp)。
证明:
由欧拉定理知右】三1(modp)及(p-1广三-1(modp)立得
(1)和
(2)成立。
2n
2、设Q为正奇数,n为正整数,试证a=l(mod2n+2)0
(1)
证明设n=2m1,当22=1时,有
={2/nI)2=4m(/n1)11(mod23),即原式成立。
2*
设原式对于n=&成立,则有a1(mod2k+2)a21=1吐,
其中qZ,所以er=(1^+2)2=1q2^+31(mod2i+3),
其中q是某个整数。
这说明式
(1)当n=k1也成立。
由归纳法知原式对所有正整数n成立。
3、设p是一个素数,且1 C爲(-1)k(modp)o 证明: 设"-幻得: KI k! •A=(p-1)(p-2)••-(p-k)=(-1)(-2)••-(-k)(modp) 又(Id,p)=1,故人=C爲(-1)1: (modp) 4、设p是不等于3和7的奇质数,证明: pc=l(mod84)o 说明: 因为84=4X3X7,所以,只需证明: pG=l(mod4)p°=l(mod3)pG=l(mod7)同时成立即可。 证明: 因为84=4X3X7及p是不等干3和7的奇质数,所以 (p,4)=1,(p,3)=1,(p,7)=10 由欧拉定理知: p⑷三p? 三l(mod4),从而pc=l(mod4)0 同理可证: pG=1(mod3)pG=l(mod7)o故有pG=l(mod84)0 注: 设P是不等于3和7的奇质数,证明: pc=l(mod168)o(见继源p86) 初等数论练习题二 一、填空题 1、d(1000)=_16_;u(lQQ0)=_2340_. 2、2010! 的标准分解式中,质数11的次数是199_. 3、费尔^(Fermat)数是指Fn=22n+l,i±种数中最小的合数Fn中的n=5o 4、同余方程13x三5(mod31)的解是x三29(mod31)— 5、分母不大于m的既约真分数的个数为(勺+(3+—+(山)。 6、设7I(80n-l),WJ最小的正整数n=_6_. 7、使41x+15y=C无非负整数解的最大正整数C=_559_. 9、若P是质数,np1,则同余方程対1(modp)的解数为」 二、计算题 1、试求20022(k,32,,,M被19除所得的余数。 解: 由2002=7(mod19)20022=U(mod19)20023=1(mod19) 又由20032oo4=22°o4=(22)1002=1(mod3)可得: 20022°°㈣“=20023n+1=(20023)nX2002^7(mod19) 2、解同余方程3左44X10Gx180(mod5)o 解: 由Fermat定理,丈x(mod5),因此,原同余方程等价于2疋x30 (mod5) 将x0,1,2(mod5)分别代入上式进行验证,可知这个同余方程解是*1 (mod5)0 3、已知2=5,m=21,求使才1(modm)成立的最小自然数x。 解: 因为(5,21)=1,所以有欧拉定理知5㈤三I(mod21)o 又由于(21)=12,所以x|12,而12的所有正因数为1,2,3,4,6,12。 于是x应为其中使5”1(mod12)成立的最小数,经计算知: x=6o 三、证明题 1、试证131(5^+45+2000)。 (提示: 可取模13进行计算性证明) 证明: 5叫4叫20002521u+642n+2000(-l)21u+(-l)2n+200020020(mod 13)o 1(modn),则力是素数。 2、证明Wilson定理的逆定理: 若n>1,并且(力1)! 证明:
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 初等 数论 练习题 答案