高等代数学习报告.docx
- 文档编号:25606411
- 上传时间:2023-06-10
- 格式:DOCX
- 页数:11
- 大小:23.21KB
高等代数学习报告.docx
《高等代数学习报告.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高等代数学习报告.docx(11页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高等代数学习报告
竭诚为您提供优质文档/双击可除
高等代数学习报告
篇一:
高等代数期末论文学习总结
高等代数学习总结
摘要:
两学期的高等代数已经接近尾声了,高等代数作为数学专业的基础学科之
一。
本文主要讲述本人两学期下来学习高等代数的一些知识总结和学习体会。
关键词:
行列式矩阵二次型
正文:
《高等代数》是数学学科的一门传统课程。
在当今世界的数学内部学科趋于统一性和数学在其他学科的广泛应用性的今天,《高等代数》以其追求内容结构的清晰刻画和作为数学应用的基础,是大学数学各个专业的主干基础课程。
它是数学在其它学科应用的必需基础课程,又是数学修养的核心课程。
高等代数是代数学发展到高级阶段的总称,它包括许多分支。
它是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充,引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量,比如最基本的有集合、向量和向量空间等。
这些量具有和数相类似的运算的特点,不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。
通过学习后,我们知道,不仅是数,还有矩阵、向量、向量空间的变换等,对于这些对象,都可以进行运算,虽然也叫做加法或乘法,但是关于数的基本运算定律,有时不再保持有效。
因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合,在数学中把这样的一些集合,叫做代数系统。
在学习之前,我一直认为高等代数就是把线性代数重学一遍,因为大一的时候线性代数学得不深,而且也没有学完。
经过两学期的学习后,我发现,这两者之间区别还是挺大的。
高等代数数学专业开设的专业课,更注重理论的分析,需要搞懂许多概念是怎么来的,而线性代数,只是一种运算工具,是供工科和部分医科专业开设的课程,只注重应用。
经过两学期的学习,我对高等代数里面的知识有了个初步的认识和接触,特别是代数的一些思想,也从中收获不少。
下面就对两学期的学习做一个回顾和总结。
行列式
行列式是代数学中的一个基本概念,它不仅是讨论线性方程组理论的有力工具,而且还广泛的应用于数学及其他科学技术领域
定义:
设A=(?
?
?
?
?
?
)为数域F上的n×n矩阵,规定A的行列式为
?
?
=(?
1)?
?
(?
?
1?
?
2?
?
?
?
?
)?
?
1?
?
1?
?
2?
?
2?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1?
?
2…?
?
?
?
其中,?
?
1?
?
2?
?
?
?
?
为1,2,…,n的一个排列。
从定义,我们可以看出,行列式是?
?
?
?
×?
?
到F的一个映射。
通过这个定义,我们可以推断出行列式的诸多性质:
1.行列式与它的转置相等;
2.互换行列式的两行(列),行列式变号;
3.若一个行列式中有两行(列)元素对应相等,则这个行列式为零;
4.行列式的某行(列)中的公因子可以提出去,或者以一数乘行列式等于这个数乘行列式;
5.如果行列式中两行成比例,那么行列式为零;
6.帮行列式的一行乘以某个数加到另一行,行列式不变;
7.Laplace展开定理:
任取A的k行,可构成A的一切可能的k阶子式为
?
?
(t=?
?
?
?
)个,设为m1,…,?
?
?
?
其相应的代数余子式为?
?
1,?
?
2,…,?
?
?
?
,
则?
?
=?
?
1?
?
1+?
?
2?
?
2+?
+?
?
?
?
?
?
?
?
。
其中,第七条性质的特殊情形就是我们平时常用的展开定理。
这7条性质的应用是行列式应用于其他地方的基本保障。
在此基础上,我们可以得出更多的性质和推论。
通过学习,我们知道,行列式其实是一种工具,是将多种情况下转换为行列式,通过计算行列式的值来得到想要的结果。
在上面7条性质的基础上,我们可以得到计算一般阶的主要方法与技巧:
定义法、化三角形法、Vandermonde(范德蒙)行列式法、分列式行列式法、加边法、降阶法、递推法、数学归纳法、做辅助行列式法。
这里就不一一分析了,比较常用的就是化三角法,一般有上三角和下三角。
在学行列式时,没觉得有什么困难,知识本身也比较简单,除了弄懂那些定理是怎么来的,剩下来的就是计算了,一般情况下,只要细心点,就不会错了。
行列式还是比较好学的。
矩阵
矩阵,matrix。
在数学上,矩阵是指纵横排列的二维数据表格,最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。
这一概念由19世纪英国数学家cayley于1858
年首先提出。
自此,矩阵理论便迅速的建立起来。
矩阵论是数学中内容最为丰富、应用最广泛的部分。
定义:
称数域F中m×n个数a_ij(i=I,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列的矩形表格
?
a11?
?
a21?
?
?
?
a?
m1a12?
a1n?
?
a22?
a2n?
?
?
?
?
am2?
amn?
?
?
?
×?
?
为数域F上的一个m×n矩阵,简记为?
?
?
?
?
?
,其中?
?
?
?
?
?
称为矩阵的第i行第j
列交叉点上的元素(简称元)。
其中,若对于矩阵A,如果存在矩阵b,是的Ab=e,则称b为A的逆矩阵。
在我们的学习中,矩阵的秩和初等矩阵是在矩阵应用中两个比较重要的概念。
矩阵的秩:
设A=?
?
?
?
?
?
?
?
×?
?
?
?
1,…,?
?
?
?
是A的行向量,?
?
1,…,?
?
?
?
为A的列向量,称r矩阵的秩,若r为A行(列)向量组的极大无关组的个数。
用通俗的话讲就是若A中存在一个r阶子式不等于0,而一切r+1阶子式都等于0,则称r为A的秩,并记为rankA=r;特别的,当A=0时,规定rankA=0.我们常用到的有关矩阵的秩的等式和不等式有:
1.设A为s×n矩阵,p,Q分别为s阶和n阶可逆矩阵,则
r(A)=r(pA)=r(AQ)=r(pAQ).
2.设A为n阶矩阵,则rankA=n?
A可逆.
3.rankA=rank?
?
′=rank(kA),其中k≠0.
4.r?
?
00=r(A)+r(b)?
?
?
?
00是m×n矩阵,则?
?
5.秩的第一降阶定理:
设A可逆,
r?
?
00=r(A)+r(D-c?
?
?
1b)?
?
6.秩的第二降阶定理:
设A,D分别是r阶与s阶可逆矩阵,b,c
分别是r×s和s×r矩阵,则
r(D-c?
?
?
1b)=r(D)-r(A)+r(A-b?
?
?
1c)
7.r?
?
0?
?
≥r(A)+r(b)?
?
r?
?
?
?
0≥r(A)+r(b)?
?
8.r(Ab)≤min{r(A),r(b)}
9.r(A,b)≤r(A)+r(b)
10.r(A+b)≤r(A)+r(b)
11.(sylvester不等式)设A,b分别是m×n和n×l矩阵,则
r(Ab)≥r(A)+r(b)–n
12.(Frobenius不等式)
r(Abc)≥r(Ab)+r(bc)-r(b)
13.设A为实矩阵,则
r(A?
?
′)=r(A)=r(?
?
′)
上述13条性质就是矩阵秩的基本内容,或者说是矩阵秩的基本应用了,用矩阵秩解决后面知识中碰到的问题,有了这13条性质就有了基本保障了。
初等矩阵是我们用到矩阵时另一个重要的概念就是初等矩阵。
定义:
由单位矩阵e经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
定义中提到的另一个概念初等变换是指,
?
交换矩阵的两行(列)(换法变换)
?
用一个非零数乘矩阵的某一行(列)(倍法变换)
?
用一个数乘矩阵某一行(列)加到另一行(列)上去(消
法变换)
而上述三种初等变换对应的初等阵有分别叫做换法阵、倍法阵和消法阵。
初等变换和初等矩阵之间的关系也是一个很重要的知识点,它为我们之后的矩阵进行的各种处理提供了理论基础:
对于一个s×n矩阵A做一次初等行变换就相当于在A的左边乘相应的一个s×s初等矩阵;做一次初等列变换就相当于在A的右边乘相应的n×n初等矩阵。
这种对应关系也就是后来学到的线性变换,这在后文会单独列出来讲述。
矩阵是高等代数学中的常见工具,也常见于统计分析等应用数学学科中。
在物理学中,矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用;计算机科学中,三维动画制作也需要用到矩阵。
矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。
将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。
对一些应用广泛而
形式特殊的矩阵,例如稀疏矩阵和准对角矩阵,有特定的快速运算算法。
在天体物理、量子力学等领域,也会出现无穷维的矩阵,是矩阵的一种推广。
由此可见,矩阵在高等代数中的重要性。
记得在大一在初次接触矩阵的时候,还没有觉得有什么困难,但当学到矩阵的秩的时候,便开始犯糊涂了,脑子一时转不过弯,无法理解什么才叫矩阵的秩。
经过长时间的学习后,才对秩有了一个深入的了解,两学期的高代课下来,才让我真正认识到矩阵的重要性。
当然,矩阵的重要性并不是因为上述两个重要的概念,而是矩阵分支出去的概念的应用,下面便一一阐释。
线性方程组
线性方程组中其实是用到了矩阵的乘法。
线性方程组是方程组的一种,它符合以下的形式:
?
?
11?
?
1+?
?
12?
?
2+?
+?
?
1?
?
?
?
?
?
=?
?
1?
?
?
?
+?
?
22?
?
2+?
+?
?
2?
?
?
?
?
?
=?
?
2211?
?
?
?
?
?
?
?
1?
?
1+?
?
?
?
2?
?
2+?
+?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=?
?
?
?
其中,?
?
11,?
?
12以及?
?
1,?
?
2等等为已知常数,而?
?
1,?
?
2等等则是要求的未知数。
运用矩阵的方式,可以将线性方程组写成一个向量方程:
Ax=b,其中,A是由方程组里未知量里未知量的系数排成的m×n矩阵,x是含有n个元素的行向量,b是含有m个元素的行向量。
?
?
1?
?
1?
?
11?
?
12?
?
?
1?
?
?
?
2?
?
?
?
22?
?
?
2?
?
?
?
A=21,x=?
b=2?
?
?
?
?
?
?
?
?
1?
?
?
?
2?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
在这个写法下,将原来的多个方程转化成一个向量方程,在已知矩阵A和向量b的情况下,求未知向量x。
根据学习可将解的判定方法总结如下:
)=n当且仅当Ax=b有唯一解;1)r(A)=r(?
?
) )当且仅当Ax=b无解;3)r(A)≠r(?
?
4)r(A)=n当且仅当Ax=0只有零解;
5)r(A) 有了如何判定方程组有解的方法后,我们就要来将解表示出来,当方程组有一两
篇二:
学习高等代数的一些建议
学习高等代数的一些建议
刘建波
高等代数主要由多项式理论和线性代数理论两部分组成,是我们信息与计算科学专业、数学与应用数学专业以及统计学专业必修的一门专业基础课。
它既是其它数学课程的必备基础,也是解决实际问题的重要工具。
学习高等代数的目的是:
使同学们掌握高等代数的基本概念、基本理论和基本运算,掌握高等代数中的基本论证方法,培养同学们的运算技能、抽象思维能力、逻辑推理能力和运用所学的知识分析问题、解决问题的能力。
高等代数这门课程的特点是比较抽象,与其它数学基础课程相比,学习时可能会遇到更多的困难,并且解题时可能经常感觉无从下手。
为了克服这些阻力,帮助大家深刻理解课程内容,我建议在学习高等代数中注意以下几点:
第一,注意概念和定理的把握
要理解高等代数中一个抽象的概念或定理,如果只有单向的思维方法,肯定只能浅尝辄止。
只有从正反两个方面去理解概念,才能较深地抓住概念中一些本质的东西。
这里所说的正方向思维应该包含几层意思:
一是概念的定义或定理是如何叙述的,二是概念或定理的内容所带有的条件是必要的,还是充分的?
三是概念或定理产生的实际背景是什么?
这里所说的反方向思维又应该包含两层意思:
一是对一个概念或定理的否定是怎样表达的?
二是如果错误的理解了概念或忽略了定理中的一些条件会导致什么样的错误结果。
第二,要多动笔和多问
高等代数的讲课进程一般都比较快的,课堂上讲的内容不能完全听懂是很正常的现象。
这就需要大家课后多进行复习,在看教材和课件、以及做作业的过程中,很可能还难于理解课程的内容,这时我们可以多动笔写一写,有的定义和定理多写一遍就可能帮助我们进一步理解其本质;有些定义及定理的证明,虽然我们能够听懂和看懂,但是还是不能够熟练应用,这时我们如果将定义自己再默写出来,或将定理的证明自己理顺思路重新写出来,那么我们会更能深刻体会相应内容,应用起来才会得心应手。
对于听不懂看不懂的内容我们不能轻易放弃。
如果轻易放弃,时间一长就
会失去学习的信心,所以一定要以锲而不舍的精神边学边问,我们可以问老师,也可以问同学。
不过这样的提出的问题还只是被动的,我们还应该在自己学习的过程中去发现问题。
如何才能发现问题呢?
首先要提倡自学,在自己预习的过程中很容易发现不懂的问题,带着问题再去听课就会有的放矢;其次是听课之后做作业之前要认真复习消化课上的内容,只要积极地开动脑筋,从中是会发现很多问题的,在这个较深层次上发现问题又去解决问题,那么分析和解决问题的能力就会有一个质的提高。
第三,做一定数量的习题
学习高等代数与学习数学其它各课程一样,要做一定数量的习题。
学习高等代数不能只看书不做题,也不能只做题不看书。
高等代数中的习题一般包括计算题和证明题两部分。
计算题通常比较复杂,计算量比较大,但是计算题能巩固和加深对概念和定理的理解,必须耐心去完成。
证明题可以说是高等代数习题中的主体,解答证明题可以培养抽象的逻辑思维能力和逻辑推理能力,可以说,良好的解答证明题的能力,是学好高等代数的一个重要标志之一。
只要经常认真地解答一些证明题,就可以对概念和定理的理解越来越深入,也可以发现自己解答证明题的能力越来越强。
最后,要学好高等代数,还要学会总结。
每学完一章,我们要对这一章的内容进行总结,弄清节与节、部分与部分之间的内在联系,也要弄清这一章与前面章节的外在联系,理清来龙去脉,从整体上理解和把握教材。
篇三:
关于高等代数与数学分析的学习体会
高等代数与数学分析的学习体会
摘要:
作为数学系的学生,高等代数和数学分析,是我们一进大学就开始学习的两门最重要的课程。
同时它们也是数学中最基础的两门课程,几乎所有的后学课程都要用到它们。
在本文中,我就自己对这两门课程的基本内容,学习体会,以及这两门课程与后学课程的联系三个方面谈了一些自己的看法。
高等代数部分
基本内容:
在谈自己对高等代数的学习体会之前,我想先回顾一下高等代数的基本内容。
我们大一所学习的高等代数,主要包括两部分:
多项式代数和线性代数。
其中线性代数部分又可以分成:
行列式,线性方程组,矩阵,二次型,线性空间,线性变换,?
—矩阵,欧几里得空间,双线性函数与辛空间等一些章节。
而在这些章节中,又是以向量理论,线性方程理论和线性变换的相关理论为核心的。
如果和以前学过的初等代数相比,我觉得,高等代数在初等代数的基础上把研究对象作了进一步的扩充。
它引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量,比如最基本的有集合、向量和向量空间等。
这些量具有和数相类似的运算的特点,不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。
简单体会:
记得大一刚学习高等代数的时候,那时感觉自己真的学得云里雾里,因为那时感觉它实在是太抽象了而无法理解。
但是通过不断地对它的学习,慢慢地开始有好转,开始感觉它不再那么陌生,并对它有了初步的认识。
而当我学完抽象代数之后,我发现自己对高等代数的有了更好的理解。
其实高等代数中的每个不同的章节,都是由一个集合再加上一套运算规则,进而构成的一个代数结构。
例如,第一章多项式,我们所有的讨论都是在某个数域p上的一元多项式环中进行。
其中的某个数域p中的一元多项式全体,就相当于某个集合,在这个集合的基础上再加上关于多项式的运算规则,就构成了一个代数结构。
因为高等代数具有这种结构,所以在学习每种代数结构时,我们总会先学这个代数结构是建立在那个集合上以及它的运算规则是怎样定义的。
因此,在高等代数学习中对每种代数
结构的基本定义的真正理解很重要。
虽然,我们学习每种代数结构,主要是讨论它的各种性质,并对这些性质加以应用。
然而这些性质却都是根据那些基本定义,再加以逻辑推理而得到的。
所以,我们只有真正弄懂了定义,才能很好地理解性质,只有理解了性质我们才能运用好性质,进而学习好高等代数。
例如,像第六章的线性空间中的许多证明题,主要就是对定义加以逻辑推理和简单变形,从而得到我们要证明的结论。
如果我们对定义不理解,我们往往会无从下手。
高等代数与后学课程联系:
当然,高等代数与很多后学课程都有联系,但这里我只讲其中最常见的两种情况。
(1)多项式函数与后学课程的联系
多项式函数无疑是各种函数中最简单的一类。
因此在处理一些比较复杂的函数问题时,如果直接对其研究,我们总是无从入手,这时我们就会想到用多项式函数去近似代替它。
这里最典型的例子就是数值分析中的多项式差值。
如:
lagrange差值多项式,逐次插值多项式,newton差值多项式,hermite差值多项式等都用到了很多多项式函数的相关理论。
(2)线性方程与后学课程的研究
现实生活中很多问题都可以转化为解方程的问题。
而在各类方程中,线性方程与线性方程组又是其中的基础。
因此,线性方程与线性方程组的研究往往为各类方程研究的提供帮助。
例如,常微分方程这门课程中的线性微分方程组这一章中,就运用了很多在高等代数中所学的关于线性方程与线性方程组的基本理论。
数学分析部分
基本内容:
数学分析总得来说可以分成五大块:
极限,连续性,微分学,积分学,级数。
其中,极限又可分为数列极限和一元函数极限以及多元函数的极限。
微分学又包括一元微分学和多元微分学。
积分学又包括,定积分,不定积分,含参数积分,累次积分,重积分,曲线积分以及曲面积分等。
级数又包括,数项级数,函数项级数,幂级数,傅里叶级数四个部分。
另外,在这五大块当中,又以极限为基础和核心。
因为,连续性是由极限来定义的,微分学也是由极限来定义的,积分学的定义中,由分割,求和,作极限三部分组成,极限也参与其中。
另外,级数中主要讨论收敛性,而收敛性也是以极限为基础。
简单体会:
在三个学期的数学分析的学习中,刚开始,我觉得数学分析比起高等代数好学很多,因为那时感觉数学分析与高中数学相对接近些。
但随着时间的过去,我越来越感到数学分析比高等代数难学;因为渐渐地我发现,数学分析所涉及的内容太多了,对知识点的运用过程中灵活性太大,简直千变万化。
不过数学分析又有一个共同的特性,那就是每一章节的学习总是,先给出基本定义,然后导出一些性质,最后对定义和性质加以运用。
因此,数学分析的大部分解题过程也就是对定义和性质的运用过程。
所以,在解数学分析问题时,我觉得可以从题目的提问出发,看所求问题可能要用到那些定义或性质,然后再看已知条件与要用到的那些定义或性质中的哪些更接近,进而我们就可以尝试着用这些定义或性质去解决问题。
这是一条比较好的解题思路,不过由于数学分析涉及面太广,灵活性太强,如果要较好的学好数学分析,我觉得还必须多做点练习,这样才能掌握基本的和常规的解题技巧。
另外,适当的去了解一些关于数学分析的实际应用,我个人觉得对学好数学分析有较好的帮助。
记得大一那时学数学分析的时候,我根本不知道它有啥用,虽然老师也讲过一些它的应用,但那时并不能理解,还是感觉它离现实生活很遥远。
所以在学习过程中碰壁时,我总会感觉自己就是在让费时间,因为那时我甚至觉得学了和没学似乎没有啥区别。
不过,通过后续课程的学习,(:
高等代数学习报告)了解了它的重要性后,我慢慢改变了过去的想法;并且每次遇到难题时,我总会以“如果我学好了它,那么我也可能解决一些简单的实际问题”的想法来给自己打气,让自己对它保持良好的兴趣。
数学分析与后学课程的联系:
通过三年的学习,我个人觉得,数学分析与后学课程的联系主要有两种情况。
(1)后学课程是对数学分析的研究对象加以推广
例如,数学分析的研究对象都属于实数域,而有些问题,以实数域为范围是无法解的,或者至少是解决起来很复杂的。
像高等代数中的那个代数基本定理的证明,就得借助复数理论。
基此,数学家们就将数学分析的研究对象加以推广,将其推广到复数域,从而就渐
渐地产生了复变函数。
(2)后学课程以数学分析中的知识为理论依据,运用其进行一些实际问题的研究。
例如,在数值分析中的拉格朗日多项式插值的余项分析,就是运用罗尔中值定理的理论行分析和证明的。
如:
定理5.2设f(x)∈c[a,b],且f(x)在(a,b)内具有n+1阶导数,取插值结点
a≤x0<x1<······<xn≤b则对任何x∈[a,b],满足Ln(xk)=f(xk)的n次插值多项式
f(n?
1)(?
)Ln(x)的误差Rn(x)=f(x)?
Ln(x)?
wn?
1(x)其中,(n?
1)!
wn?
1(x)?
x(?
x0x)?
(x1?
)x?
x(n,?
n)?
(a,b)且与x有关。
证明:
记wn?
1(x)?
(x?
x0)(x?
x1)?
(x?
xn)
由插值条件
Ln(xk)=f(xk)(k=0,1,…,n)
知存在c(x)使得
f(x)–Ln(x)=c(x)?
n+1(x)
取定x∈(a,b),设t∈(a,b).构造函数
F(t)?
f(t)?
Ln(t)?
cwn?
1(t)
显然,F(x)=0,F(xj)=0,(j=0,1,···,n)
F(t)有(n+2)个相异零点.根据Rolle定理,F’(t)在区间(a,b)内至少有(n+1)个相异零点.
依此类推,F(n+1)(t)在区间(a,b)内至少有
一个零点。
故存在?
∈(a,b),使F(n+1)(?
)=0
(n?
1)F(n?
1)(t)?
f(n?
1)(t)?
L(
nn?
1)(t)?
cwn?
1(t)
f(n?
1)(?
)?
c(n?
1)!
=0
c=f(n?
1)(?
)(n?
1)!
f(n?
1)(?
)wn?
1(x)故得:
Rn(x)=f(x)?
Ln(x)?
(n?
1)!
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高等 代数 学习 报告