教学内容平面的基本性质.docx
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教学内容平面的基本性质
教学内容:
平面的基本性质
【课前复习】
温故——会做了,学习新课才会有保障
1.平面内______点可确定一条直线.
2.平面内,过直线外一点有______条直线与已知直线平行,有_______条直线与已知直线垂直.
3.平面内,垂直于同一直线的两直线_______.
答案:
1.两 2.1 1 3.平行
知新——先看书,再来做一做
1.通常画_______来表示平面.
2.当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应把遮住部分的线段_______.
3.点A在平面α内,记作_______;点B在平面α外,记作_______;直线l在平面α内,记作_______;直线l不在α内,记作_______.
4.判断:
(1)平面是平行四边形.( )
(2)若平行四边形ABCD的面积大于平行四边形A′B′C′D′的面积,则平面AC大于平面A′C′.( )
5.已知直线l和l外一点A,则连接A和l上任一点的直线都在点A和l确定的平面内.( )
6.空间内_______可确定一个平面.两平面相交,有_______个公共点.
【学习目标】
1.了解立体几何的研究对象、研究方法;
2.理解平面的基本概念,掌握它的基本画法;
3.会用图形、文字和符号描述点、直线、平面及其相互位置;
4.掌握三个公理的内容,能用图形和符号语言表示公理内容,并能用公理解决一些简单问题;
5.掌握公理3的三个推论,能用图形语言和符号语言表示三个推论并能用它解决一些简单问题;
6.培养对立体几何的逻辑推理能力,并能在推理中正确运用数学符号.
【基础知识精讲】
课文全解
1.平面的表示方法
常用平行四边形表示平面.一般用希腊字母α、β、γ…来表示平面,还可用平行四边形的对角线的顶点字母来表示.对平面有以下的几点说明:
(1)平面是无限伸展的,无边界也无所谓面积;
(2)平面是只描述而不定义的最基本的原始概念之一,它是从我们日常见到的具体的平的面中抽象出来的,作为几何概念的平面已不具备形象物体的一切属性,不计大小,不计厚薄;
(3)平面是处处连续的.
2.平面的基本性质
(1)公理1:
如果一条直线的两点在同一平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.(此时也称直线在平面内或平面经过该直线.)
说明:
公理1实质上给出了直线在平面内的定义,它给我们带来了判断直线在平面内的方法,同时也给出了直线在平面内的性质.即点A∈直线l,点B∈直线l,且点A∈平面α,点B∈平面α,则直线l
平面α.若直线l
平面α且P∈l,则P∈平面α.
(2)公理2:
如果两个平面有一个公共点,则它们还有其他的公共点,这些公共点的集合是一条直线.
说明:
公理2实质上给出了两个平面相交的定义及两个平面的交线的定义,也给出了两个平面相交的性质.即:
若两个平面有一条公共的直线,则称这两个平面相交,这条直线叫做这两个平面的交线.若两个平面相交,则有且只有一条交线.
利用公理2,可判定三点共线或三线共点.
(3)公理3及其推论
公理3:
经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面(即不共线的三点确定一个平面).
推论1:
经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面.
推论2:
经过两条相交直线有且只有一个平面.
推论3:
经过两条平行线有且只有一个平面.
说明:
若空间几个点或直线都在同一平面内,我们就说它们共面.公理3及推论给了我们判定若干个元素(点、线)共面的方法.
问题全解
1.怎样理解平面的概念?
“平面”是一个描述而不定义的原始概念,如以前学过的“点”“直线”“集合”等概念都有这一特征.对平面可从以下几点理解:
(1)平面是绝对平的;
(2)平面是没有厚度的;
(3)平面是无限延展的;
(4)平面可以看成空间一些特殊点组成的集合,它是一个无限集.
[例1]判断下列说法是否正确,并说明理由:
(1)平行四边形是一个平面.
(2)任何一个平面图形都是一个平面.
(3)圆和平面多边形都可以表示平面.
(4)空间图形中先画的线是实线,后画的线是虚线.
解:
(1)不正确.平行四边形是一个平面图形,不具备无限延展性.
(2)不正确.平面图形和平面是两个截然不同的概念,平面图形是有大小的,不能无限延展.
(3)正确.圆和平面多边形都是平面图形,可以用它们表示平面.
(4)不正确,在空间图形中能够看见的线画成实线,看不见的线画成虚线,与画线的先后顺序无关.
2.如何画平面?
立体几何中,通常画一个平行四边形表示平面,但应注意:
(1)所画的平行四边形是表示它所在的整个平面,需要时可以把它伸展出去.这同画直线一样,直线是无限延伸的,但在画直线时,却只能画一条线段来表示;
(2)画表示水平平面的平行四边形时,通常把它的锐角画成45°,横边画成邻边的两倍,如图9-1-1所示.
图9-1-1
(3)根据需要,有时也可用其他平面图形表示平面,如三角形、圆及其他封闭图形.
(4)当一个平面被另一个平面遮住时,应把被遮住部分的线段画成虚线或不画!
解题过程中添置的辅助线,如果不被遮住也画成实线,这是与平面几何画图的不同之处,要加以注意(如图9-1-2,9-1-3所示).
图9-1-2
图9-1-3
3.怎样表示平面?
平面通常用一个希腊字母表示,如平面α,平面β等,也可用平行四边形ABCD的两个相对顶点的字母来表示,如平面AC,平面BD,三角形ABC所在的平面,一般将三个顶点的字母都写出来,如平面ABC、平面BCA.
4.平面的基本性质的应用有哪些?
(1)公理1主要用来判定直线在平面内,点在平面内.
(2)公理2主要应用是:
①判断两个平面相交;
②证明点在直线上;
③证明三点共线;
④证明三线共点;
⑤画两个平面的交线.
(3)公理3及其推论主要应用:
①确定平面;
②证明两平面重合;
③证明点线共面;
④是作截面、辅助面的依据.
图9-1-4
[例2]如图9-1-4,已知α∩β=l,梯形ABCD两底AD、BC,若AB
α,CD
β.
求证:
AB、CD、l交于一点.
策略:
要证三线共点,可以先设出两条直线的交点,再证明交点在第三条直线上即可.
证明:
∵AD、BC是梯形ABCD两底.
∴AB与CD必交于一点.
设AB∩CD=M,则M∈AB,M∈CD
又∵AB
α,CD
β,∴M∈α,M∈β.
即M是平面α、β的公共点.
又∵α∩β=l
由公理2,得M∈l,∴AB、CD、l交于一点.
评注:
证明多线共点问题,应注意公理2的应用.
【学习方法指导】
点、线、面是立体几何的基本元素,深刻理解概念是准确作出判断的关键,它们之间的关系是立体几何学习的基础.
[例1]已知四个命题:
(1)三点确定一个平面;
(2)若A、B、C∈平面α,且点P不在平面α内,则P、A、B、C四点不在同一平面内;(3)两两相交的三条直线在同一平面内;(4)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
策略:
判断命题正确必须证明,不能仅靠举例,而判断命题不正确只需举一个反例即可.本题可利用平面的基本性质进行判断.
解答:
(1)不正确,因为经过共线的三点有无数个平面;
(2)不正确,因为当A、B、C三点共线时,P、A、B、C共面;(3)不正确,因为两两相交且过同一点的三条直线可能不共面,如长方体中共顶点的三条棱所在的三条直线;(4)不正确,对于平面四边形,此命题是正确的,但不是平面图形就不是平行四边形.故选A.
证明共面问题一般有两种方法:
归一法:
(1)先根据题设确定一个平面;
(2)再证明其余的点、线在这个平面内(证点在平面内,常转证这个点所在直线在这个平面内,而证直线在这个平面内,又往往证这条直线上有两点在这个平面内,即运用转化的思想方法).
重合法:
(1)先根据题设条件确定两个平面或两个以上平面(这些平面必需包括要证共面的所有点线);
(2)再证以上平面重合.
[例2]已知四条直线a、b、c、d两两相交,且不共点,求证:
a,b,c,d这四条直线在同一平面内.
策略:
四条直线两两相交且不共点,可分为两种情况:
(1)有三线共点的情况;
(2)无三线共点的情况.因此应分类进行证明.
证明:
(1)若a,b,c共点于O,如图9-1-5所示
∵O
d(否则与题设矛盾)
图9-1-5
∴经过d与点O有且仅有一个平面α.
∵A、B、C三点在平面α内.
由公理1知a,b,c都在平面α内
即直线a、b、c、d共面.
(2)若a、b、c、d无三线共点.如图9-1-6所示,
∵a∩b=A.
∴经过a、b有且仅有一个平面α,
图9-1-6
∴B,C∈α,
由公理1知c
α,
同理d
α,从而a、b、c、d共面.
综上所述,四条直线两两相交且不共点,这四条直线必共面.
证明三点共线的基本方法
(1)证明这些点是某两个平面的公共点,根据公理2,两个平面的公共点都在它们的交线上;
(2)把所要证的共线三点归结到某一平面图形中,逐个分析每个点的特性,如分别是三角形一边上的中点、重心和顶点时,此三点共线.
证明三线共点的基本方法
(1)先确定待证的三线中的两条相交于一点,再证明此点是两直线所在平面的公共点,第三条直线是两个平面的交线,由公理知,两平面的公共点在它们的交线上,从而证明了三线共点.
(2)用同一法证明,以两平面的交线为主线,使它和另两条直线分别交于不同的两点,由三角形全等导出线段相等,证明两点重合,得出三线共点.
[例3]已知E、F,G,H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中点,证明EF、HG、DC三线共点.
策略:
证明线共点的依据是公理2.
图9-1-7
证明:
(法一)如图9-1-7所示,由E、F、G、H是棱的中点得FG∥BC1.又EH∥BC1,∴FG∥EH,∴E,F,G,H四点共面于α.
∵EF、GH不平行,设EF∩HG=K.
∴K∈HG,又HG
平面CC1D1D,故K∈平面CC1D1D.
又∵K∈EF,EF
平面ABCD,故K∈平面ABCD.
则K是平面ABCD和平面CC1D1D的公共点.
∵平面ABCD∩平面CC1D1D=DC,
∴K∈DC,即EF、HG、DC三线共点.
(法二)设EF∩DC=K.
∵E、F是中点,∴BF=CF,∠EFB=∠CFK.
推得Rt△BEF≌Rt△CKF,
∴CK=EB=
AB.
设HG∩DC=K1,由H,G是中点得GC1=GC,∠C1GH=∠CGK1,
Rt△K1GC≌Rt△HGC1,CK1=C1H=
AB.
即CK1=CK,K1与K重合.∴EF,DC,HG三线共点.
画截面的方法之一,就是作出截面所在的平面与空间图形的各个面的交线.依据公理1、2,可以采用下面的方法:
同一平面取两点,两点相连再伸展,遇棱相交得新点,循环下去得截面.
[例4]如图9-1-8所示,已知正方体A1B1C1D1—ABCD,E、F、H分别是A1B1、B1C1、AD的中点,过三点E、F、H作截面.
图9-1-8
策略:
本题的关键是作出截面所在的平面与正方体的各面相交时的交线,因为E、F两点在截面内,也在平面A1C1内,所以EF是截面与平面A1C1的交线.若将EF延长,它与棱A1D1和C1D1的延长线相交,其交点得到的新点之一与H点又具有上述性质,这样下去,就能作出截面.
解答:
连接EF,并且延长,与A1D1、D1C1的延长线交于N、R两点,连接NH并延长分别交AA1和D1D的延长线于S、T,连接TR分别交CD、CC1于M、G,顺次连接点E、F、G、M、H、S、E,则六边形EFGMHS就是所画截面.
【知识拓展】
迁移
画图要有立体感
[例题]图9-1-9中是平面图形还是空间立体图形?
图9-1-9
图9-1-10
策略:
乍一看,如果认为它是一个平面图形,这是受思维定势的影响.其实,它既可能是平面图形,也可能是一个空间图形的直观图.那么小四边形是凸在后面,还是凸在前面,一时还无法辨别,两种情况都有可能发生,问题就出在图9-1-9的立体感不强,怎么办呢?
我们可以想象一下实物模型,再去观察图形,添加一点辅助元素,以此为背景问题就清楚了,如图9-1-10中
(1)所示,小平行四边形就凸在前面,而
(2)中小四边形凸在后面.
发散
公理化及其意义
1.公理化方法
数学中的绝大多数概念,总是用下定义的方法来约定它的意义的.例如,我们将平行线定义如下:
平面内永远不相交的两条直线称为平行线.这里,“平面”和“直线”就是定义平行线的基础概念.
由此可见,定义实质上就是用已知概念来解释新概念.这样,追根寻源,层层上溯,就会发现总有一些无法用其他的概念来表述的原始概念.那么用什么方法来确定原始概念的意义呢?
这时,我们就通过认定的一组公理,来揭示原始概念所具有的性质,从而来约定原始概念的意义——这就是数学中的公理化方法.
2.公理的作用
(1)公理1的作用有二,第一是判定直线在平面内,第二是判定点在平面内,即直线上有两点在平面内,点在直线上,点就在平面内.
(2)公理2的作用有五点.
①判定两平面相交;
②证明点在直线上,即先证直线是两平面的交线,再证这点是两平面的公共点;
③证明三点共线.先取二点确定一条直线,再证明第三个点在这条直线上;
④证明三线共点,先证两直线相交于一点,再证明这个交点在第三条直线上;
⑤画两平面的交线.
(3)公理3及三个推论的作用:
①确定平面的依据;
②证明两个平面重合的依据;
③证明点、线共面.
【同步达纲训练】
一、选择题
1.用一个平面去截正方体,则截面形状不可能是( )
A.正三角形 B.正方形
C.正五边形 D.正六边形
2.已知E、F、G、H是空间中的四个点,设命题甲:
点E、F、G、H不共面;
命题乙:
直线EF和GH不相交,那么( )
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲是乙的既不充分,也不必要条件
3.设有如下三个命题,那么,当甲成立时,乙是丙的_______条件.( )
甲:
相交两直线l,m都在平面α内,并且都不在平面β内
乙:
l,m之中至少有一条与β相交.
丙:
α与β相交.
A.充分不必要B.必要不充分
C.充要D.既不充分也不必要
4.一条直线和这条直线外不共线的三个点最多可以确定的平面个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空题
5.不共面的四点可以确定_______个平面.
6.正方体各面所在平面将空间分成_______部分.
图9-1-11
7.如图9-1-11,E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是_______.
三、解答题
8.已知△ABC的三边AB、BC、AC分别与平面α相交于点E、F、G.如图9-1-12.求证:
E、F、G三点共线.
图9-1-12
参考答案
一、1.解析:
如图,过A、D1、B1的截面是正三角形,过AA1、BB1、CC1、DD1的中点的截面是正方形,过AB、AD、BB1、DD1、B1C1、D1C1的中点的截面是正六边形.
答案:
C
2.解析:
若E、F、G、H不共面,显然有直线EF和GH不相交(否则,EF、GH可确定一个平面,因而E、F、G、H共面,与已知条件矛盾);
反之,若直线EF和GH不相交,当EF∥GH时,则E、F、G、H共面,所以应选A.
答案:
A
3.解析:
由甲知α与β不重合,又由乙知α与β至少有一个公共点,故α与β相交,即丙成立;若α与β相交,即丙成立,则乙也成立(如果乙不成立,那么l、m都与β平行,得α与β平行,与已知矛盾).
答案:
C
4.解析:
如图,设直线l与l外三不共线的点A、B、C,由公理3,A、B、C可确定一平面,由推论1,l与A,l与B,l与C可确定三个平面,所以它们最多可确定4个平面.
答案:
D
二、5.解析:
设四点为A、B、C、D,当四点不共面时,经过四点的平面是不存在的,但是A、B、C;B、C、D;C、D、A;A、B、D各可以确定一个平面,所以空间不共面的四点,可以确定四个平面.
答案:
4
6.解析:
若从整体考虑难于处理.采取俯视图法,平面AB1,平面BC1,平面DA1,平面CD1就变为AB,BC,DA,CD,正方体变成正方形ABCD,如下图,再延展为“#”字,因此将空间分成9部分.两个互相平行的平面又将“#”字分成三层,因此正方体各面所在平面将空间分成27部分.
答案:
27
7.解析:
四边形BFD1E在面ABCD与面A1B1C1D1,在面ABB1A1与面DCC1D1的射影都是②,四边形BFD1E在面ADD1A1与面BCC1B1的射影是③.
答案:
②③
三、8.证明:
如图,
∵AB∩α=E,BC∩α=F,连结EF,则EF
α.
又EF
平面ABC,∴α∩面ABC=EF
又AC∩α=G,∴G∈α,G∈面ABC
即G是α与平面ABC的公共点
∴G∈EF,即E、F、G三点共线.
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