高三六校联考数学文试题 含答案.docx
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高三六校联考数学文试题含答案
2019-2020年高三3月六校联考数学文试题含答案
xx3月6日
(完卷时间120分钟,满分150分)
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,只要求将最终结果直接填写答题纸上相应的横线上,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.已知,,则.
2.已知集合,,若,则实数的取值范围是.
3.设等差数列的前项和为,若,,则等于.
4.
若是纯虚数(是虚数单位),则实数的值为.
5.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是.
6.已知向量,,,则向量与的夹角为.
7.执行右图的程序框图,如果输入,则输出的值为.
8.不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是.
9.若是
展开式中项的系数,
则.
10.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为,圆心角为的扇形,则此圆锥的体积为.
11.设,若不等式组
所表示的平面区域是一个锐角三角形,则实数的取值范围是.
12.从这个整数中任意取个不同的数作为二次函数的系数,则使得的概率为.
13.已知点为椭圆的左焦点,点为椭圆上任意一点,点的坐标为,则取最大值时,点的坐标为.
14.已知、、为直线上不同的三点,点直线,实数满足关系式
,有下列命题:
①;②;
③的值有且只有一个;④的值有两个;
⑤点是线段的中点.
则正确的命题是.(写出所有正确命题的编号)
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把答题纸上相应的正确代号用2B铅笔涂黑,选对得5分,不选、选错或者选出的代号超过一个,一律得零分.
15.若,则“成立”是“成立”的()
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件
16.下列函数中,既是偶函数,又在区间内是增函数的为()
(A) (B)
(C)(D)
17.已知和是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推出的是()
A)且(B)且
(C)且(D)且
18.对于函数,若存在区间,使得,则称函数为“可等域函数”,区间为函数的一个“可等域区间”.
下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为()
(A)(B)
(C)(D)
三、解答题(本大题共5题,满分74分)每题均需写出详细的解答过程.
19.(本题满分12分)本题共有2小题,第
(1)小题满分6分,第
(2)小题满分6分.
在△中,角,,所对的边长分别为,,,
且.
(1)若,,求的值;
(2)若
,求的取值范围.
20.(本题满分14分)本题共有2小题,第
(1)小题满分7分,第
(2)小题满分7分.
如图,几何体中,为边长为的正方形,为直角梯形,,,,,.
(1)求异面直线和所成角的大小;
(2)求几何体的体积.
21.(本题满分14分)本题共有2小题,第
(1)小题满分7分,第
(2)小题满分7分.
为了保护环境,某工厂在国家的号召下,把废弃物回收转化为某种产品,经测算,处理成本(万元)与处理量(吨)之间的函数关系可近似的表示为:
,且每处理一吨废弃物可得价值为万元的某种产品,同时获得国家补贴万元.
(1)当时,判断该项举措能否获利?
如果能获利,求出最大利润;
如果不能获利,请求出国家最少补贴多少万元,该工厂才不会亏损?
(2)当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最少?
22.(本题满分16分)本题共有3小题,第
(1)小题满分4分,第
(2)小题满分6分,第(3)小题满分6分.
已知各项为正数的数列中,,对任意的,成等比数列,公比为;成等差数列,公差为,且.
(1)求的值;
(2)设,证明:
数列为等差数列;
(3)求数列的前项和.
23.(本题满分18分)本题共有3小题,第
(1)小题满分4分,第
(2)小题满分6分,第(3)小题满分8分.
如图,圆与直线相切于点,与正半轴交于点,与直线在第一象限的交点为.点为圆上任一点,且满足,动点的轨迹记为曲线.
(1)求圆的方程及曲线的轨迹方程;
(2)若直线和分别交曲线于点、和、,
求四边形的周长;
(3)已知曲线为椭圆,写出椭圆的对称轴、顶点坐标、范围和焦点坐标.
xx上海市高三年级六校联考
数学试卷(文科)答案
一、填空题
1.2.3. 4.5.
6、 7. 8.9.10.
11、 12.13.14.①③⑤
二、选择题
15.C16.A17.C18.B
三、解答题
19. 解:
(1)在△中,.
所以.
,所以.………………3分
由余弦定理,
得.
解得或.………………6分
(2)
.………………9分
由
(1)得,所以,,
则.
∴.
∴.
∴的取值范围是.………………12分
20. 解:
(1)解法一:
在的延长线上延长至点使得,连接.
由题意得,,,平面,
∴平面,∴,同理可证面.
∵,,
∴为平行四边形,
∴.
则(或其补角)为异面直线和
所成的角.………………3分
由平面几何知识及勾股定理可以得
在中,由余弦定理得
.
∵异面直线的夹角范围为,
∴异面直线和所成的角为.………………7分
解法二:
同解法一得所在直线相互垂直,故以为原点,所在直线
分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系,………………2分
可得
,
∴
,
得.………………4分
设向量夹角为,则
.
∵异面直线的夹角范围为,
∴异面直线和所成的角为.………………7分
(2)如图,连结,过作的垂线,垂足为,则平面,且.
………………9分
∵……………11分
.
∴几何体的体积为.……14分
21. 解:
(1)根据题意得,利润和处理量之间的关系:
………………2分
,.
∵,在上为增函数,
可求得.………………5分
∴国家只需要补贴万元,该工厂就不会亏损.………………7分
(2)设平均处理成本为
………………9分
,………………11分
当且仅当时等号成立,由得.
因此,当处理量为吨时,每吨的处理成本最少为万元. ………………14分
22.解:
(1)由题意得
,,或. ………………2分
故数列的前四项为或. ………………4分
(2)∵成公比为的等比数列,
成公比为的等比数列
∴,
又∵成等差数列,
∴.
得,,………………6分
,
∴
,,即.
∴数列数列为公差等差数列,且或. ……8分
∴或.………………10分
(3)当时,由
(2)得.
,
,
,
.………………13分
当时,同理可得,.………………16分
解法二:
(2)对这个数列,猜想,下面用数学归纳法证明:
ⅰ)当时,,结论成立.
ⅱ)假设时,结论成立,即.
则时,
由归纳假设,
.由成等差数列可知
,于是,
∴时结论也成立.
所以由数学归纳法原理知.………………7分
此时
.
同理对这个数列,同样用数学归纳法可证.此时
.
∴或.………………10分
(3)对这个数列,猜想奇数项通项公式为.
显然结论对成立.设结论对成立,考虑的情形.
由
(2),且成等比数列,
故
,即结论对也成立.
从而由数学归纳法原理知.于是(易见从第三项起每项均为正数)以及,此时
.………………13分
对于这个数列,同样用数学归纳法可证,此时
.
此时
.………………16分
23.解:
(1)由题意圆的半径
,
故圆的方程为.………………2分
由得,,
即
,得
()为曲线的方程.(未写范围不扣分)…4分
(2)由解得:
或
,
所以,A(,),C(-,-)
同理,可求得B(1,1),D(-1,-1)
所以,四边形ABCD的周长为:
(3)曲线的方程为(),
它关于直线、和原点对称,下面证明:
设曲线上任一点的坐标为,则,点关于直线的对称点为,显然,所以点在曲线上,故曲线关于直线对称,
同理曲线关于直线和原点对称.
可以求得和直线的交点坐标为
和直线的交点坐标为,
,,,.
在上取点
.
曲线为椭圆:
其焦点坐标为
.
2019-2020年高三3月六校联考数学理试题含答案
2015年3月6日
(完卷时间120分钟,满分150分)
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,只要求将最终结果直接填写答题纸上相应的横线上,每个空格填对得4分,否则一律得零分.
1.已知,,则.
2.已知集合,,若,则实数的取值范围
是.
3.设等差数列的前项和为,若,,
则等于.
4.若是纯虚数(是虚数单位),则实数的值为.
5.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是.
6.执行右图的程序框图,如果输入,则输出的值为.
7.不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是.
8.若是
展开式中项的系数,
则.
9.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为,圆心角为的扇形,则此圆锥的体积为.
10.若点在曲线(为参数,)上,则的取值范围是.
11.从这个整数中任意取个不同的数作为二次函数的系数,则使得的概率为.
12.已知点为椭圆的左焦点,点为椭圆上任意一点,点的坐标为,则取最大值时,点的坐标为.
13、已知、、为直线上不同的三点,点直线,实数满足关系式
,有下列命题:
①;②;
③的值有且只有一个;④的值有两个;
⑤点是线段的中点.
则正确的命题是.(写出所有正确命题的编号)
14、已知数列的通项公式为,数列的通项公式为,
设若在数列中,对任意恒成立,则实数的取值范围是.
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把答题纸上相应的正确代号用2B铅笔涂黑,选对得5分,不选、选错或者选出的代号超过一个,一律得零分.
15、若,则“成立”是“成立”的()
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件
16、下列函数中,既是偶函数,又在区间内是增函数的为()
(A)(B)
(C)(D)
17、已知和是两条不同的直线,和是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推出的是()
(A)且(B)且
(C)且(D)且
18、对于函数,若存在区间,使得,
则称函数为“可等域函数”,区间为函数的一个“可等域区间”.
给出下列4个函数:
①;②;
③;④.
其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为()
(A)①②③(B)②③(C)①③(D)②③④
三、解答题(本大题共5题,满分74分)每题均需写出详细的解答过程.
19、(本题满分12分)本题共有2小题,第
(1)小题满分6分,第
(2)小题满分6分.
在△中,角、、所对的边长分别为、、,
且.
(1)若,,求的值;
(2)若
,求的取值范围.
20、(本题满分14分)本题共有2小题,第
(1)小题满分7分,第
(2)小题满分7分.
如图,几何体中,为边长为的正方形,为直角梯形,,,,,.
(1)求异面直线和所成角的大小;
(2)求几何体的体积.
21、(本题满分14分)本题共有2小题,第
(1)小题满分7分,第
(2)小题满分7分.
为了保护环境,某工厂在国家的号召下,把废弃物回收转化为某种产品,经测算,处理成本(万元)与处理量(吨)之间的函数关系可近似的表示为:
,且每处理一吨废弃物可得价值为万元的某种产品,同时获得国家补贴万元.
(1)当时,判断该项举措能否获利?
如果能获利,求出最大利润;
如果不能获利,请求出国家最少补贴多少万元,该工厂才不会亏损?
(2)当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最少?
22、(本题满分16分)本题共有3小题,第
(1)小题满分4分,第
(2)小题满分6分,第(3)小题满分6分.
已知数列中,,对任意的,、、成等比数列,公比为;、、成等差数列,公差为,且.
(1)写出数列的前四项;
(2)设,求数列的通项公式;
(3)求数列的前项和.
23、(本题满分18分)本题共有3小题,第
(1)小题满分4分,第
(2)小题满分6分,第(3)小题满分8分.
如图,圆与直线相切于点,与正半轴交于点,与直线在第一象限的交点为.点为圆上任一点,且满足,动点的轨迹记为曲线.
(1)求圆的方程及曲线的方程;
(2)若两条直线和分别交曲线于点、和、,求四边形面积的最大值,并求此时的的值.
(3)证明:
曲线为椭圆,并求椭圆的焦点坐标.
xx上海市高三年级六校联考
数学试卷(理科)答案
一、填空题
1.2.3.4.5.
6.7.8.9.10.
11.12.13.①③⑤14.
二、选择题
15.C16.A17.C18.B
三、解答题
19. 解:
(1)在△中,.
所以.
,所以.………………3分
由余弦定理,
得.
解得或.………………6分
(2)
.………………9分
由
(1)得,所以,,
则.
∴.
∴.
∴的取值范围是.………………12分
20. 解:
(1)解法一:
在的延长线上延长至点使得,连接.
由题意得,,,平面,
∴平面,∴,同理可证面.
∵,,
∴为平行四边形,
∴.
则(或其补角)为异面直线和
所成的角.………………3分
由平面几何知识及勾股定理可以得
在中,由余弦定理得
.
∵异面直线的夹角范围为,
∴异面直线和所成的角为.………………7分
解法二:
同解法一得所在直线相互垂直,故以为原点,所在直线
分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系,………………2分
可得
,
∴
,
得.………………4分
设向量夹角为,则
.
∵异面直线的夹角范围为,
∴异面直线和所成的角为.………………7分
(2)如图,连结,过作的垂线,垂足为,则平面,且.
………………9分
∵……………11分
.
∴几何体的体积为.……14分
21. 解:
(1)根据题意得,利润和处理量之间的关系:
………………2分
,.
∵,在上为增函数,
可求得.………………5分
∴国家只需要补贴万元,该工厂就不会亏损.………………7分
(2)设平均处理成本为
………………9分
,………………11分
当且仅当时等号成立,由得.
因此,当处理量为吨时,每吨的处理成本最少为万元. ………………14分
22.解:
(1)由题意得
,,或. ………………2分
故数列的前四项为或. ………………4分
(2)∵成公比为的等比数列,
成公比为的等比数列
∴,
又∵成等差数列,
∴.
得,,………………6分
,
∴
,,即.
∴数列数列为公差等差数列,且或. ……8分
∴或.………………10分
(3)当时,由
(2)得.
,
,
,
.………………13分
当时,同理可得,.………………16分
解法二:
(2)对这个数列,猜想,下面用数学归纳法证明:
ⅰ)当时,,结论成立.
ⅱ)假设时,结论成立,即.
则时,
由归纳假设,
.由成等差数列可知
,于是,
∴时结论也成立.
所以由数学归纳法原理知.………………7分
此时
.
同理对这个数列,同样用数学归纳法可证.此时
.
∴或.………………10分
(3)对这个数列,猜想奇数项通项公式为.
显然结论对成立.设结论对成立,考虑的情形.
由
(2),且成等比数列,
故
,即结论对也成立.
从而由数学归纳法原理知.于是(易见从第三项起每项均为正数)以及,此时
.………………13分
对于这个数列,同样用数学归纳法可证,此时
.
此时
.………………16分
23.解:
(1)由题意圆的半径
,
故圆的方程为.………………2分
由得,,
即
,得
()为曲线的方程.(未写范围不扣分)…4分
(2)由得
,
,
所以,同理
.………………6分
由题意知,所以四边形的面积.
,
∵
,∴
.………………8分
当且仅当时等号成立,此时.
∴当时,四边形的面积最大值为.………………10分
(3)曲线的方程为(),它关于直线、和原点对称,下面证明:
设曲线上任一点的坐标为,则,点关于直线的对称点为,显然,所以点在曲线上,故曲线关于直线对称,
同理曲线关于直线和原点对称.
可以求得和直线的交点坐标为
和直线的交点坐标为,
,,,.
在上取点
.
下面证明曲线为椭圆:
ⅰ)设为曲线上任一点,则
(因为)
.
即曲线上任一点到两定点
的距离之和为定值.
ⅱ)若点到两定点
的距离之和为定值,可以求得点的轨迹方程为(过程略).
故曲线是椭圆,其焦点坐标为
.………………18分
第(3)问说明:
1.ⅰ)、ⅱ)两种情形只需证明一种即可,得5分,
2.直接写出焦点的坐标给3分,未写出理由不扣分.
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