山东省自学考试线性代数(经管类).doc
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线性代数(经管类)综合试题一
(课程代码4184)
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设D==M≠0,则D1==
(B).
A.-2MB.2MC.-6MD.6M
2.设A、B、C为同阶方阵,若由AB=AC必能推出B=C,则A应满足(D).
A.A≠OB.A=OC.|A|=0D.|A|≠0
3.设A,B均为n阶方阵,则(A).
A.|A+AB|=0,则|A|=0或|E+B|=0B.(A+B)2=A2+2AB+B2
C.当AB=O时,有A=O或B=OD.(AB)-1=B-1A-1
4.二阶矩阵A,|A|=1,则A-1=(B).
A.B.C.D.
5.设两个向量组与,则下列说法正确的是(B).
A.若两向量组等价,则s=t.
B.若两向量组等价,则r()=r()
C.若s=t,则两向量组等价.
D.若r()=r(),则两向量组等价.
6.向量组线性相关的充分必要条件是(C).
A.中至少有一个零向量
B.中至少有两个向量对应分量成比例
C.中至少有一个向量可由其余向量线性表示
D.可由线性表示
7.设向量组有两个极大无关组与,则下列成立的是(C).
A.r与s未必相等B.r+s=m
C.r=sD.r+s>m
8.对方程组Ax=b与其导出组Ax=o,下列命题正确的是(D).
A.Ax=o有解时,Ax=b必有解.
B.Ax=o有无穷多解时,Ax=b有无穷多解.
C.Ax=b无解时,Ax=o也无解.
D.Ax=b有惟一解时,Ax=o只有零解.
9.设方程组有非零解,则k=(D).
A.2B.3C.-1D.1
10.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是(D).
A.|A|>0B.存在n阶方阵C使A=CTC
C.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.四阶行列式D中第3列元素依次为-1,2,0,1,它们的余子式的值依次为5,3,-7,4,则D=-15.
12.若方阵A满足A2=A,且A≠E,则|A|=0.
13.若A为3阶方阵,且,则|2A|=4.
14.设矩阵的秩为2,则t=-3.
15.设向量=(6,8,0),=(4,–3,5),则(,)=0.
16.设n元齐次线性方程组Ax=o,r(A)=r 17.设=(1,1,0),=(0,1,1),=(0,0,1)是R3的基,则=(1,2,3)在此基下的坐标为(1,1,2). 18.设A为三阶方阵,其特征值为1,-1,2,则A2的特征值为1,1,4. 19.二次型的矩阵A=. 20.若矩阵A与B=相似,则A的特征值为1,2,3. 三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分) 21.求行列式的值. 解: = . 22.解矩阵方程: . 解: 令B=. 因为 . 由 23.求向量组=(1,1,2,3),=(-1,-1,1,1),=(1,3,3,5),=(4,-2,5,6)的秩和一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示. 所以, 24.a取何值时,方程组有解? 并求其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示). 解: 对方程组的增广矩阵施以初等行变换: . 若方程组有解,则,故a=5. 当a=5时,继续施以初等行变换得: ,原方程组的同解方程组为: ,令, 得原方程组的一个特解: 与导出组同解的方程组为: 令得到导出组的基础解系: ,所以,方程组的全部解为: 25.已知,求A的特征值及特征向量,并判断A能否对角化,若能,求可逆矩阵P,使P–1AP=Λ(对角形矩阵). 解: 矩阵A的特征多项式为: 所以,A的特征值为: 对于,求齐次线性方程组, 得基础解系: 从 而矩阵A的对应于特征值的全部特征向量为: 对于,求齐次线性方程组的基础解系, 得基础解系: 从而矩阵 A的对应于特征值的全部特征向量为: 因为三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量 所以,A相似于对角矩阵,且 26.用配方法将下列二次型化为标准形: 解: = = = 令 得二次型的标准形为: 四、证明题(本大题共6分) 27.设向量,证明向量组是R3空间中的一个基. 证: 因为所以 所以向量组 线性代数(经管类)综合试题二 (课程代码4184) 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。 错选、多选或未选均无分。 1.若三阶行列式=0,则k=(C). A.1B.0C.-1D.-2 2.设A、B为n阶方阵,则成立的充要条件是(D). A.A可逆B.B可逆C.|A|=|B|D.AB=BA 3.设A是n阶可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵,则(A). A.B. C.D. 4.矩阵的秩为2,则λ=(B). A.2B.1C.0D. 5.设3×4矩阵A的秩r(A)=1,是齐次线性方程组Ax=o的三个线性无关的解向量,则方程组的基础解系为(D). A.B. C.D. 6.向量线性相关,则(C). A.k=-4B.k=4C.k=-3D.k=3 7.设u1,u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解,若是其导出组Ax=o的解,则有(B). A.c1+c2=1B.c1=c2C.c1+c2=0D.c1=2c2 8.设A为n(n≥2)阶方阵,且A2=E,则必有(B). A.A的行列式等于1 B.A的秩等于n C.A的逆矩阵等于E D.A的特征值均为1 9.设三阶矩阵A的特征值为2,1,1,则A-1的特征值为(D). A.1,2B.2,1,1C.,1D.,1,1 10.二次型是(A). A.正定的B.半正定的C.负定的D.不定的 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。 错填、不填均无分。 11.=____5______. 12.设A为三阶方阵,且|A|=4,则|2A|=___32_______. 13.设A=,B=,则ATB=__________. 14.设A=,则A-1=__________. 15.向量表示为向量组 的线性组合式为__________. 16.如果方程组有非零解,则k=___-1_______. 17.设向量与正交,则a=__2________. 18.已知实对称矩阵A=,写出矩阵A对应的二次型_. 19.已知矩阵A与对角矩阵Λ=相似,则A2=__E______. 20.设实二次型的矩阵A是满秩矩阵,且二次型的正惯性指数为3,则其规范形为__________. 三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分) 21.计算行列式的值. 原式= = 22.设矩阵A=,B=,求矩阵A-1B. 所以, 23.设矩阵,求k的值,使A的秩r(A)分别等于1,2,3. 解: 对矩阵A施行初等变换: 当时,矩阵的秩 当 当 24.求向量组的秩和一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示. 解: 将所给列向量构成矩阵A,然后实施初等行变换: 所以,向量组的秩,向量组的一个极大无关组为: 且有 25.求线性方程组的基础解系,并用基础解系表示其通解. 解: 对方程组的系数矩阵(或增广矩阵)作初等行变换: 与原方程组同解的方程组为: 令 方程组的通解为: 26.已知矩阵,求正交矩阵P和对角矩阵Λ,使P-1AP=Λ. 解: 矩阵A的特征多项式为: 得矩阵A的所有特征值为: 对于求方程组的基础解系. ,得基础解系为 将此线性无关的特征向量正交化,得: . 因为 将其单位化,得: 则P是正交矩阵,且 四、证明题(本大题共6分) 27.设向量组线性无关,证明: 向量组 也线性无关. 证: 令 整理得: 因为线性无关,所以 故. 线性代数(经管类)综合试题三 (课程代码4184) 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。 错选、多选或未选均无分。 1.当(D)成立时,阶行列式的值为零. A.行列式主对角线上的元素全为零 B.行列式中有个元素等于零 C.行列式至少有一个阶子式为零 D.行列式所有阶子式全为零 2.已知均为n阶矩阵,E为单位矩阵,且满足ABC=E,则下列结论必然成立的是(B). A.ACB=EB.BCA=EC.CBA=ED.BAC=E 3.设A,B均为n阶可逆矩阵,则下列等式成立的是(D). A.(AB)-1=A-1B-1B.(A+B)-1=A-1+B-1 C.(AB)T=ATBTD. 4.下列矩阵不是初等矩阵的是(B). A.B.C.D. 5.设是4维向量组,则(
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