答案 A
题型二 三角函数在物理学中的应用
【例2】 已知电流I与时间t的关系为I=Asin(ωt+φ).
(1)如图所示的是I=Asin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<)在一个周期内的图象,根据图中数据求I=Asin(ωt+φ)的解析式;
(2)如果t在任意一段秒的时间内,电流I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少?
解
(1)由题图知A=300,设t1=-,t2=,
则周期T=2(t2-t1)=2=.
∴ω==150π.
又当t=时,I=0,即sin=0,
而|φ|<,∴φ=.
故所求的解析式为I=300sin.
(2)依题意,周期T≤,
即≤(ω>0),
∴ω≥300π>942,又ω∈N*,
故所求最小正整数ω=943.
规律方法 处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性.
(2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
【训练2】 一根细线的一端固定,另一端悬挂一个小球,小球来回摆动时,离开平衡位置的位移S(单位:
厘米)与时间t(单位:
秒)的函数关系是:
S=6sin(2πt+).
(1)画出它一个周期的图象;
(2)回答以下问题:
①小球开始摆动(即t=0),离开平衡位置是多少厘米?
②小球摆动时,离开平衡位置的最大距离是多少厘米?
③小球来回摆动一次需要多少时间?
解
(1)周期T==1(秒).
列表:
T
0
1
2πt+
π
2π
2π+
6sin(2πt+)
3
6
0
-6
0
3
描点画图:
(2)①小球开始摆动(t=0),离开平衡位置为3厘米.
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6厘米.
③小球来回摆动一次需要1秒(即周期).
题型三 三角函数在实际生活中的应用
【例3】 如图所示,游乐场中的摩天轮匀速转动,每转一圈需要12分钟,其中心O距离地面40.5米,半径为40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请解答下列问题:
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式;
(2)当你第4次距离地面60.5米时,用了多长时间?
解
(1)由已知可设y=40.5-40cosωt,t≥0,由周期为12分钟可知,当t=6时,摩天轮第1次到达最高点,即此函数第1次取得最大值,所以6ω=π,即ω=,所以y=40.5-40cost(t≥0).
(2)设转第1圈时,第t0分钟时距离地面60.5米.由60.5=40.5-40cost0,得cost0=-,所以t0=或t0=,解得t0=4或t0=8,所以t=8(分钟)时,第2次距地面60.5米,故第4次距离地面60.5米时,用了12+8=20(分钟).
规律方法 解三角函数应用问题的基本步骤
【训练3】 一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示,则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为________.
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y
-4.0
-2.8
0.0
2.8
4.0
2.8
0.0
-2.8
-4.0
解析 设y=Asin(ωx+φ),则从表中可以得到A=4,T=0.8,ω==,又由4sinφ=-4.0,可得sinφ=-1,即φ=-,故y=4sin(t-),即y=-4cost.
答案 y=-4cost
课堂达标
1.函数y=|sin(x+)|的最小正周期为( )
A.2πB.π
C.4πD.
解析 易知函数y=sin(x+)的周期为4π,故y=|sin(x+)|的最小正周期为×4π=2π.
答案 A
2.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:
m)的最大值为( )
A.5B.6
C.8D.10
解析 由题意可知当sin(x+φ)取最小值-1时,
函数取最小值ymin=-3+k=2,得k=5,
∴y=3sin(x+φ)+5,当sin(x+φ)取最大值1时,
函数取最大值ymax=3+5=8.
答案 C
3.电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I=5sin,则当t=s时,电流强度I为( )
A.5AB.2.5A
C.2AD.-5A
解析 当t=时,I=5sin(100π×+)=5sin(+)=5cos==2.5A.
答案 B
4.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos(x=1,2,3,…,12,A>0)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28℃,12月份的月平均气温最低,为18℃,则10月份的平均气温值为________℃.
解析 由题意得
∴
∴y=23+5cos,
当x=10时,y=23+5×=20.5.
答案 20.5
5.如图所示,一个摩天轮半径为10m,轮子的底部在地面上2m处,如果此摩天轮按逆时针转动,每30s转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式;
(2)在摩天轮转动的一圈内,约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17m.
解
(1)设在ts时,摩天轮上某人在高hm处.这时此人所转过的角为t=t,故在ts时,此人相对于地面的高度为h=10sint+12(t≥0).
(2)由10sint+12≥17,
得sint≥,
则≤t≤.
故此人有10s相对于地面的高度不小于17m.
课堂小结
1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型,三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用.
2.三角函数模型构建的步骤:
(1)收集数据,观察数据,发现是否具有周期性的重复现象.
(2)制作散点图,选择函数模型进行拟合.
(3)利用三角函数模型解决实际问题.
(4)根据问题的实际意义,对答案的合理性进行检验.
基础过关
1.函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可以是( )
A.f(x)=x+sinxB.f(x)=
C.f(x)=xcosxD.f(x)=x··
解析 由题图象可知f(x)是奇函数,可排除选项D,又f()=0,可排除A,f(0)=0,可排除B,故选C.
答案 C
2.如图所示,有一广告气球,直径为6m,放在公司大楼上空,当行人仰望气球中心的仰角∠BAC=30°时,测得气球的视角为β=1°,当θ很小时,可取sinθ≈θ,试估算气球的高BC的值约为( )
A.70mB.86m
C.102mD.118m
解析 AC==≈×180≈172(m),又∠BAC=30°,∴BC=AC=86m.
答案 B
3.如图所示,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是( )
解析 设所对的圆心角为α,则α=l,
弦AP的长d=2·|OA|·sin,
即有d=f(l)=2sin.
答案 C
4.已知某种交流电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I=5sin,t∈[0,+∞),则这种交流电在0.5s内往复运动________次.
解析 据I=5sin(100πt-)知ω=100πrad/s,
该电流的周期为T===0.02s,
则这种交流电电流在0.5s内往复运行次数为
n=2·=2×s=50(次).
答案 50
5.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,将A,B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d=__________,其中t∈[0,60].
解析 将解析式可写为d=Asin(ωt+φ)的形式,由题意易知A=10,当t=0时,d=0,得φ=0;当t=30时,d=10,
可得ω=,所以d=10sin.
答案 10sin
6.如图所示,某地夏天从8~14时的用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(0<φ<).
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
解
(1)最大用电量为50万kW·h,
最小用电量为30万kW·h.
(2)观察图象可知从8~14时的图象是y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象,
∴A=×(50-30)=10,b=×(50+30)=40.
∵×=14-8,
∴ω=.∴y=10sin+40.
将x=8,y=30代入上式,
又∵0<φ<,∴解得φ=.
∴所求解析式为y=10sin+40,x∈[8,14]