直角三角形斜边上的中线的性质及其应用.docx
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直角三角形斜边上的中线的性质及其应用
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用
LT
∵PN、PM分别是直角三角形△PDC、△PAB斜边上的中线,∴PN=CN=DN=
CD,PM=BM=DM=
AB,
∵∠PNC=2∠PDN=2∠A,∠PMB=∠PKC=2∠A,∴∠PNC=∠PKC,∴N、K重合,
∴MN=PM-PN=
(AB-CD).
评析:
本题只有中点,而没有直角,这时要想方设法构造直角,应用性质,而条件中正好有角的关系“∠ADC+∠BCD=2700”,这样问题就易以解决了
四、逆用性质解题
例4.如图4,延长矩形ABCD的边CB至E,使CE=CA,
P是AE的中点.
求证:
BP⊥DP.
证明:
如图3,连结BD交AC于点O,连结PO,
∵四边形ABCD是矩形,∴AO=OC=OB=OD,
∵PA=PE,∴PO=
EC,∵EC=AC,∴PO=
BD,
即OP=OB=OD,∴BP⊥DP.
评析:
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质是众所周知的,而它的逆定理往往被大家所忽视,本题就是利用这个性质构造△PBD,证BD边的中线等于BD的一半.
请同学们试一试吧!
1.如图5,△ABC中,AB=AC,∠ABD=∠CBD,BD⊥DE于D,DE交BC于E,
求证:
CD=
BE.
2.如图6,△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,M是BC的
中点,求证:
AB=2DM.
1.提示:
结论中的BE是直角三角形的斜边,由
BE应想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,故应取BE的中点F,连结DF,只需证明DC=DF,即证∠C=∠DFC.
2.提示:
取AB的中点N,连结DN、MN即可.
直角三角形斜边上中线性质的应用
直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质,同时也是常考的知识点.它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。
下面谈谈直角三角形斜边上中线的性质及应用。
一、直角三角形斜边上中线的性质
1、性质:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.如图1,在Rt△BAC中,∠BAC=
,D为BC的中点,则
。
2、性质的拓展:
如图1:
因为D为BC中点,
所以
,
所以AD=BD=DC=
,
所以∠1=∠2,∠3=∠4,
因此∠ADB=2∠3=2∠4,
∠ADC=2∠1=2∠2。
因而可得如下几个结论:
①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形;②分成的两个等腰三角形的腰相等,两个顶角互补、底角互余,并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍.
二、性质的应用
1、求值
例1、(2004年江苏省苏州市中考)如图2,CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,若CD=4,则AB=.
解析:
由性质可知:
CD
,
所以AB=2CD=8.
例2、(2006年上海市中考)已知:
如图3,在△ABC中,AD是BC边上的高,E为AC边上的中点,BC=14,AD=12,
。
求
的值。
解析:
由性质拓展可知:
∠EDC=∠C。
要求tan∠EDC的值,可转化为求tan∠C的值。
在Rt△ADB中,
,
所以AB=15。
由勾股定理得:
,
所以DC=BC-BD=5。
在Rt△ADC中,tan∠C=
,
所以tan∠EDC=
。
2、证明线段相等
例3、(2004年上海市中考)如图4,在△ABC中,∠BAC=90°,延长BA到D点,使
,点E、F分别为边BC、AC的中点。
(1)求证:
DF=BE;
(2)过点A作AG∥BC,交DF于G。
求证:
AG=DG。
分析:
(1)因为E为BC的中点,
所以BE=
。
要证DF=BE,即为
,
连AE,AE=
,只需证DF=AE。
因为EF为△ABC的中位线,
所以EF
,而AD=
,所以
。
故四边形AEFD为平行四边形。
所以DF=AE,从而DF=BE这一命题得证。
(2)由性质拓展可知:
∠1=∠2。
由
(1)得AE∥DF,所以∠2=∠D。
因为AG∥BC,所以∠1=∠DAG,
因此∠D=∠DAG,所以DG=AG。
3、证明角相等及角的倍分关系
例4、已知,如图5,在△ABC中,∠BAC>90°,BD、CE分别为AC、AB上的高,F为BC的中点,求证:
∠FED=∠FDE。
分析:
因为BD、CE分别为AC、AB上的高,
所以∠BDC=∠BEC=90°。
在Rt△BDC中DF为斜边上中线,
所以
。
同理在Rt△BEC中,
,
所以DF=EF,
所以∠FED=∠FDE。
例5、(2003年上海市中考题)已知:
如图6,在△ABC中,AD是高,CE是中线。
DC=BE,DG⊥CE,G为垂足。
求证:
(1)G是CE的中点;
(2)∠B=2∠BCE。
分析:
(1)E是Rt△ADB斜边上中点,连DE,则
,
所以DE=DC。
又因为DG⊥CE,所以G为CE的中点。
(2)因为DE=DC,所以∠1=∠2。
因为∠EDB=∠1+∠2,
所以∠EDB=2∠2。
由性质拓展知:
∠B=∠EDB,
所以∠B=2∠2,即∠B=2∠BCE。
4、证明线段的倍分及和差关系
例6、(2007年呼和浩特市中考)如图7,在△ABC中,∠C=2∠B,D是BC上的一点,且AD⊥AB,点E是BD的中点,连AE。
求证:
(1)∠AEC=∠C;
(2)求证:
BD=2AC。
分析:
(1)因为AE是Rt△BAD斜边BD上中线,由性质拓展可知:
∠AEC=2∠B。
又因为∠C=2∠B,
所以∠AEC=∠C。
(2)由
(1)∠AEC=∠C,所以AE=AC,AE是Rt△BAD斜边上中线。
由性质可得:
,所以
,
故BD=2AC。
例7、(第四届“祖冲之杯”初二竞赛)如图8,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A+∠B=90°,E、F分别是AB、CD的中点。
求证:
。
分析:
延长AD、BC交于G,连GE、GF。
由于∠A+∠B=90°,
所以∠G=90°。
E、F分别为DC、AB中点。
由性质可得:
。
由性质拓展可得:
∠GDE=∠AGE,∠GAF=∠AGF。
因为CD∥AB,
所以∠GDE=∠GAF,
所以∠AGE=∠AGF,
所以G、E、F三点在同一直线上,
所以
。
5、证明线段垂直
例8、如图9,在四边形ABCD中,AC⊥BC,BD⊥AD,且AC=BD,M、N分别是AB、DC边上的中点。
求证:
MN⊥DC。
分析:
M是Rt△ADB与Rt△ACB斜边上中点,连DM、CM,由性质可得:
,
所以△DMC为等腰三角形。
又因为N为CD的中点,
所以MN⊥DC。
6、证明特殊的几何图形
例9、(2007年新疆维吾尔自治区中考)如图10,将Rt△ACB沿直角边AC所在直线翻折180°得到Rt△ACE,点D与点F分别是斜边AB、AE的中点,连CD、CF,则四边形ADCF为菱形.请给予证明.
分析:
由于△ACE是△ACB沿直角边AC翻折得到的,
所以AB=AE,∠ACE=90°.
因为D、F分别是Rt△ACB和Rt△ACE斜边上中线,
所以
,
所以AD=DC=AF=FC,
所以四边形ADCF为菱形。
三、尝试训练
1、(黑龙江中考)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,则斜边上中线长为.
2、(2006年重庆市中考)如图11所示,一张三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,沿斜边AB的中线把这张纸张剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形(如图12所示),将纸张△AC1D1沿直线D2B(AB)方向平移(点A,D1,D2,B始终在同一条直线上),当点D1与点B重合时,停止平移,在平移过程中,C1D1与BC2交于点E,AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P。
(1)当△AC1D1平移到如图13所示时,猜想图中D1E与D2F数量关系,并证明猜想:
3、如图14,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,AC与BD相交于O,∠BOC=
,G、E、F分别是AB、OC、OD的中点。
求证:
△GEF为等边三角形。
(提示:
连AF、BE)
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- 直角三角形 斜边 中线 性质 及其 应用