第五章 动态规划.docx
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第五章动态规划
第五章动态规划
班级学号姓名日期
一、某公司拟将某种设备3台分配给三个分厂,各厂得到这种设备后获得收益如下表所示:
单位:
百万元
设备台数
分厂一
分厂二
分厂三
0
0
0
0
1
3
5
4
2
7
10
6
3
9
11
11
问如何分配这些设备可使公司总收益最大?
(建立动态规划模型并求解)
解:
设:
Sk——分配给第k个工厂至第n个工厂的设备数。
Xk——分配给第k个工厂的设备台数。
PK(XK)——分配给第k个工厂Xk台设备所得利润。
fk(Sk)——Sk台设备分配给第K至第n个工厂所得的最大利润。
K=3f3(S3)=max{P3(X3)}0≤X3≤S3
S3
X3
P3(X3)
f3(S3)
X3*
0
1
2
3
0
1
2
3
0
4
6
11
0
4
6
11
0
1
2
3
K=2
设把S2台设备(S2=0、1、2、3)分配给分厂二和分厂三时获最大盈利为:
f2(S2)=max[P2(X2)+f3(S2-X2)]其中X2=0、1、2、30≤X2≤S2
因为给二分厂X2台设备,其盈利为P2(X2),余下的S2-X2台设备给三分厂,则其盈利最大值为
f3(S2-X2),现要选择X2值,使P2(X2)+f3(S2-X2)取最大值。
X2
S2
P2(X2)+f3(S2-X2)
f2(S2)
X2*
0
1
2
3
0
1
2
3
0
0+4
0+6
0+11
5+0
5+4
5+6
10+0
10+4
11+0
0
5
10
14
0
1
2
2
全给X3X2=1X2=2X2=3
K=1
设把S1台设备分配给一、二、三三个分厂时,获最大盈利为:
f1(S1)=f1(3)=max[P1(X1)+f2(3-X1)]0≤X1≤3
因为给甲工厂X1台,其盈利为p(X1),剩下的3-X1台。
设备就分给二分厂和三分厂两个工厂,则它的盈利最大值为:
f2(3-X1),现要选择X1值,使P1(X1)+f2(3-X1)
取最大值,它就是所求的总盈利最大值:
X1S1
P1(X1)+f2(3-X1)
f1(3)
X1*
0
1
2
3
3
0+14
3+10
7+5
9+0
14
0
由于X1*=0f2*(3-0)=f2*(3)=14,对应X2*=2;
f3(S3)=f3(S2-X2*)=f3(3-2)=f3*
(1)=4,对应X3*=1
结论:
一分厂不分,二分厂分2台,三分厂分1台,总赢利最大为14百万元。
二、某工厂要对一种产品制定今后4个时期的生产计划,据估计今后4个时期内市场对于该产品的需求量见表:
时期K
1
2
3
4
需求量(dk)
2
3
2
4
假定该厂生产每批产品的固定成本为3000元,若不生产就为0;每单位生产成本为1000元,每个时期生产能力所允许的最大生产批量为不超过6单位;每时期末未售出的产品,每单位需支付存储费为500元,还假定在第一个时期的初始库存量为0,第四时期之末的库存量也为0。
试问该厂应如何安排各个时期的生产和库存,才能在满足市场需要的条件下使总成本最低?
解:
将问题分4阶段,由题意,在第K时期内的生产成本为:
0XK=0
CK(XK)=3+1XKXK=1,2…6
∞XK>6
•第K时期末库存量为VK时的存储费为
•hk(VK)=0.5VK
•故第K时期的总成本为CK(XK)+hk(VK)
•递推关系为:
其中:
边界条件:
f1(V1)=min[C1(X1)+h1(V1)]
X1=min(V1+d1,6)
当K=1时,f1(V1)=min[C1(X1)+h1(V1)]
X1=min(V1+2,6)
对V1在0至
V1=0时,f1(0)=min[3+X1+0.5×0]=min[3+1×2+0]=5
X1=2∴X1=2
•V1=1,f1
(1)=min[3+X1+0.5×1]=min[3+1×3+0.5×1]=6.5X1=3∴X1=3
•V1=2,f1
(2)=min[3+X1+0.5×2]=min[3+1×4+0.5×2]=8X1=4∴X1=4
•V1=3,f1(3)=min[3+X1+0.5×3]=min[3+1×5+0.5×3]=9.5X1=5∴X1=5
•V1=4,f1(4)=min[3+X1+0.5×4]=min[3+1×6+0.5×4]=11
•X1=6∴X1=6
X1取值既要满足第1阶段需求又要满足库存数
•当K=2时,f2(V2)=min[C2(X2)+h2(V2)+f1(V2+3-X2)]
•0≤X2≤
其中
=min(V2+3,6),对V2在0至
从而有:
f2(0)=min[C2(X2)+h2(0)+f1(3-X2)]
=min
f2
(1)=min[C2(X2)+h2
(1)+f1(4-X2)]
0≤X2≤4
=min
f2
(2)=min[C2(X2)+h2
(2)+f1(5-X2)]
0≤X2≤5
=min
f2(3)=min[C2(X2)+h2(3)+f1(6-X2)]
0≤X2≤6
=min
当K=3时,由
f3(V3)=min[C3(X3)+h3(V3)+f2(V3+2-X3)]
0≤X3≤
=min(V3+2,6),对V3在0至min[4,6-2]=4之间的值分别进行计算,有:
f3(0)=min[C3(X3)+h3(0)+f2(2-X3)]
0≤X3≤2
=min
f3
(1)=min[C3(X3)+h3
(1)+f2(3-X3)]
0≤X3≤3
=min
f3
(2)=min[C3(X3)+h3
(2)+f2(4-X3)]
0≤X3≤4
=min
f3(3)=min[C3(X3)+h3(3)+f2(5-X3)]
=
f3(4)=min[C3(X3)+h3(4)+f2(6-X3)]
0≤X3≤6
=min
当K=4时,因要求第4时期之末的库存量为0,即V4=0,故有
f4(0)=min[C4(X4)+h4(0)+f3(4-X4)]
0≤X4≤4
=min
再按计算的顺序反推算可找出每个时期的最优生产决策:
X4*=0对应f3*(V3)=f3*(4)=20.5,对应X3*=6
f2*(V2)=f2*(0)=9.5,对应X2*=0,f1*(V1)=f1*(3)=9.5,对应
X1*=5,∴X1*=5,X2*=0,X3*=6,X4*=0,fmin=20.5千元
•2、最优生产决策:
•X1=5单位,X2=0,X3=6单位,X4=0,最小成本:
20.5千元
•如不封顶(产量不受限):
•X1=7单位,X2=0,X3=0,X4=4,最小成本:
20.5千元
•2、决策分析法
•{1}3+2=5
•————————————————————
•{1}{2}3+2+3+3=11×
•{1、2}3+5+0.5×3=9.5
•——————————————————————
•{1、2}{3}9.5+3+2=14.5
•{1、2、3}>6×
•——————————————————————
•{1、2}{3}{4}14.5+3+4=21.5×
•{1、2}{3、4}9.5+3+6+0.5×4=20.5
•结论:
•X1=5单位,X2=0,X3=6单位,X4=0,最小成本:
20.5千元。
三、机器可在高低两种不同的负荷下进行生产,设机器在高负荷下生产的产量函数为g=8
,其中
为投入生产的(高负荷)机器数量,年完好率为a=0.7;在低负荷下生产的产量函数为h=5y,其中y为投入生产的(低负荷)机器数量,年完好率为b=0.9。
假定开始生产时完好的机器数量S1=1000台,试问每年如何安排在高、低负荷下生产设备,使在5年内生产的产品总产量最高?
•
•设:
K表示年度,状态变量SK为第K年度初拥有的完好机器数量。
同时也是第K-1年度末时的完好设备数量。
决策变uK为第K年度中分配在高负荷下生产的机器数量,于是SK-uK为该年度中分配在低负荷下生产的机器数量。
•此处SK和uk均取连续变量,Sk=0.6表示一台机器K年度种正常工作时间只占6/10(使拥有完好设备数量打6折);uk=0.3表示一台机器在该年度只有3/10的时间能在高负荷下工作。
•状态转移方程为:
•Sk+1=auk+b(Sk-uk)=0.7uk+0.9(Sk-uk)K=1,2..5
•K阶段允许决策变量集合Dk(SK)={uk|0≤uk≤Sk}
•设Vk=8uk+5(Sk-uk)即:
Vk=8gk+5yK
五年产量V5=
令最优值函数fk(Sk)表示有资源量SK出发,从第K年开始到第五年结束时所生产的产品的总产量大最大值,因而有递推式:
•fn(Sn)=f6(S6)=0
•fk(Sk)
•=max{8uk+5(SK-uk)+fk+1[0.7uK+0.9(Sk-uk)]}
•ukDk(Sk)K=1、2、…5
•从第5年度开始,向前逆推计算:
•当K=5时,有
•f5(S5)=max{8u5+5(S5-u5)+fk+1[0.7uk+0.9(Sk-uk)]}
•0≤u5≤S5
•=max{8u5+5(S5-u5)}=max{3u5+5S5}
•0≤u5≤S50≤u5≤S5
•因f5(S5)是u5的线性单调增函数,故得最大值:
•u5*=S5,相应有f5(S5)=8S5
•当K=4时,有
•f4(S4)=max{8u4+5(S4-u4)+f5[0.7u4+0.9(S4-u4)]}
•0≤u4≤S4
•=max{8u4+5(S4-u4)+8[0.7u4+0.9(S4-u4)]}
•0≤u4≤S4
•=max{13.6u4+12.2(S4-u4)}
•0≤u4≤S4
•=max{1.4u4+12.2S4}
•0≤u4≤S4
•因f4(S4)是u4的线性单调增函数,故得最大值:
•u4*=S4,相应有f4(S4)=13.6S4
•当K=3时,有
•f3(S3)=max{8u3+5(S3-u3)+f4[0.7u3+0.9(S3-u3)]}
•0≤u3≤S3
•=max{8u3+5(S3-u3)+13.6[0.7u3+0.9(S3-u3)]}
•0≤u3≤S3
•=max{17.52u3+17.24(S3-u3)}
•0≤u3≤S3
•=max{0.28u3+17.24(S3-u3)}
•0≤u3≤S3
•u3*=S3时,相应f3(S3)=17.52S3
•当K=2时,有
•f2(S2)=max{8u2+5(S2-u2)+f3[0.7u2+0.9(S2-u2)]}
•0≤u2≤S2
•=max{8u2+5(S2-u2)+17.52[0.7u2+0.9(S2-u2)]}
•0≤u2≤S2
•=max{20.3u3+20.8(S3-u3)}
•0≤u3≤S3
•=max{20.3S2-0.5u3}
•0≤u2≤S2
•当u2=0f2(S2)得最大值:
f2(S2)=20.8S2
当K=1
•f1(S1)=max{8u1+5(S1-u1)+f2[0.7u1+0.9(S1-u1)]}
•0≤u1≤S1
•=max{8u1+5(S1-u1)+20.8[0.7u1+0.9(S1-u1)]}
•0≤u1≤S1
•=max{22.6u1+23.7(S1-u1)]}
•0≤u1≤S1
•=max{23.7S1-1.1u1}
•0≤u1≤S1
•当u1=0f1(S1)得最大值:
f1(S1)=23.7S1
•∵S1=1000台,故f1(S1)=23700台
•最优策略:
u1*=0,u2*=0,u3*=S3,u4*=S4,u5*=S5
•即前两年应将年初完好设备投入低负荷运行生产,后三年应把年初全部完好机器投入高负荷运行生产,此时可获最高产量23700台(5年)
•在获得整个问题的最优指标函数和最优策略后,还需反过来确定每年年初的状态,即从始端向终端递推计算出每年年初完好机器数.
•已知S1=1000台,则
•S2=0.7u1*+0.9(S1-u1*)=0.9S1=900台
•S3=0.7u2*+0.9(S2-u2*)=0.9S2=810台
•S4=0.7u3*+0.9(S3-u3*)=0.7u3*=0.7S3=567台
•S5=0.7u4*+0.9(S4-u4*)=0.7u4*=0.7S4=397台
•S6=0.7u5*+0.9(S5-u5*)=0.7u5*=0.7S5=278台
第六章网络计划技术
班级学号姓名日期
一、作网络图:
30%
1、
工序代码
紧前工序
A
————
B
A
C
B
D
B
E
C
F
D
G
E、F
4
CE
2
1
7
6
3
ABG
5
DF
2、
工序代码
3
紧前工序
A
————
B
A
C
1
A
D
B
E
B、C
F
D
G
D
H
E、F
5
D
BG
2
7
A
F
C
4
6
EH
3、
工序代码
紧前工序
A
————
B
————
C
A
D
A
E
B、C
F
B、C
G
F
H
D、E、G
I
F
2
5
D
AH
1
6
CEG
BI
3
4
F
二、网络图作图计算30%
1、某项工程可分解为9个活动,有关活动的数据及先后顺序如下表:
活动
紧前工序
本活动完成所需时间(天)
A
————
13
B
————
14
C
A
15
D
B
16
E
B
19
F
C、D
14
G
E
15
H
F、G
10
I
E
25
求:
1)根据上表绘制网络图;
2)利用图上计算法计算总工期;
19
3)确定关键路线。
13
34
0
2
48
30
0
A13C15
48
4
58
6
1
F
14
58
B14D16H10
G15
7
3
14
5
EI
33
1925
14
33
总工期T=58天
7
6
5
3
1
关键路线:
a,BEGH
14191510
7
5
3
1
b,BEI
141925
2、求下述网络图的总工期和关键路线。
28
35
8
单位:
天
8
FM
23
8
30
6
2
67
0
17
19
43
48
A8D9G9K4N5R8T7
0
43
19
17
11
100
5
1
4
CHOU
48
11
2125
B5E10IL8S10V8
6P14
9
7
3
JQ
27
33
36
7
解:
27
33
5
总工期T=48天
关键路线:
11
100
5
4
1
2
9
7
ADHLQSU
89286105
11
100
5
4
1
2
9
ADHPSU
89214105
三、网络图计算与优化
某项工程可分解为8个活动,有关活动的数据及先后顺序如下表:
活动
紧前工序
tij天
cij元
t/ij天
c/ij元
eij天/元
A
————
3
600
2
700
100
B
————
5
1000
3
1500
150
C
A
4
400
4
400
——
D
A
6
900
4
1500
300
E
B、C
4
700
3
750
50
F
D
3
500
2
580
80
G
E
2
300
2
300
——
H
F、G
3
800
1
1200
200
5200
10
3
试作图,进行费用工期优化。
间接费用80元/天。
解:
13
0
9
3
2
4
D
6
13
0
A33F
11
7
1
6
C4
11
16
7
B5G2
5
H3
3
E
16
7
4
总工期T=16天
关键路线:
7
1
5
3
2
1
ACEGH
34423
Min(100,50,200)=50元,E压1天。
T1=T0-1=16-1=15天
7
1
5
3
2
1
ACE*GH
34323
7
5
3
2
1
ADFH
3633
Min(100,200)=100元,A压1天,T2=T1-1=15-1=14天
7
1
5
3
2
1
A*CE*GH
24323
7
5
3
2
1
A*DFH
2633
Min(200)=200元,供有工序,压2天,T3=T2-1=14-2=12天
7
1
5
3
2
1
A*CE*GH*
24321
7
5
3
2
1
A*DFH*
2631
第一条关键路线饱和,优化结束。
工期T
直接成本(元)
间接成本(元)
总成本(元)
16
5200
1280
6480
15
5250
1200
6450
√
14
5350
1120
6470
12
5750
960
6710
结论:
最佳工期为15天,最低总成本为6450元。
第七章图论
班级学号姓名日期
一、画出下述的图:
e
1、
V2e5V5
e1e2
V1e6
e3
V3e4V4
2、
e=(u,v)
e2
e1
V1V2V5
e6
e3e4
V4
V3
二、写出下图的关联矩阵和邻接矩阵
e1
A(G)=
B(G)=
三、分别用列表法和标号法求A至B最小运距
标号法:
(倒算)
214
101
131
65
69
55
48
由A——B最短路径为214。
Vt
(5,2)
(3,3)
(1,0)
V3
(2,2)
V2
(3,1)
V1
(4,3)
(2,2)
VS
四、求最大流
1、在如下的网络中,弧旁数字为(Cij,fij)
1)确定所有的截集;
2)求最小截集容量;
3)证明所求为最大流。
1)、
S1
S2
C(S1S2)
VS
V1V2V3Vt
5
VSV1
V2V3Vt
6
VSV2
V1V3Vt
5
VSV1V2
V3Vt
5
VSV2V3
V1Vt
5
VSV1V2V3
Vt
5
2)、最小截集容量minC(S1S2)=5
3、由最小截集最大流量原理知最大流量为5。
2、求下述网络的最大流:
(弧边数字为容量)
2
V1V4
48
43
43Vt
VSV2
93610
4
V3V5
解:
V1(2、2)V4
(2、2、2、8)
(2、2、4)(2、3)
(2、2、4)
(4、4)V2
(0+∞)X3Y
(1、2、3)(1、4、6)
(1、2、4、9)
(1、4、4、10)
(4、4)
V3V5
F1=2
F2=2
F3=4
F4=4
F5=2
F6=1
Σf=15
××
(4,4)(4、4)(4、8)
XV2V4Y
×
(4、9)(4、4)(4、10)
XV3V5Y
×
(3、4、9)(3、3)(3、6)(3、4、10)
XV3V2V5Y
×××
(3、4)(3、3)(3、3、6)(3、3、4、10)
XV1V2V5Y
×
(1、3、4)(1、2)(1、4、8)
XV1V4Y
∵fx1=Cx1fx2=Cx2f32=C32f35=C35均饱和,无法找到增广链,得最大流f*=15
第八章排队论
班级学号姓名日期
一、某修理店只有1名修理工人,来修理的顾客到达次数服从普阿松分布,平均每小时4人,修理时间服从负指数分布,平均需6分钟/人,求:
1)修理店空闲时间概率;
2)店内有3个顾客的概率;
3)店内至少有1个顾客的概率;
4)在店内顾客平均数;
5)在店内平均逗留时间;
6)等待服务的顾客平均数;
7)平均等待修理(排队)时间;
8)必须在店内消耗15分钟以上的概率。
解:
λ=4人/小时,μ=60/6=10人/小时,ρ=λ/μ=4/10=0.4
1)系统空闲概率Π0=1-ρ=1-0.4=0.6
2)P(n=3)=ρ3(1-ρ)=0.43(1-0.4)=0.0384
3)P(n≥1)=1-Π0=ρ=0.4
4)L=
5)
6)Lq=
7)
8)P{w>1/4}==0.089
二、在某单人理发店顾客到达为普阿松分布,平均到达间隔为20分钟,理发时间服从负指数分布,平均时间为15分钟,求:
1)顾客一到就可理发的概率;
2)理发店内顾客平均数;
3)顾客在理发店平均逗留时间;
4)顾客在理发店平均排队时间。
解:
λ=60/20=3人/小时,μ=60/15=4人/小时,ρ=λ/μ=3/4=0.75
1)Π0=1-ρ=1-0.75=0.25
2)L=
3)
4)
.
三、某公司为职工设立了24小时都能看病的医疗室(按单服务台处理),医疗室有两把椅子,一把椅子用来给病人看病,一把椅子供病人等待,病人到达医疗室如果没有座位就依次排队站立等候。
病人按普阿松流到达,平均每小时到达4人,医生看病时间服从负指数分布,平均每人看病时间为12分钟,因职工看病每小时给公司造成的损失为30元,问:
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