高中数学第3章概率31随机事件及其概率学案苏教必修3.docx
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高中数学第3章概率31随机事件及其概率学案苏教必修3
§3.1 随机事件及其概率
3.1.1 随机现象
3.1.2 随机事件的概率
内容要求 1.了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念(重点);2.正确理解事件A出现的频率的意义(重点);3.正确理解概率的概念和意义,明确事件A发生的频率fn(A)与事件A发生的概率P(A)的区别与联系(难点).
知识点一 必然事件、不可能事件与随机事件
事件类型
定义
必然事件
在一定条件下,必然会发生的事件叫做必然事件.
不可能事件
在一定条件下,肯定不会发生的事件叫做不可能事件.
随机事件
在一定条件下,可能发生,也可能不发生的事件叫做随机事件.
【预习评价】
下面给出五个事件:
①某地2月3日下雪;②函数y=ax(a>0,且a≠1)在定义域上是增函数;③实数的绝对值不小于0;④标准大气压下,水在1℃结冰;⑤a,b∈R,ab=ba.
其中必然事件是________;不可能事件是________;随机事件是________(填序号).
解析 ①是随机事件,某地在2月3日可能下雪,也可能不下雪.②是随机事件,当a>1时,函数y=ax在其定义域上是增函数;当0<a<1时,函数y=ax在其定义域上是减函数.③是必然事件,实数的绝对值永远都是非负数.④是不可能事件,在标准气压下,水在0℃结冰.⑤是必然事件,若a,b∈R,则ab=ba恒成立.
答案 ③⑤ ④ ①②
知识点二 随机事件的频率与概率
1.随机试验
(1)试验可以在相同的条件下重复进行;
(2)试验的结果都明确可知,但不止一种;
(3)每次试验总是出现这些结果中的一种,但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一种结果.
称这样的试验是一种随机试验,简称试验.
2.随机事件的频率
在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=
为事件A出现的频率.
3.随机事件的概率
若随机事件A在n次试验中发生了m次,则当试验次数n很大时,可以将事件A发生的频率
作为事件A的概率的近似值,即P(A)≈
.
【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”)
1.抛掷硬币试验是随机试验.( )
2.频率就是概率.( )
3.随机事件A的概率范围是0≤P(A)≤1.( )
答案 1.√ 2.× 3.√
题型一 确定性现象与随机现象
【例1】 判断以下现象是否是随机现象:
(1)某路口单位时间内发生交通事故的次数;
(2)冰水混合物的温度是0℃;
(3)三角形的内角和为180°;
(4)一个射击运动员每次射击的命中环数;
(5)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的开口方向.
解
(1)某路口单位时间内发生交通事故的次数有可能是0,1,2等,不能确定,因此是随机现象.
(2)常温常压下,冰水混合物的温度是0℃.若改变气压就不一定是0℃了,因此是随机现象.
(3)三角形的内角和一定是180°,是确定的,因此是确定性现象.
(4)射击运动员每次射击的命中环数可能是3,也可能是1等,因此是随机现象.
(5)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,当a>0时开口向上,当a<0时开口向下,故在a≠0的条件下开口方向可能向上也可能向下,因此是随机现象.
规律方法
(1)判断一个现象是否为随机现象,一定要注意其“可能发生,也可能不发生”这一本质特征.
(2)随机现象就是在相同条件下,多次进行同一试验或调查同一现象,所得结果不完全相同,而且无法准确地预测下一次所得的结果的现象.但实践证明,如果同类的随机现象大量重复出现,那么它的总体就会呈现出一定的规律性.
(3)确定性现象和随机现象是有条件的,离开限定条件就很难判断是确定性现象还是随机现象.
【训练1】 指出下列现象是确定性现象还是随机现象:
(1)三个球全部放入两个盒子,其中一个盒子有一个以上的球;
(2)函数y=ax(a>0且a≠1)在定义域(-∞,0]上是增函数;
(3)圆(x-a)2+(y-b)2=r2内的点的坐标可使不等式(x-a)2+(y-b)2<r2成立.
解 判断某一现象是否为随机现象,关键是看这一现象发生的可能性.若一定发生或一定不发生,则它为确定性现象,否则为随机现象.
(1)随机现象;
(2)随机现象;
(3)确定性现象.
题型二 事件的分类与判断
【例2】 判断下列事件是随机事件、必然事件还是不可能事件:
(1)某人购买福利彩票中奖;
(2)导体通电时发热;
(3)在标准大气压下,水加热到100℃沸腾;
(4)某人投篮10次,1次也没投中;
(5)早上看到太阳从西方升起;
(6)抛掷一颗骰子出现的点数为偶数;
(7)向上抛出的石头会下落;
(8)当x∈R时,|x|<0.
解 判断一个事件是哪类事件,首先要看清条件,其次看它在这一条件下是否一定发生某种结果.判断事件发生的可能性要有充分的依据,这些依据有的来自人们长期的实践经验和客观规律,还有的来自一些科学试验以及逻辑推理.
由题意知
(2)(3)(7)是必然事件;
(5)(8)是不可能事件;
(1)(4)(6)是随机事件.
规律方法
(1)判定一个事件是必然事件、不可能事件还是随机事件,需考查该事件在一定条件下是必然发生、不可能发生还是既可能发生也可能不发生.
(2)必然事件与不可能事件反映的是在一定条件下的确定性现象,而随机事件反映的则是随机现象.
(3)对随机事件,可以进行大量重复的试验,每次试验结果不一定相同,且无法预测下一次的结果,但随着试验的重复进行,其结果呈现出一定的规律性.
【训练2】 指出下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件:
(1)中国体操运动员将在下一届奥运会上获得全能冠军;
(2)出租车司机小李驾车通过4个十字路口都将遇到绿灯;
(3)若x∈R,则x2+1≥1;
(4)小红书包里只有数学书、语文书、地理书、政治书,她随意拿出一本,是漫画书.
解
(1)
(2)中的事件可能发生,也可能不发生,所以是随机事件.
(3)中的事件一定会发生,所以是必然事件.
(4)小红书包里没有漫画书,所以是不可能事件.
探究1 频率与概率关系的理解
【例3-1】 下列说法正确的是________(填序号).
①频率反映事件出现的频繁程度,概率反映事件发生的可能性大小;
②做n次随机试验,事件A发生了m次,则事件A发生的概率P(A)=
;
③含百分比的数是频率,但不是概率;
④频率是不能脱离n次随机试验的试验值,而概率是脱离随机试验的客观值;
⑤频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.
解析 根据频率与概率的定义可知①正确;频率不是概率,而②中求出的是事件A发生的频率,因此②错误;概率是一个数值,可以是百分数也可以是小数,因此③错误;根据概率的定义可知概率是一个客观值,频率是一个试验值,因此④正确,⑤正确.
答案 ①④⑤
探究2 用频率估计概率
【例3-2】 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示),并规定:
顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品,下表是活动进行中的一组统计数据.
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”区域的次数m
68
111
136
345
564
701
落在“铅笔”区域的频率
(1)计算并完成表格;
(2)请估计,当n很大时,落在“铅笔”区域的频率将会接近多少?
(3)假如你去转动该转盘一次,你获得铅笔的概率约是多少?
解
(1)
转动转盘的次数n
100
150
200
500
800
1000
落在“铅笔”区域的次数m
68
111
136
345
564
701
落在“铅笔”区域的频率
0.68
0.74
0.68
0.69
0.705
0.701
(2)当n很大时,落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7.
(3)获得铅笔的概率约是0.7.
探究3 概率意义的理解
【例3-3】 某射手击中靶心的概率是0.9,是不是说明他射击10次就一定能击中9次?
解 从概率的统计定义出发,击中靶心的概率是0.9并不意味着射击10次就一定能击中9次.只有进行大量射击试验时,击中靶心的次数约为
n(其中n为射击次数).而且n越大,击中的次数就越接近
n.
探究4 概率的应用
【例3-4】 某中学高一年级有12个班,要从中选2个班代表学校参加某项活动.由于某种原因,一班必须参加,另外再从二班至十二班中选1个班.有人提议用如下的方法:
掷两个骰子得到的点数和是几,就选几班,你认为这种方法公平吗?
解 列表如下:
1点
2点
3点
4点
5点
6点
1点
2
3
4
5
6
7
2点
3
4
5
6
7
8
3点
4
5
6
7
8
9
4点
5
6
7
8
9
10
5点
6
7
8
9
10
11
6点
7
8
9
10
11
12
由上表知这种方法不公平.因为从这个表中可以看到有些班出现的几率比较高,有些班出现的几率比较低.所以每个班被选中的可能性不一样.所以这种方法不公平.
规律方法
(1)频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.在实际问题中,随机事件的概率未知,常用大量重复试验中事件发生的频率作为它的估计值.
(2)频率是随机的,是一个变量,在试验前不能确定,且可能会随着试验次数的改变而改变,它反映的是某一随机事件出现的频繁程度,反映了随机事件出现的可能性大小,近似反映了概率的大小.比如全班同学都做了10次掷硬币的试验,但得到正面向上的频率可以是不同的.
(3)概率是一个确定的常数,是客观存在的,它是频率的科学抽象,与每次试验无关,不随试验结果的改变而改变.从数量上反映随机事件发生的可能性大小.
课堂达标
1.下列事件中的随机事件为________(填序号).
①若a,b,c都是实数,则a(bc)=(ab)c;
②没有水和空气,人也可以生存下去;
③抛掷一枚硬币,反面向上;
④在标准大气压下,温度达到60℃时水沸腾.
解析 ①中的等式是实数乘法的结合律,对任意实数a,b,c是恒成立的,故①是必然事件;在没有空气和水的条件下,人是绝对不能生存下去的,故②是不可能事件;抛掷一枚硬币时,在没得到结果之前,并不知道会是正面向上还是反面向上,故③是随机事件;在标准大气压的条件下,只有温度达到100℃,水才会沸腾,当温度是60℃时,水是绝对不会沸腾的,故④是不可能事件.
答案 ③
2.从6名男生、2名女生中任选3人,则下列事件中的必然事件是________(填序号).
①3人都是男生;②至少有1名男生;
③3人都是女生;④至少有1名女生.
解析 由于女生只有2人,而现在选择3人,故至少要有1名男生.
答案 ②
3.某人将一枚硬币连掷10次,正面朝上的情况出现了8次,若用A表示“正面朝上”这一事件,则A的频率为________.
解析 做n次随机试验,事件A发生了m次,则事件A发生的频率为
.如果多次进行试验,事件A发生的频率总在某个常数附近摆动,那么这个常数才是事件A的概率.故
=
为事件A的频率.
答案
4.从100个同类产品(其中有2个次品)中任取3个.
①三个正品;②两个正品,一个次品;③一个正品,两个次品;④三个次品;⑤至少一个次品;⑥至少一个正品.
其中必然事件是________,不可能事件是________,
随机事件是________(填序号).
解析 从100个产品(其中2个次品)中任取3个可能结果是:
“三个全是正品”,“两个正品一个次品”,“一个正品两个次品”.
答案 ⑥ ④ ①②③⑤
5.某射击运动员在同一条件下进行练习,结果如下表:
射击次数(n)
10
20
50
100
200
500
击中10环次数(m)
8
19
44
93
178
453
击中10环频率
(1)将表格填写完整;
(2)这名运动员射击一次,击中10环的概率约为多少?
解
(1)如下表:
射击次数(n)
10
20
50
100
200
500
击中10环次数(m)
8
19
44
93
178
453
击中10环频率
0.8
0.95
0.88
0.93
0.89
0.906
(2)这名运动员射击一次,击中10环的概率约为0.9.
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