数列大题专题训练.docx
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数列大题专题训练.docx
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数列大题专题训练
数列大题专题训练
1.已知数列{an}、{bn}满足:
a^-,anbn=1,bnd.
41-a.
(1)求b-,b2,b3,b4;
(2)求数列{bn}的通项公式;
(3)设Sn=a£2■玄2玄3■玄3玄4'...'a.an1,求实数a为何值时4aSn 2.在平面直角坐标系中,已知An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n-1,0)(n・N*),满足向量 AAn1与向量BnCn共线,且点Bn(n,g)(n,N*)都在斜率6的同一条直线上• (1)试用a1,b1与n来表示an; (2)设a1=a,d=-a,且12: : : a辽15,求数{an}中的最小值的项• 3.在公差为d(0)的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中,已知a1=b1=1,a2=b2,a8=b3. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)令cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn. =3t 4、在数列{an}中,a1=1,其前n项和Sn满足关系式3tS^(2t30= (t0,n-2,3,) (1)求证: 数列{an}是等比数列; 1 (2)设数列{an}得公比为f(t),作数列{bn},使bi=1,bn二f(),n=(2,3-),求b bn_1 (3)求bib2-b2b3'b3b4-b4b5b2nJb2nb2nb2n1的值。 5•设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn= (1)-a,其中,=-1,0; (1)证明: 数列{an}是等比数列; 1水 (2)设数列{an}的公比q=f('),数列{bn}满足b1二? bn二f(bnj)(n•N*,n_2) 求数列{bn}的通项公式; 6.已知定义在R上的单调函数y=f(x),当x<0时,f(x)>1,且对任意的实数x、y€R,有 f(x+y)=f(x)f(y), (I)求f(0),并写出适合条件的函数f(x)的一个解析式; 1 (n)数列{an}满足a1=f(0)且f(an1)(n•N*), f(-2-a.) ①求通项公式an的表达式; 试比较S与4Tn的大小,并加以证明 3 1213 7.设Sn是正项数列{an}的前n项和,且Sn=—an+~3n~~, 424 (I)求数列{an}的通项公式; (n)已知bn=2n,求TnHa』! •a? b2•…abn的值 21 &已知二次函数f(x)二axbx满足条件: ①f(0)=f (1);②f(x)的最小值为. 8 (1)求函数f(x)的解析式; f4〕f(n) (2)设数列{an}的前n项积为Tn,且Tn=|—,求数列{a.}的通项公式; \5J (3)在⑵的条件下,若5f(an)是bn与an的等差中项,试问数列{bn}中第几项的值最小? 求出这个最小值。 9、设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数,前n项和为Sn. (1)若a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式; (2)在 (1)的条件下求Sn的表达式并求出Sn取最大值时n的值 (3)若a1>6,an>0,S^w77,求所有可能的数列{an}的通项公式 10、设{%}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n项和•已知S3=7,且 ai-3,3a2,a34构成等差数列. (I)求数列{an}的通项公式. (n)令bn=lna? .i,n=1,2,||(,求数列g的前n项和「. 11•已知等比数列{an}中,a2,a3,a4分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且 a^i=64,公比q=1 (I)求an; (n)设bn=log2an,求数列{|bn|}的前n项和T. 12、已知f(x)=logmx(m为常数,m>0且m=1) 设f(aj,f@),,f丽(nN)是首项为4,公差为2的等差数列. (I)求证: 数列{an}是等比数列; (n)若bn=an•f(an),且数列{bn}的前n项和Sn,当m「2时,求Sn; (川)若Cn=anlgan,问是否存在m,使得{cn}中每一项恒小于它后面的项? 若存在, 求出m的范围;若不存在,说明理由. 13.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足 1 a"2,an2SnSn」5-2) i (I)判断{_}是否为等差数列? 并证明你的结论; Sn (H)求Sn和an(川)求证: S2•S;••S;乞1一丄. 24n 14.已知数列{an}满足an=2an」2n-1(n—2),且a^5. a+Z (l)若存在一个实数■,使得数列{亠^}为等差数列,请求出'的值 2 (II)在(I)的条件下,求出数列an的前n项和Sn. 15.设数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2-an,n=1,2,3,….(I)求数列{an}的通项公式; (n)若数列{bn}满足b1=1,且bn1二bn•an,求数列{bn}的通项公式;(川)设Cn=n(3-bn),求数列{Cn}的前n项和Tn. 参考答案 1 •••数列{—}是以一4为首项,一1为公差的等差数列bn-1 n 4(n4) 11 Sn=玄1玄2'323^■3n3n1二 4汇55汉6(n+3)(n+4) 2 4aSb_ann2_(a-1)n(3a-6)n-8 nnn4n3(n3)(n4) 由条件可知(a_1n+(a3n^)恒8成0立即可满足条件设 2 f(n)=(a-1)n3(a-2)n-8 a=1时,f(n)=-3n-8: : : 0恒成立,a>1时,由二次函数的性质知不可能成 a f(n)在(y,1]为单调递减函数. f (1)=(a-1)n2(3a-6)n-8=(a一1)(3a-6)-8=4a-15: : 0 15 .a•.a<1时4aSn: : b恒成立 4 综上知: a<1时,4aSn 2.解: (1)V点Bn(n,bn)(n,N*)都在斜率为6的同一条直线上, 于是数列{bn}是等差数列,故bn二d・6(n-1).3分 AnAn1=(1,an1fan),BnCn=(-1,-bn),又AnA*1与BnCn共线, 1(-bn)-(_1)(an1-an)—0,即an1-an—bn-5分 当n_2时,a^a(a2—aj@3—a? )亠亠(a.—a.J二a’0b? Q亠•亠 d(n-1)3(n-1)(n-2).7分 当n=1时,上式也成立 所以a*=a「b1(n-1)3(n-1)(n-2).8分 (2)把a1=a,t>1=~a代入上式, 2 得an=a-a(n-1)3(n-1)(n-2)=3n-(9a)n62a. 12: a^15,7: : <4, 2 13分 6 •••当n=4时,an取最小值,最小值为a4=18—2a. (2)Tn=C1C2•C3•…-Cn 「二玄袒a? b2asb3an」bn」anbn① =a』2a? b3*3匕4…a./bnanbn1② ①—②: (1—q)Tn二aM1db2db^dbn^dbn—ab1二abdb2(1_q)七曲 1—q •「=(n-1)6n114分 4.解: (1)由已知3tSn-(2t-3)Sn4=3t,即有 2t+3 3t(a1a2)_(2t'3)a^=3t由a1=1解得a? : 3t 当n_2时,有 3tSn+1-(2t3)Sn=3t① 3tSn-(2t3)Sn」=3t② ①—②得 3tan+1-(2t'3)an=0 ani_2t3 an3t 综上所述,知色」=迤3n_1 an3t 因此{an}是等比数列; 2t+3 (2)由 (1)知f(t)= 3t 1 23 则使b1=1,bn二一气2■bn」 3—3 bn4 2 所以bn—bn」二n=(2,3/) 21 因此,{bn}是等差数列,且th=1,bn二b•(n-1)dn 33 (3)Db2-b2babgb4-b4b5…b2n/b2n•b2nb2n1 b2n)一 54n1n( 3 =b2(b1-b3)b4(b3-b5)…b2n(b2nvb^1) 4 =(b2b4 3 82=nn 93 5•解: (1)由Sn二(1…)一’an=Sn_,=(1…)一乜心(n-2) a儿 相减得: an--'an•'an4,n(n-2),.数列{a.}是等比数列 a^1+九 扎bn11 (2)f (1).,51, 1+丸1估二bng二 .{丄}是首项为丄=2,公差为1的等差数列—=2(n—1)=n1bnDbn bn=8分 n十1 (3)■=1时,an= (1)n‘,Cn=an(—-1)=(丄)"'n, 2bn2 111 Tn=12 (2)3(y2n(-)nJ① 2Tn= (1)2 (1)2酹)3n (2)n② ①—②得: 11、J、2八、3J、n」J、n 2Tn二1 (2)(2 (2)(2_n (2), 1Tn「 (2)G)2 (1)3E)n」—n(》n门一n(£)n, 6.解: (I)由题意,令y=0,x<0,得f(x)[1—f(0)]=0,•••x<0时,f(x)>1. •••1—f(0)=0.f(0)=1.2分 1x 适合题意的f(x)的一个解析式为f(x)=(—)4分 (II[①由递推关系知f(an+1)•f(—2—an)=1,即f(an+1—2—aj=f(O). *八 •/f(x)的R上单调,•••an+1—an=2,(n€N),6分 又a1=1,故an=2n—1.7分②bn=(」)an=(丄)2n',Sn=b1+b2+…+bn=丄+ (1)'+…+(1f「1 22222 4 欲比较Sn与—Tn的大小,只需比较4n与2n+1的大小. 3 由=1,2,3代入可知4n>2n+1,猜想4n>2n+1.10分 下用数学归纳法证明 1 (i)当n=1时,4>2X1+1成立 (ii)假设当n=k时命题成立,即4k>2k+1 当n=k+1时,4k+1=4X4k>4(2k+1)=8k+4=2(k+1)+1+6k+1>2(k+1)+1, 说明当n=k+1时命题也成立. 由(i)(ii)可知,4n>2n+1对于n€N*都成立• 4 故Sn>Tn12分 3 注: 证明4n>2n+1,除用数学归纳法证明以外,还可用其它方法证明, 如: 4n=(1+3)n=1+cn3c232cn3n_13n•2n1. 1213 7.解(I)当n=1时,at=$a1a1,解出a1=3,1分 424 又4sn=an+2an—3① 当n_2时4sn~1=anj+2an-1—3② 2222 ①一②4an=an—a^-2(a^anJ),即a^anj-2(an-a.」)=0 3分 •••(anan」)(an-an」-2)=0,anan」0an-an」=2(n—2)…… 5分 .数列{an}是以3为首项,2为公差的等差数列.a^32(n-1)=2nJ•- 7分 (n)Tn=321522•山•(2n,1)2n③ 又2Tn=322523W(2n-1)2n-(2n1)2n1④9分 ④-③Tn二-321-2(22232n)(2n1)2n111分 =-68-22n1(2n1)2n113分 -(2n-1)2n1214分 ab=0 (1 &解: (1)由题知: a121 a0 =1 .4a一8 n2-n 2~ 解得2,故f(x)xx.3分 h122 b二 L2 (nJ)2Jnl) : 2 Tnj—aia2HfanJ=l5丿 (n-2), (n-2). anTn 4 — Tn15 nA (nN). 4 an: 15丿 ⑶若5f(an)是bn与an的等差中项,则25f(anHbnan,…… 121232 从而10(;anan)二bnan,得d=5an-6an=5(an)- 225 4 =— 5 一一,即n 5 又a^T|=1满足上式.所以 因为an 当an 10分 n1 (n•NJ是n的减函数,所以 <3(n・N”)时,bn随n的增大而减小,此时最小值为 ba; -4(n•N”)时,bn随n的增大而增大,此时最小值为 b4. 12分 3 3 a「5 < a^5 又 所以ba: : : b4, : : : 3,即n 5 即数列{0}中b最小,且b3=5阳卜由=一 224 5125 14分 9、解: 由a“=0,^4=98得 a110d=06 1解得: ① 14a191d=98 an=a「n-1d=22-2n (a1+an)n2 Sn21n-n 2 令an=°得n=11 -当n=11时, (3)法一: 由 务一6 +10d>0 14印+91d喳77(3) Sn取得最大值 a1》6,an>0,S14W77得: (1) (2) 10分 (2)(-14)得: -14a1-140d0(4) (1)(-14)得: -14耳—84(5) : 'dZ,.d=T 代入 (2)、(3)得: a110 ■10: : a1-12 14a<^168 farZ,.a1=11或12 11 ⑷(3)得: d (5)-(3)得: d- 91 12分 14分 10•解: (I)由已知得 .an=12-n或an=13-n 解得a2=2. 设数列{an}的公比为q,由a: =2,可得&=2,a^2q.4分 q 2 又S3=7,可知2■2q=7, q 即2q2_5q2=0, 1 解得q<|=2,q2: 2 由题意得q1,q=2. .4=1.7分 故数列{an}的通项为an=2nJ. (n)由于bn=lna3n1,n=1,2, 由 (1)得a3n1=2 .bn=1n23n=3nln2 又bn1—bn=3In2 10分 ■{bn}是等差数列. n(b「bn) 2 n(3In23nln2) 2 11.解: (I)依题意a^-a4'3(a3-a4),即2a4_3a2a^-0 2a1q3-3a1q3a1q=0 21 2q_3q1=0=q=1或q=_ 2 1 q=1q4分 2 故an=64(扩 7-n 二I6I" n—7 12、解: (I)由题意f(an)=4•2(n-1)=2n2,即logman=2n2, 二m2n2 二数列{an}是以m4为首项,m2为公比的等比数列 (n)由题意bn二anf(an)二m2n2logmm2n2=(2n2)m2n2, 当m=J2时,bn=(2n2)2n1=(n1)2n2 二Sn=22332442—(n1)2n2①6分 1式两端同乘以2,得 2Sn=224325•426•―n2n2'(n'1)2n3②7分 2—①并整理,得 Sn八223-24-25-26-…-2n2(n1)2n3 二-23-{23亠24亠25亠亠2n2]亠(n亠1)2n3 七一2^(n1)2n3 1-2 二-2323(1—2n)(n1)2n3 (川)由题意Cn=anlgan=(2n+2)m2n"lgm 要使 cn」: : : cn对一切n一2成立, 2 nlgm: : : (n1)mlgm对一切n_2成立, an=Sn-Sn4即Sn-Sn4=~2SnSn4 当n>2时,an 2n(n_1) (n=1) 当n=1时,厲三an 2心严2) (川)1°当n=1时,S12=1=1成立 424" 11 2°假设n=k时,不等式成立,即S|2Sf...S|f--—成立 24k 则当 n=k+1时,S;+S;+...+S: +S: 申 1 < 2 1 4k 1 4(k1)2 k2k1k(k1)2 1_11_11 4k(k1)224 2 k2k_1k(k1)一24(k1) 即当 n=k+1 时,不等式成立由1 (川)另证: S2S2…Sn 2°可知对任意 11 4422 n€N不等式成立. 1 2- 432 4(1 111 .»(1—匕3 十 (n_1)n 丄一1 n-1n2 4n 14.解: (1)假设存在实数 '符合题意,则吩 必为与n无关的常数。 an_2and.=2^2n "是与n无关的常数,则1—=0,得九=-1. 2n 故存在实数 a+丸 -1.使得数列{为等差数列. (II)由( I)可得2n =1,.d=1,且首项为 2 -=2. 2 an"1 2n 令bn=(n+1)2n且其前项和为;, =2(n-1)=n1,.an =(n1)2n1(nN) Tn=22322-423「(n1)2n 2Tn=222323n2n(n1)2n1 ①―②得_Tn=4■22■23■2n_(n*1)2^ 2(2…2n)-(n1)2n1 n1nVn"1 =2-(n1)2二-n2 Tn=n2nSSn二n2n1n. 12分 15.解: (I)tn=1时, •••a1=1 •Sn=2-an即an+Sn=2•・an+1+S+1=2 a1+S=a1+a〔=2 ••(1分) 两式相减: an+1-an+S+1-Sn=0即an+1-an+an+1=0故有2an+1=an •••anM0•••电1=](n€N*)(3分) an2 11 所以,数列{an}为首项ai=1,公比为一的等比数列.an=(—)n」(n€N*)(4分) 22 (n)vbn+i=bn+an(n=1,2,3,…) 1n一 •bn+1-bn=()-(5分) 2 得b2-b1=1 1 b3-b2= 2 b4-b3= (1)2 2 (7分) 1n-2 bn-bn-1=()(n=2,3,…) 2 将这n-1个等式相加,得 bn-b1=1+1(I)2(丄)3 222 1n-1 (9分) 又Vb1=1,.・.bn=3-2(—)(n=1,2,3,…) 2 1n-1八 (川)Vcn=n(3-bn)=2n()(10分) 2 11111 •Tn=2[(—)0+2(—)+3(—)2+…+(n-1) (1)n-2+n(—)n-1]①(11分) 22222 111111 而Tn=2[()+2()2+3()3+…+(n-1)()2.门(_)n]② 222222 ①-②得: 十宀中吵+中…丁宀咱 Tn=4 1- (1)n 1-2 =8-(8+4n) 1 尹,2, 3,…) (14分)
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